Abschlussprüfung Mathematik 12 Nichttechnik A II - Lösung
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- Louisa Kappel
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1 GS m7_nt-a_lsg_gs.pdf Abschlussprüfung 7 - Mathematik Nichttechnik A II - Lösung Teilaufgabe. Der Graph einer ganzrationalen Funktion f vierten Grades mit D f IR ist symmetrisch zur y-achse und hat einen Wendepunkt W (,5). Die Tangente G t im Punkt W besitzt die Gleichung t: y x.5 mit x IR. Teilaufgabe. (7 BE) Bestimmen Sie den Funktionsterm f(x). [ Mögliches Ergebnis: f( x) x 6x ] Allg. Funktionsterm: f( x) ax bx c. Ableitung: f' ( x) a x. Ableitung: f'' ( x) a x b x b W G f : f( ).5 a b 5 c () Wendepunkt: f'' ( ) a b () Steigung: f' ( ) a b () () - (): 8a a a in () b b a und b in () 5 c c Konkreter Funktionsterm: f( x) x x Umgeformt: f( x) x 6x AP 7, Mathematik Nichttechnik. Klasse, A II - Lösung Seite von 8
2 Teilaufgabe. (5 BE) Ermitteln Sie sämtliche Nullstellen der Funktion f und deren Vielfachheit. Erklären Sie die Bedeutung der Vielfachheit dieser Nullstellen für den Graphen G f. f( x) x 6x x x 6 x oder x 6 x zweifache Nullstelle, Graph berührt die x-achse. x 6 einfache Nullstelle, Graph schneidet die x-achse. x 6 einfache Nullstelle, Graph schneidet die x-achse. Teilaufgabe. (8 BE) Bestimmen Sie die maximalen Monotonieintervalle der Funktion f sowie Art und Koordinaten der relativen Extrempunkte des Graphen G f. f' ( x) x x f' ( x) x x x x x E oder x x E x E AP 7, Mathematik Nichttechnik. Klasse, A II - Lösung Seite von 8
3 x x x f.5 H (-,7,5) f '(x) pos neg pos neg G f sms smf sms smf HP TP HP f( ) T( ) f.5 H (,7,5) G f ist streng mon. steigend für x ] ; ] und für x [ ; ]. G f ist streng mon. fallend für x ] ; ] und für x [ ; [. Teilaufgabe. (7 BE) Begründen Sie ohne weitere Rechnung, dass der Graph G f genau zwei Wendepunkte besitzt und geben Sie die Koordinaten des zweiten Wendepunkts an. Berechnen Sie auch die x-koordinaten sämtlicher Punkte von G f, welche die gleichen y-koordinaten wie die Wendepunkte haben. Wegen der Symmetrie existiert ein zweiter Wendepunkt: W (-,5) Ganzrationale Funktionen vierten Grades besitzen maximal zwei Wendepunkte, d. h. G f hat genau zwei Wendepunkte. f( x).5 x 6x.5 x 6x 5 Substitution: x z z 6z 5 ( z ) ( z 5) z oder: z 5 Resubstitution: x x x 5 x 5 AP 7, Mathematik Nichttechnik. Klasse, A II - Lösung Seite von 8
4 Teilaufgabe.5 (5 BE) Zeichnen Sie unter Mitverwendung vorliegender Ergebnisse den Graphen G f im Bereich.5 x.5 in ein kartesisches Koordinatensystem. Für weitere Teilaufgaben wird auf der y-achse der Bereich 5 x 5 benötigt. Maßstab: LE cm. 5 x d fx d y-achse x d fx d x-achse Flächenstück Punkte Graph von f Graph von f Wendepunkte Extrempunkte Punkte Graph von f ' Graph von f ' AP 7, Mathematik Nichttechnik. Klasse, A II - Lösung Seite von 8
