Algorithmische Methoden zur Netzwerkanalyse Vorlesung 10, Henning Meyerhenke

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1 Algorithmische Methoden zur Netzwerkanalyse Vorlesung 10, Henning Meyerhenke 1 KIT Henning Universität desmeyerhenke: Landes Baden-Württemberg und nationales Algorithmische Forschungszentrum Methoden in der Helmholtz-Gemeinschaft zur Netzwerkanalyse

2 Zufallsgraphen Einführung Zweck: Erzeugung großer Graphen Test von Algorithmen, Systemen Mathematische Analyse Vorhersage von Eigenschaften, Entwicklungen Zwei der gängigen Modelle (schlicht, ungerichtet, statisch): G(n, m): n Knoten, m Kanten zwischen Knotenpaaren zufällig gezogen (unabhängig und gleichverteilt) Andere Sichtweise: Man zieht einen Graphen zufällig und gleichverteilt aus der Menge von Graphen mit n Knoten und m Kanten 2 Henning Meyerhenke:

3 Zufallsgraphen Einführung Zweck: Erzeugung großer Graphen Test von Algorithmen, Systemen Mathematische Analyse Vorhersage von Eigenschaften, Entwicklungen Zwei der gängigen Modelle (schlicht, ungerichtet, statisch): G(n, m): n Knoten, m Kanten zwischen Knotenpaaren zufällig gezogen (unabhängig und gleichverteilt) Andere Sichtweise: Man zieht einen Graphen zufällig und gleichverteilt aus der Menge von Graphen mit n Knoten und m Kanten G(n, p): n Knoten, zwischen Knotenpaar existiert Kante mit Wkt. p Meist leichter zu analysieren Häufig als Erdös-Rényi-Zufallsgraphen bezeichnet 2 Henning Meyerhenke:

4 Grundlegendes E[m] = ( n 2 ) p Durchschnittsgrad: 2m/n = (n 1)p Jeder Graph G tritt mit Wkt. P(G) = p m (1 p) (n 2 ) m auf Viele Eigenschaften eng um Mittelwert konzentriert 3 Henning Meyerhenke:

5 Grundlegendes E[m] = ( n 2 ) p Durchschnittsgrad: 2m/n = (n 1)p Jeder Graph G tritt mit Wkt. P(G) = p m (1 p) (n 2 ) m auf Viele Eigenschaften eng um Mittelwert konzentriert Gradverteilung: Wkt. zu bestimmten k anderen Knoten verbunden zu sein und zu den anderen n 1 k nicht: p k (1 p) n 1 k Die k anderen Knoten, zu denen eine Verbindung besteht, können auf ( n 1 ) Arten gewählt werden k 3 Henning Meyerhenke:

6 Grundlegendes E[m] = ( n 2 ) p Durchschnittsgrad: 2m/n = (n 1)p Jeder Graph G tritt mit Wkt. P(G) = p m (1 p) (n 2 ) m auf Viele Eigenschaften eng um Mittelwert konzentriert Gradverteilung: Wkt. zu bestimmten k anderen Knoten verbunden zu sein und zu den anderen n 1 k nicht: p k (1 p) n 1 k Die k anderen Knoten, zu denen eine Verbindung besteht, können auf ( n 1 ) Arten gewählt werden k Wkt., dass ein Knoten zu genau k anderen adjazent ist: p k = ( n 1 k )pk (1 p) n 1 k Binomialverteilung! 3 Henning Meyerhenke:

7 Gradverteilung Bei realen Netzwerken ist der Durchschnittsgrad c häufig konstant in n Dann wird hier allerdings p = c/(n 1) sehr klein bei großem n 4 Henning Meyerhenke:

8 Gradverteilung Bei realen Netzwerken ist der Durchschnittsgrad c häufig konstant in n Dann wird hier allerdings p = c/(n 1) sehr klein bei großem n Bei n wird die Gradverteilung poissonsch: ln((1 p) n 1 k ) = (n 1 k) ln(1 c n 1 ) c (n 1 k) n 1 c (1 p) n 1 k = e c für n Außerdem bei n : ( n 1 k ) = (n 1)! p k (n 1)k k! p k e c = (n 1)k k! ( c n 1 (n 1 k)!k! (n 1)k k! ) k e c = e c ck k! 4 Henning Meyerhenke:

