Analysis I - Ferienkurs

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1 TU-München, Dienstag, der Analysis I - Ferienkurs Andreas Schindewolf 5. März 200

2 Inhaltsverzeichnis. Folgen 3.. Konvergenz und Cauchy-Folgen Konvergenz-Kriterien für Folgen Teilfolgen und Häufungspunkte Uneigentliche Konvergenz Reihen Wichtige Reihen Konvergenz-Kriterien für Reihen Exponentialfunktion A. Literatur 9

3 Folgen. Folgen.. Konvergenz und Cauchy-Folgen Am Verhalten von Folgen interessiert insbesondere die Konvergenz. Definition. Eine Folge c n n N = c n in C heißt konvergent, wenn ein c C existiert derart, dass ε > 0 N N, sodass c n c < ε n N... c ist der Grenzwert oder auch Limes von c n. In der Regel muss N umso größer gewählt werden, je kleiner ɛ ist. Eine weitere Definition konvergierender Folgen ist die Cauchy-Folge. Definition. Eine Folge c n in C heißt Cauchy-Folge, wenn gilt: ε > 0 N N, sodass c n c m < ε n, m N...2 Es lässt sich zeigen, dass diese beiden Definitionen sich gegenseitig bedingen. Satz. Sei c n eine Folge in C. Dann gilt: a n konvergiert a n ist eine Cauchy-Folge...3 Beweis. = : Die Folge c n konvergiert gegen c. So gibt es nach.. ε > 0 N N, sodass c n c < ε = δ n N Daraus folgt mit der Dreiecksungleichung n, m N : c n c m = c n c c m c c n c + c m c < ε 2 + ε 2 = ε...5 Die Rückrichtung des Beweis erfolgt über das Vollständigkeits-Axiom bzw. das Intervallschatelungs-Prinzip. Der Satz..3 beinhaltet somit die Vollständigkeit eines Raumes z. B. für R oder C. Eine Folge mit Grenzwert c = 0 ist eine Nullfolge. Konvergiert eine Folge nicht, so ist sie divergent z. B. die Sinus-Funktion. Satz. Jede konvergente Folge ist beschränkt. Die Umkehrung dieses Satzes gilt nicht. Beispiele konvergenter Folgen s Q, s > 0 a R + n s = n a =...7 z C, z < z n = z C, z >, k N n k = z n 3

4 .2 Konvergenz-Kriterien für Folgen Folgen.2. Konvergenz-Kriterien für Folgen Seien c n und d n konvergente Folgen in C mit c n = c und. Dann konvergiert auch die Summenfolge c n + d n und es gilt d n = d. c n + d n = c + d Dann konvergiert auch die Produktfolge c n d n und es gilt c n d n = cd Und ist außerdem d 0. Dann ist d n 0 bis auf endlich viele n und es gilt cn = c d Dann konvergieren auch der Betrag der Folge c n, die komplex-konjugierte Folge c n, sowie der Realteil Rc n und der Imaginärteil Ic n und es gilt c n = c, c n = c, d n Rc n = Rc, Ic n = Ic..2.4 Einschließungsregel. Seien a n, b n und c n Folgen in R für die gilt a n b n c n bis auf endlich viele Ausnahmen und seien sowohl a n als auch c n konvergent. Dann konvergiert auch b n und es gilt a n b n c n..2.5 Lemma. Seien c n und d n beschränkte Folgen in C und c n eine Nullfolge. Dann ist auch die Produktfolge eine c n d n eine Nullfolge. Satz. Jede beschränkte monotone Folge a n in R konvergiert mit a n = sup a n für wachsende Folgen,.2.6 a n = inf a n für fallende Folgen Teilfolgen und Häufungspunkte Definition. Sei a n eine Folge und n k k N eine streng monoton wachsende Folge in N. Dann heißt die Folge a nk k N Teilfolge von a n. Definition. Eine Zahl h heißt Häufungspunkt einer Folge a n, wenn es eine Teilfolge von a n gibt, die gegen h konvergiert. So hat z. B. die alternierende Folge n die Häufungspunkte - und. Satz von Bolzano-Weierstraß. Jede beschränkte Folge in C besitzt mindestens eine konvergente Teilfolge. Folglich besitzt jede beschränkte Folge in C mindestens einen Häufungspunkt. Diese Formulierung ist äquivalent zum Satz von Bolzano-Weierstraß. 4

