H. Stichtenoth WS 2005/06

Transkript

1 H. Stichtenoth WS 25/6 Lösungsvorschlag für das. Übungsblatt Aufgabe : Der gesuchte Unterraum U ist die lineare Hülle von v und v 2 (siehe Def. 5. und Bsp. 5.5b), d. h. U : Spanv,v 2 } v R : v λ v + λ 2 v 2, λ,λ 2 R} v R : λ + λ 2 2 6, λ,λ 2 R. Aber v 2 v, also kann man v als v (λ 2λ 2 ) v schreiben, d. h. Spanv, v 2 } v R : v λ, λ R Spanv }. Analog v v 2 2, und weiter v ( λ ) 2 + λ 2 v2, d. h. Spanv, v 2 } v R : v λ 2 6, λ R Spanv 2}. Der Unterraum U ist also eine Gerade im R, zu der der Ursprung des Koordinatensystems gehört und die durch den Vektor v (bzw. v 2 ) bestimmt ist. Aufgabe 2: Zu zeigen ist, dass R U Spanv,v 2,v }. Sei v (x,x 2,x ) t ein beliebiger Vektor des R. Wir wollen v als Linearkombination von Vektoren v,v 2,v } darstellen, d. h. wir müssen die reellen Zahlen λ,λ 2,λ finden, so dass v x x 2 λ v + λ 2 v 2 + λ v λ + λ 2 + λ. x Dies ist äquivalent mit dem folgenden Gleichungssystem λ 2 + λ x λ + + λ x 2 λ + λ 2 x, wobei λ,λ 2,λ Unbekannten und x,x 2,x die gegebenen rechte Seiten sind. Man kann leicht feststellen, dass das Gleichungssystem lösbar ist und λ 2 ( x + x 2 + x ), λ 2 2 (x x 2 + x ), λ 2 (x + x 2 x ) die eindeutige Lösung ist. Folglich, jeder Vektor des R ist als Linearkombination von Vektoren v,v 2,v } mit den oben angegebenen Koeffizienten darstellbar, d. h. R U Spanv,v 2,v }. Aufgabe :

2 2 a) Wir suchen λ,λ 2 R, so dass v λ v + λ 2 v 2, d. h. λ 5 + λ 2. Dies ergibt ein lineares Gleichungssystem mit den Unbekannten λ und λ 2 : λ + λ 2 ( ) λ 2 λ 2 5. ( ) Aus ( ) bekommt man λ λ 2 und setzt man dies in ( ) ein: (λ 2 ) 2λ 2 5 9λ 2 9 2λ 2 5 Daraus folgt λ 2. Somit ist: b) Nein! Mit a) erhält man 7λ λ 2 2. v 2v + v 2. 2v + v 2 v und diese Darstellung der Null ist nicht trivial. c) Man muss zeigen, dass die Null nur trivial darstellbar ist. Nehmen wir an, dass für gewisse λ,λ 2 R: λ + λ 2. Dies ergibt wieder ein lineares (homogenes) Gleichungssystem mit den Unbekannten λ und λ 2 : λ + λ 2 λ 2 λ 2, dessen Lösung λ λ 2 genauso bestimmt wird, wie im a). Somit sind diese Vektoren linear unabhängig. Aufgabe : Wir berechnen zuerst die Vektoren ( v v 2 und v 7 + v ). Nehmen wir jetzt an, dass für gewisse λ,λ 2 R: ( λ + λ 2 ). Dies ergibt ein lineares (homogenes) Gleichungssystem mit den Unbekannten λ und λ 2 : λ + λ 2 λ + λ 2, dessen Lösung λ λ 2 genauso bestimmt wird, wie in Aufgabe a). Somit sind diese Vektoren linear unabhängig. Diese Folgerung gilt für beliebige linear unabhängige Vektoren v und v 2 : Nehmen wir an, dass λ (v v 2 ) + λ 2 (v + v 2 ) für gewisse reelle Zahlen λ,λ 2. Wir wollen zeigen, dass daraus λ λ 2 folgt.

3 Wir formen die obige Gleichung um, indem wir die Rechengesetze für Vektoradditon und Skalarmultiplikation benutzen: (λ + λ 2 ) v + (λ 2 λ )v 2. Die Vektoren v und v 2 sind aber linear unabhängig, d. h. λ + λ 2 λ + λ 2. Dieses lineare Gleichungssystem lösen wir genauso, wie in den vorherigen Aufgaben, und bekommen wir als Lösung λ und λ 2. Daraus folgt, dass auch die Vektoren v v 2 und v + v 2 linear unabhängig sind. Aufgabe 5: Nehmen wir an, dass für gewisse reelle Zahlen λ,λ 2,λ gilt: d. h. λ 2 λ v + λ 2 v 2 + λ v, + λ λ. Dies ergibt ein lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen und drei Unbekannten λ,λ 2,λ : λ λ 2 + λ ( ) 2 λ + 2 λ 2 2 λ ( ) λ + λ 2 + λ ( ) Addiert man jetzt zu der zweiten Gleichung zweifaches der ersten Gleichung (( ) + 2 ( )), bekommt man eine triviale Gleichung. Das heisst, man muss ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten λ,λ 2,λ lösen: λ λ 2 + λ λ + λ 2 + λ Die Unbekannte λ C kann jetzt mit beliebigem Wert C R belegt werden. Werden die Ausdrücke mit C auf die rechte Seite gebracht, so ensteht ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten λ,λ 2 : λ λ 2 C λ + λ 2 C das wird genauso, wie in den vorherigen Aufgaben, gelöst: λ C und λ 2 C. Folglich, das erste Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen mit einem Parameter: λ C, λ 2 C, λ C mit C R, d. h. die Vektoren v,v 2,v sind linear abhängig. Eine nichttriviale Linearkombination von v,v 2,v, die dem Nullvektor gleich ist, erhält man z. B. für C : v 2 v 2 + v.

4 Aufgabe 6: Es reicht zu zeigen, dass die drei Vektoren v,v 2,v R linear unabhängig sind, weil dim R. d. h. Dazu nehmen wir an, dass für gewisse reelle Zahlen λ,λ 2,λ gilt: λ λ v + λ 2 v 2 + λ v, + λ 2 + λ. Dies ergibt ein lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen und drei Unbekannten λ,λ 2,λ : λ + λ 2 + λ λ 2 + λ λ, dessen Lösung λ λ 2 λ leicht zu berechnen ist. Folglich sind die Vektoren v,v 2,v linear unabhängig und sie bilden eine Basis des R. Aufgabe 7: Zuerst müssen wir den Kern von ϕ bestimmen, d. h. wir müssen alle Vektoren x (x,x 2,x ) t finden, die die Gleichung ϕ x x 2 x erfüllen. Dies ergibt ein lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen und drei Unbekannten x,x 2,x : x + 2 x 2 x ( ) x 2 + x ( ) x + x 2 2 x ( ). Subtrahiert man von der ersten Gleichung die Summe von der zweiten und dritten Gleichung (( ) (( ) + ( ))), so bekommt man eine triviale Gleichung. Das heisst, man muss das Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten x,x 2,x lösen: x 2 + x x + x 2 2 x. Die Unbekannte x C kann jetzt mit beliebigem Wert C R belegt werden. Werden die Ausdrücke mit C auf die rechte Seite gebracht, so ensteht ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten x,x 2 : x 2 C x + x 2 2C, dessen Lösung leicht zu berechnen ist. x C und x 2 C Folglich, das erste Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen mit einem Parameter: x C, x 2 C, x C mit C R,

5 5 und Kern ϕ x C C C : C R x C Das heisst, dim Kern ϕ und (,, ) t ist ein Basisvektor des Kernes. : C R. Aufgabe 8: a) Zwei Matrizen sind gleich genau dann, wenn sie gleichdimensioniert sind und wenn die Elemente an den entsprechenden Positionen gleich sind. Die erste und zweite Matrix sind zwar gleichdimensioniert ( ), aber in der ersten Matrix ist an der Stelle (, ) und in der zweiten Matrix an der Stelle (, ). Die dritte und vierte Matrix sind auch gleichdimensioniert ( ), aber in der dritten Matrix ist an der Stelle (, ) und in der vierten Matrix an der Stelle (, ). b) Die gegebenen Matrizen sind gleichdimensioniert (2 ), also sie sind gleich, wenn die Elemente an den entsprechenden Positionen gleich sind, insbesondere x 2 x oder x, (x + ) 2 x oder x Folglich: die Matrizen sind gleich für x.