5 Teilaufgabe.6 (7 BE) Zeigen Sie, dass an der Stelle x die Geichung f( x) f' ( x) gilt und bestimmen Sie alle weiteren Stellen mit dieser Eigenschaft. Erklären Sie, was das Ergebnis für den Graphen G f bedeutet. zu zeigen: f( ) f' ( ) f( ) ( ) 6( ) ( 6 ) f' ( ) ( ) ( ) ( ) weitere Stellen: x 6x x x x 6x x x x 6x x x x x x 6x x oder x x 6x x x 6x ( x ) x 6x 6 x x 6x 6x 6x x x 6x x 6 6 6x x ( 6x ) x An den Stellen x x x sind Steigung von G f und y-wert des Punkts gleich groß. Oder: G f und G f ' schneiden sich an diesen Stellen. AP 7, Mathematik Nichttechnik. Klasse, A II - Lösung Seite 5 von 8
6 Teilaufgabe.7 ( BE) Geben Sie exakt die Nullstellen und die Extremstellen der ersten Ableitungsfunktion f ' an und zeichnen Sie den Graphen G f ' im Bereich x in das vorhandene Koordinatensystem mit Farbe ein. Nullstellen von f ': x x x (vgl..) Extremstellen von f ': x e x e (Wendestellen von f) Teilaufgabe.8 (5 BE) Die Graphen G f und G f ' schließen ein endliches Flächenstück ein, das im II. und III. Quadranten des Koordinatensystems liegt. Markieren Sie dieses Flächenstück und berechnen Sie die Maßzahl seines Inhalts. Flächenmaßzahl: A ( f( x) f' ( x) ) dx Stammfunktion Dx ( ) ( f( x) f' ( x) ) dx x x x x 6x d x5 x x x c A D( ) D( ) Teilaufgabe ( BE) Begründen oder widerlegen Sie folgende Aussage: Ist der Graph G h einer ganzrationalen Funktion h symmetrisch zur y-achse, dann ist der Graph G f ' der ersten Ableitungsfunktion punktsymmetrisch zum Ursprung. Symmetrischer Funktionsterm enthält nur gerade Potenzen von x. Beim Ableiten entstehen nur ungerade Potenzen von x, der konstante Term fällt weg, also ist der Graph der Ableitungsfunktion punktsymmetrisch zum Ursprung. AP 7, Mathematik Nichttechnik. Klasse, A II - Lösung Seite 6 von 8
7 Teilaufgabe. Ein Designstudio hat eine Nachttischleuchte entworfen. Diese besteht aus einem halbkugelförmigen Schirm mit Radius r cmund einem Leuchtenfuß in der Form eines geraden Kreiskegels mit der Höhe h und dem Durchmesser b in der Grundfläche (siehe nebenstehende Skizze). Bei Berechnungen kann auf die Verwendung von Einheiten verzichtet werden. Teilaufgabe. ( BE) Bestimmen Sie die Maßzahl Vh ( ) des Volumens des Fußes der Leuchte in Abhängigkeit von h. [ Mögliches Zwischenergebnis: Vh ( ) π h h ] Zielfunktion: V Gh b πh Nebenbedingung: r h b h b Auflösen: Einsetzen in Zielfunktion: b Vh ( ) h h πh h h π Vh ( ) π h h AP 7, Mathematik Nichttechnik. Klasse, A II - Lösung Seite 7 von 8
8 Teilaufgabe. (6 BE) Aus technischen Gründen wird für die Funktion V mit V: h V(h) als Definitionsbereich D V [ ; 8] gewählt. Bestimmen Sie die Höhe h des Leuchtfußes so, dass die Maßzahl seines Volumens den absolut größten Wert annimmt. Nach Auffassung der Designer würde dann die Leuchte die ansprechendsten Proportionen besitzen. V' ( h) π h V' ( h) h h 8 h 8 nicht def. h 8 Vergleich mit den Randwerten: V ( ) 9. V8 ( ) 67. Funktionswert: V absolut größter Wert bei h max 8 AP 7, Mathematik Nichttechnik. Klasse, A II - Lösung Seite 8 von 8
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