5 .4 Uneigentliche Konvergenz Reihen Definition. Sei a n eine Folge in R. Dann definiert man den Limes superior sup a n = a n := sup {ak : k n}.3. und den Limes inferior inf a n = a n := inf {ak : k n}..3.2 Der Limes superior und der Limes inferior sind wohldefinierte Häufungspunkte der Folge. Es handelt sich jeweils um den größten bzw. kleinsten Häufungspunkt..4. Uneigentliche Konvergenz Definition. Eine Folge a n in R heißt bestimmt divergent oder auch uneigentlich konvergent gegen +, wenn Man schreibt K R N N, sodass a n > K n N..4. a n =..4.2 Analoges gilt für die bestimmte Divergenz oder auch uneigentliche Konvergenz gegen. 2. Reihen Definition. Sei c k k N eine Folge in C. Daraus entsteht eine unendliche Reihe, indem man für jedes n N die n-te Partialsumme s n := n c k betrachtet. Die Folge s n n N der Partialsumme heißt unendliche Reihe mit den Gliedern c k und wird mit c k bezeichnet. Konvergiert die Folge s n, so steht dieser Ausdruck aber auch für den Grenzwert, der Summe der Reihe heißt. Entsprechendes gilt für Reihen, deren Indexmenge nicht bei k = 0 beginnt 2.. Wichtige Reihen Geometrische Reihe. z C, z < z k = z

6 2.2 Konvergenz-Kriterien für Reihen Reihen Beweis. s n = n z k z n+ = {}}{ z vollständige Induktion z n+ s n = = z z Harmonische Reihe. k= Beweis. Betrachte die speziellen Partialsummen s 2 ν = 2 ν k= = k k = Da die Summe jeder Klammer 2 ist, folgt 2 ν ν s 2 ν + ν Beispiel einer Teleskopsumme. s n = s 2 ν + ν = ν ν 2 k= = kk + Beweis. Zunächst wird das Glied der Reihe per Parzialbruchzerlegung gespalten: kk + = k k Die so entstehenden Partialsummen bilden eine Teleskopsumme, bei der sich je zwei aufeinander Folgende Terme aufheben, so dass nur der erste und der letzte Term stehen bleiben: s n = n + n n = n + n s n = =. 2.. n Konvergenz-Kriterien für Reihen Cauchy Kriterium. Für eine Reihe in C gilt n c k konvergiert ε > 0 N N : c k < ε n m m N Satz. Es ist notwendig aber nicht hinreichend für die Konvergenz einer Reihe a k, dass k=m die Folge deren Glieder a k eine Nullfolge ist. 6

7 2.2 Konvergenz-Kriterien für Reihen Reihen Satz. Linearkombination konvergenter Reihen. Seien c k und d k konvergente Reihen in C und sei λ C. Dann gilt n n c k + λ d k = c k + λ d k Satz. Sei a n 0 n p, dann gilt a k konvergent s n beschränkt k=p Leibniz sches Konvergenz-Kriterium. Sei a n eine monoton fallende Nullfolge in R. Dann konvergiert die alternierende Reihe k a k Beispiel. Alternierende harmonische Reihe k k k= = ln Definition. Eine Reihe in C konvergiert absolut, falls die Reihe der Absolutbeträge konvergiert: c k < Satz. Eine absolut konvergierende Reihe konvergiert auch im gewöhnlichen Sinn. So konvergiert zum Beispiel die geometrische Reihe für z <. Majoranten-Kriterium. Sei c k eine konvergente Reihe in C und a k eine Reihe in Definition. R mit c k a k k. Dann konvergiert c k absolut. a k wird in dem Fall eine Majorante von c k genannt. Quotienten-Kriterium. Sei a Es gebe q ] 0, [ mit b Es gebe q ], [ mit c k eine Reihe in C und N N. c k+ c k c k+ c k q und ck 0 k N. Dann konvergiert q und ck 0 k N. Dann divergiert c k absolut. c k. Umordnungssatz. Jede Umordnung einer absolut konvergenten Reihe konvergiert ebenfalls absolut gegen den selben Grenzwert. 7

8 2.3 Exponentialfunktion Reihen Cauchy-Produkt von Reihen. Es seien a k und b k absolut konvergente Reihen. Für n N werde definiert c n := n a k b n k Dann ist auch die Reihe c k absolut konvergent mit c k = a k b k Exponentialfunktion Satz. Für jedes z C ist die Exponentialreihe expz := z k k! 2.3. absolut konvergent. Eigenschaften der Exponentialfunktion für Argumente in C. Für alle z, w C gilt: expz +w = expz expw, expz 0, exp z = expz, expz = expz Eigenschaften der Exponentialfunktion für Argumente in R. Für alle x R gilt: expx > x R +, < expx < x R, expr = e r r Q, x expxist streng monoton wachsend

9 Literatur A. Literatur ˆ Skript zur Analysis I für Physiker Vorlesung von Prof. Castrigiano, WS 2009/0 ˆ Otto Forster, Analysis - Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen, 8. Aulage, vieweg 9