9 Cluster-Koeffizient Cluster-Koeffizient C:... 5 Henning Meyerhenke:

10 Cluster-Koeffizient Cluster-Koeffizient C:... Wkt., dass zwei Nachbarn eines Knotens auch selbst zueinander benachbart sind Da zwischen jedem Knotenpaar eine Kante mit Wkt. p = c/(n 1) ex.: C = c/(n 1). Großer Unterschied zu realen Netzwerken! 5 Henning Meyerhenke:

11 Zusammenhangskomponenten p = 0: n ZHKs der Größe 1 p = 1: 1 ZHK der Größe n Qualitativer Unterschied: Konstant vs linear abhängig von n Oft wichtig, dass man eine sehr große Komponente hat 6 Henning Meyerhenke:

12 Zusammenhangskomponenten p = 0: n ZHKs der Größe 1 p = 1: 1 ZHK der Größe n Qualitativer Unterschied: Konstant vs linear abhängig von n Oft wichtig, dass man eine sehr große Komponente hat Fundamentales Ergebnis zu G(n, p): Phasenübergang des Zusammenhangs Theorem (Erdös-Rényi) Die Funktion t(n) = ln n/n ist eine Grenzfunktion für den Zusammenhang von G(n, p) bei p = t(n). 6 Henning Meyerhenke:

13 Beweisidee zur Grenzfunktion bei ZHK Die Grenze gilt nicht nur für den Zusammenhang, sondern auch für Existenz isolierter Knoten Start durch Abschätzung der Wkt. für einen isolierten Knoten Bei p = ln n/n strebt diese Wkt. gegen 1/n Bei kleinerem p wird diese Wkt. kleiner, bei größerem p größer Bei größerem p gibt es keine ZHK mit weniger als n/2 Knoten Literaturhinweis Matthew O. Jackson: Social and Economic Networks. Princeton University Press, Kapitel Henning Meyerhenke:

14 Beweis der Grenzfunktion bei ZHK Beweis. Wir zeigen zunächst: Falls p/t(n) 0, dann geht die Wkt. für die Existenz isolierter Knoten gegen 1. Wkt., dass ein gegebener Knoten isoliert ist: (1 p) n 1 (1 p) n für p 0 Wegen p/n 0: (1 p) n e pn, denn lim n (1 a n )n = e a Wkt., dass ein gegebener Knoten isoliert ist, strebt gegen e pn 8 Henning Meyerhenke:

15 Beweis der Grenzfunktion bei ZHK Beweis. Wir zeigen zunächst: Falls p/t(n) 0, dann geht die Wkt. für die Existenz isolierter Knoten gegen 1. Wkt., dass ein gegebener Knoten isoliert ist: (1 p) n 1 (1 p) n für p 0 Wegen p/n 0: (1 p) n e pn, denn lim n (1 a n )n = e a Wkt., dass ein gegebener Knoten isoliert ist, strebt gegen e pn Wir schreiben nun p := p(n) = f (n) < ln n. Dann wird aus e pn : ln n f (n) n, wobei f (n) und e f (n) Die erwartete Anzahl isolierter Knoten ist dann e f (n) n 8 Henning Meyerhenke:

16 Fortsetzung Beweis Fortsetzung. Dass die Zahl isolierter Knoten divergiert, beweist noch nicht, dass P(es gibt einen isolierten Knoten) 1 Chebyshev-Ungleichung (CU): Sei X eine Zufallsvariable mit Mittelwert µ und Standardabweichung σ. Dann gilt für jedes r > 0: P( X µ > rσ) < 1/r 2 9 Henning Meyerhenke:

17 Fortsetzung Beweis Fortsetzung. Dass die Zahl isolierter Knoten divergiert, beweist noch nicht, dass P(es gibt einen isolierten Knoten) 1 Chebyshev-Ungleichung (CU): Sei X eine Zufallsvariable mit Mittelwert µ und Standardabweichung σ. Dann gilt für jedes r > 0: P( X µ > rσ) < 1/r 2 Sei X die Zahl der isolierten Knoten. Wissen: E[X ] = n(1 p) n 1 Beh. gilt (wg. CU), wenn Varianz von X, E[X 2 ] E[X ] 2, höchstens 2µ = 2E[X ] ist. Insbesondere gilt dann: P(X < µ r 2µ) < 1/r 2. 9 Henning Meyerhenke:

18 Fortsetzung Beweis Fortsetzung. P(X < µ r 2µ) < 1/r 2 impliziert wegen µ, dass die Wkt. für ein beliebig großes X gegen 1 geht Brauchen nun obere Schranke für die Varianz 10 Henning Meyerhenke:

19 Fortsetzung Beweis Fortsetzung. P(X < µ r 2µ) < 1/r 2 impliziert wegen µ, dass die Wkt. für ein beliebig großes X gegen 1 geht Brauchen nun obere Schranke für die Varianz E[X (X 1)] ist erwartete Anzahl geordneter Paare isolierter Knoten E[X (X 1)] = n(n 1)(1 p) n 2 (1 p) n 2 (1 p) = n(n 1)(1 p) 2n 3, denn: Beide Knoten eines Paares sind nicht zu den übrigen n 2 Knoten verbunden Zwischen den Knoten des Paares verläuft auch keine Kante 10 Henning Meyerhenke:

20 Fortsetzung Beweis Fortsetzung. E[X 2 ] E[X ] 2 = n(n 1)(1 p) 2n 3 + E[X ] E[X ] 2 = n(n 1)(1 p) 2n 3 + E[X ] n 2 (1 p) 2n 2 E[X ] + pn 2 (1 p) 2n 3 = E[X ](1 + pn(1 p) n 2 ) E[X ](1 + (ln n f (n))e ln n+f (n) (1 p) 2 ) 2E[X ]. Damit ist Teil 1 gezeigt: Wenn p(n)/ ln n n isolierte Knoten. 0, dann hat G mit hoher Wkt. 11 Henning Meyerhenke:

21 Fortsetzung Beweis Jetzt Teil 2: Wenn p(n)/ ln n n, dann hat G mit hoher Wkt. keine isolierten Knoten (und nur eine große ZHK). Fortsetzung. ln n+f (n) Sei nun p(n) = n, wobei f (n), aber f (n)/n 0. Ähnlich wie zuvor schließen wir: E[X ] e f (n) 0 Wkt., dass X mindestens 1 ist, muss dann auch gegen 0 streben 12 Henning Meyerhenke:

22 Fortsetzung Beweis Jetzt Teil 2: Wenn p(n)/ ln n n, dann hat G mit hoher Wkt. keine isolierten Knoten (und nur eine große ZHK). Fortsetzung. ln n+f (n) Sei nun p(n) = n, wobei f (n), aber f (n)/n 0. Ähnlich wie zuvor schließen wir: E[X ] e f (n) 0 Wkt., dass X mindestens 1 ist, muss dann auch gegen 0 streben Wir zeigen nun noch, dass die Wkt. von Komponenten mit Größe 2 bis n 2 gegen 0 strebt X k : Zufallsvariable, die Anzahl der ZHKs mit Größe k angibt Es genügt zu zeigen, dass E[ n/2 k=2 X k ] 0 12 Henning Meyerhenke:

23 Fortsetzung Beweis Fortsetzung. n/2 E[ X k ] k=2 = n/2 k=2 n k=2 n k=2 n k=2 13 Henning Meyerhenke: ( ) n (1 p) k(n k) (Sei nun n := n 3/4.) k ( ) n (1 p) k(n k) n/2 ( ) n + k (1 p) k(n k) k ( en ) k e knp e k 2p + k k=n+1 n/2 k=n+1 e k(1 f (n)) k k e 2k 2 ln n/n + 3e f (n) + n n3/4 /5 0 ( en k n/2 k=n+1 ) k e knp/2 ( en ) k e knp/2 k

24 Übersicht Tabelle: Einfluss von p bzw. np auf die erwartete Zahl und Größe der ZHK eines Graphen aus G(n, p) np < 1 fast nie ZHK, die größer als O(log n) ist np = 1 fast immer eine ZHK, die größer als O(log n) ist np c > 1 fast immer eine eindeutige riesige ZHK, keine andere ZHK enthält mehr als O(log n) Knoten mhw np > (1 + ε) ln n fast immer zusammenhängend (ε > 0) 14 Henning Meyerhenke:

25 Fazit Gradverteilung ist binomial bzw. poissonsch Deutliche Abweichung von den meisten realen Netzwerken So gut wie keine Community-Struktur Deutliche Abweichung von den meisten realen Netzwerken Bei passendem p eine riesige ZHK Mathematisch gut analysiert 15 Henning Meyerhenke:

26 Fazit Gradverteilung ist binomial bzw. poissonsch Deutliche Abweichung von den meisten realen Netzwerken So gut wie keine Community-Struktur Deutliche Abweichung von den meisten realen Netzwerken Bei passendem p eine riesige ZHK Mathematisch gut analysiert Insgesamt (zu) unrealistisch! 15 Henning Meyerhenke: