Tutorium: Analysis und lineare Algebra. Regeln von de l Hospital, Reihen, Funktionen mehrerer Variablen, komplexe Zahlen

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1 Tutorium: Analysis und lineare Algebra Regeln von de l Hospital, Reihen, Funktionen mehrerer Variablen, komplexe Zahlen

2 Steven Köhler mathe.stevenkoehler.de 2

3 Die Regeln von de l Hospital I Der Typ 0 0 Es sei I ein Intervall und x 0 2 I. Die Funktionen f und g seien fäur alle x 2 I mit x 6= x 0 di erenzierbar. Es gelte g(x) 6= 0 und g 0 (x) 6= 0 fäur alle x 2 I, x 6= x 0. Ferner sei lim f(x) = lim g(x) =0. x!x 0 x!x 0 Dann gilt: lim x!x 0 μ f(x) g(x) = lim x!x 0 μ f 0 (x) ; g 0 (x) falls der rechte Grenzwert existiert bzw. gleich +1 oder 1 ist. Analog fäur x!1. 3

4 Die Regeln von de l Hospital II Der Typ 1 1 Es sei I ein Intervall und x 0 2 I. Die Funktionen f und g seien fäur alle x 2 I mit x 6= x 0 di erenzierbar. Es gelte g(x) 6= 0 und g 0 (x) 6= 0 fäur alle x 2 I, x 6= x 0. Ferner sei lim f(x) = lim g(x) = 1. x!x 0 x!x 0 Dann gilt: μ f(x) lim x!x 0 g(x) μ f 0 (x) = lim ; x!x 0 g 0 (x) falls der rechte Grenzwert existiert bzw. gleich +1 oder 1 ist. Analog fäur x!1. 4

5 Die Regeln von de l Hospital III Der Typ 0 1 Es seien lim x!x 0 f(x) = 0 und lim x!x 0 g(x) = 1. Dann gilt: ³ lim f(x) g(x) x!x 0 = lim x!x 0 Ã! f(x) 1 g(x) = lim x!x 0 Ã! g(x) 1 : f(x) 5

6 Die Regeln von de l Hospital IV Der Typ 1 1 Es sei lim x!x 0 f(x) = lim x!x 0 g(x) = 1. Dann gilt: ³ lim f(x) g(x) x!x 0 = lim x!x 0 Ã 1 g(x) 1 f(x) 1 f(x)g(x)! : 6

7 Die Regeln von de l Hospital V Die Typen 0 0,1 1 und 1 0 ² Typ 0 0 : Es seien lim x!x 0 f(x) = 0 und lim x!x 0 g(x) =0. ² Typ 1 1 : Es seien lim x!x 0 f(x) =1und lim x!x 0 g(x) = 1. ² Typ 1 0 : Es seien lim x!x 0 f(x) = 1 und lim x!x 0 g(x) =0. Dann gilt: ³ g(x) ³ f(x) lim f(x) = lim e g(x) ln = e x!x 0 x!x 0 lim g(x) ln f(x) x!x 0 : 7

8 Die Regeln von de l Hospital VI Aufgabe Bestimme die folgenden Grenzwerte ² lim x 1 x x!1 μ ² lim x!0 ² lim x!0 1 ln (x +1) 1 x μ 2 x 1. 3x 2 8

9 Reihen s 1 = a 1 s 2 = a 1 + a 2 s 3 = a 1 + a 2 + a 3 s 4 = a 1 + a 2 + a 3 + a 4. s n = nx a i = a 1 + a 2 + :::+ a n i=1 Man nennt die Folge (s n ) n2n eine Reihe. Die Summe s n = n P hei¼t n-te Partialsumme der Reihe, die Summanden a i Glieder der Reihe. a i i=1 hei¼en 9

10 Harmonische Reihen Man nennt die folgende (divergente) Reihe die harmonische Reihe: 1X i=1 1 i = ::: Generell werden Reihen der Form 1X i=1 1 i = ::: als harmonische Reihen bezeichnet. Diese konvergieren fäur >1 und divergieren fäur 1. 10

11 Geometrische Reihen Man nennt Reihen der folgenden Form geometrische Reihen: 1X q i =1+q + q 2 + ::: i=0 Diese konvergieren fäur q < 1unddivergieren fäur q 1. FÄur q < 1lÄasst sich der Grenzwert wie folgt berechnen: lim n!1 Ã X n! q i i=0 = 1 1 q : Dies folgt unmittelbar aus der geometrischen Summenformel nx i=0 q i = 1 qn+1 1 q : 11

12 Das Majorantenkriterium Es sei 1P i=0 b i eine konvergente Reihe mit nichtnegativen Gliedern b i,d.h.b i 0fÄur alle i =1; 2;:::. Ist dann 1 P i=0 a i eine Reihe, fäur die ja i j b i fäur alle i =1; 2;::: gilt, so konvergiert auch die Reihe 1 P i=0 a i. Man nennt die Reihe 1 P i=0 b i eine konvergente Majorante. 12

13 Das Quotientenkriterium I Gegeben sei eine Reihe 1 P endlich viele i. i=0 a i mit a i 6=0fÄur alle bis auf häochstens Die Reihe konvergiert (und zwar sogar absolut), falls es ein i 0 0undeinq mit 0 <q<1gibt,sodassfäur alle i i 0 gilt: a i+1 a i q<1: Die Reihe divergiert, falls es ein i 0 0 gibt, so dass fäur alle i i 0 gilt: a i+1 a i 1: 13

14 Das Quotientenkriterium II Gegeben sei eine Reihe 1 P i=0 a i mit a i 6=0fÄur alle bis auf häochstens endlich viele i. Danngilt: a Ist lim i+1 i!1 a i < 1, so konvergiert die Reihe absolut. a Ist lim i+1 i!1 a i > 1, so divergiert die Reihe. a Ist lim i+1 i!1 a i = 1, ist keine Aussage zur Konvergenz mäoglich. 14

15 Das Wurzelkriterium I Die Reihe konvergiert (und zwar sogar absolut), falls es ein i 0 0 und ein q mit 0 <q<1gibt,sodassfäur alle i i 0 gilt: i q a i q<1: Die Reihe divergiert, fallseseini 0 0 gibt, so dass fäur alle i i 0 gilt: i q a i 1: 15

16 Das Wurzelkriterium II Gegeben sei eine Reihe 1 P i=0 a i mit a i 6=0fÄur alle bis auf häochstens endlich viele i. Danngilt: i Ist lim q a i!1 i < 1, so konvergiert die Reihe absolut. i Ist lim q a i!1 i > 1, so divergiert die Reihe. i Ist lim q a i!1 i = 1, ist keine Aussage zur Konvergenz mäoglich. 16

17 Das Leibnizsche Kriterium Eine Reihe 1 P i=0 1 iai mit a i 0istkonvergent,wenn a i eine monotone Nullfolge ist, d.h., wenn a 0 a 1 a 2 ::: sowie a i! 0gilt. 17

18 Potenzreihen Eine Potenzreihe ist ein Ausdruck der Form 1X a i x i = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + :::: i=0 Eine Potenzreihe kann als \unendliches Polynom" aufgefasst werden. 18

19 Konvergenzradius I Zu jeder Potenzreihe 1 P R 2 i=0 a i x i gibt es eine Zahl R mit n o r 2 R : r 0 [ n o 1 ; so dass die Potenzreihe fäur alle x mit x < R (absolut) konvergiert und fäur alle x mit x >Rdivergiert. Die Zahl R wird als Konvergenzradius der Reihe bezeichnet. 19

20 Konvergenzradius II Der Konvergenzradius kann sowohl mit dem Quotienten- als auch mit dem Wurzelkriterium berechnet werden: R = lim a n n!1 a n+1 R = bzw. lim n!1 1 q an n 20

21 Taylorpolynome I Die Funktion f sei im Intervall [a; b] (n + 1)-mal di erenzierbar und die (n+1)-te Ableitung sei stetig auf [a; b]. Es gelte 0 2 (a; b). Dann folgt fäur alle x 2 [a; b]: n P f(x) =T n (x)+r n (x): f Dabei ist T n (x) = (k) (0) k! x k das n-te Taylorpolynom (an der k=0 Stelle x 0 =0)undfÄur das Restglied (in Integralform) gilt: R n (x) = 1 n! Z x 0 (x t) n f (n+1) (t) dt: 21

22 Taylorpolynome II Einige Taylor-Polynome der Funktion sin. 22

23 Taylorreihen I Die Funktion f sei im Intervall a; b beliebig oft di erenzierbar. Es gelte 0 2 a; b. Dann hei¼t die Potenzreihe 1X k=0 f (k) (0) k! x k die Taylorreihe von f. Genauer gesagt handelt es sich um die Taylorreihe mit dem Entwicklungspunkt x 0 = 0. Statt Taylorreihe sagt man auch Taylor-Entwicklung. Allgemein: 1X k=0 f (k) (x 0 ) k! x x0 k 23

24 Taylorreihen II Aufgabe Bestimme eine Taylorreihe fäur die Funktion f(x) = sinh(2x). Aufgabe Bestimme eine Taylorreihe fäur die Funktion f(x) = cosh(2x). 24

25 Funktionen mit mehreren Variablen Beispielfunktion: f(x; y) =cos p x sin (y) 25

26 Bestimmung des Gradienten I ZunÄachst werden die stationäaren Stellen der Funktion bestimmt: Dazu wird der Gradient grad f(x 1 ;x 2 ;:::;x n ) gebildet und gleich 0 gesetzt. grad f(x 1 ;x 2 ;:::;x n ) = ³ df dx 1 ; df dx 2 ;:::; = (0; 0;:::;0) df dx n 26

27 Bestimmung des Gradienten II Dies läasst sich auch wie folgt schreiben: df dx 1 (x) = 0 df dx 2 (x) = 0. df (x) dx n = 0 Die LÄosungen x (i) dieses Gleichungssystem sind die gesuchten stationäaren Stellen. Diesewerdenauchkritische Stellen genannt. 27

28 Aufstellen der Hesse Matrix I Anschlie¼end werden die Hesse-Matrizen H i wie folgt erstellt: H i = 0 df dx 2 1 ³x (i) df ³ (i) x dx 2 dx 1. df ³ dx n dx 1 x (i) df ³ (i) x dx 1 dx 2 df dx 2 2 ³x (i). df ³ (i) x dx n dx 2 df ³ dx 1 dx n df ³ dx 2 dx n..... df dx 2 n x (i) x (i) ³x (i) 1 C A 28

29 Aufstellen der Hesse Matrix II Abschlie¼end muss die De nitheit der Hesse-Matrizen bestimmt werden, um die Art des Extremums zu ermitteln: Dazu werden zunäachst die Abschnittsdeterminanten 1, 2, :::, n bestimmt. Sind alle i > 0 (i 2 f1;:::;ng), so ist die Matrix positiv de nit und es liegt ein Minimum vor. Haben die i ein alternierendes Vorzeichen, beginnend mit "-", ist die Matrix negativ de nit und es liegt ein Maximum vor. Formal ausgedräuckt: 2m+1 < 0und 2m > 0mitm 2 N. 29

30 Aufstellen der Hesse Matrix III Ist die Matrix weder positiv noch negativ de nit, kann ohne weitere Untersuchung keine genaue Aussage getro en werden. Dazu wird z.b. die Bilinearform b Hi benutzt. Diese ist wie folgt de niert: b Hi (x; y) =x H i y T Gibt es nun Vektoren x und y, so dass b Hi (x; x) > 0 und b Hi (y;y) < 0, so ist die Matrix inde nit und es liegt kein Extremum vor. 30

31 Ableiten von Funktionen mit mehreren Variablen ohne Nebenbedingungen Aufgabe Aufgabe Bestimme die Extremstellen von f(x; y) = 6xy + x 2 +2y 3. 31

32 Komplexe Zahlen I Es sei z = a + ib 2 C. Dann hei¼t ² a Realteil von z (Bezeichnung: a =Rez oder a = <z); ² b ImaginÄarteil von z (Bezeichnung: b =Imz oder b = =z); ² jzj = p a 2 + b 2 absoluter Betrag von z; ² z = a ib konjugiert komplexe Zahl zu z. 32

33 Komplexe Zahlen II 33

34 Rechnen mit komplexen Zahlen I Addition & Subtraktion Es seien z 1 = a 1 + ib 1 und z 2 = a 2 + ib 2.Dannist z 1 + z 2 = ³a 1 + a 2 + i ³b 1 + b 2 ; z 1 z 2 = ³a 1 a 2 + i ³b 1 b 2 : 34

35 Rechnen mit komplexen Zahlen II Multiplikation & Division Es seien z 1 = a 1 + ib 1 und z 2 = a 2 + ib 2.Dannist z 1 z 2 = ³a 1 a 2 b 1 b 2 + i ³a 1 b 2 + a 2 b 1 ; z 1 z 2 = μ a1 a 2 + b 1 b 2 a i b2 2 μ a1 b 2 a 2 b 1 a : b2 2 35

36 Polarkoordinatendarstellung I Komplexe Zahlen käonnen alternativ auch mit Hilfe der folgenden Polarkoordinatendarstellung angegeben werden: z = r ³cos ' + i sin ' : Die Bezeichnungen sind bei dieser Darstellung wie folgt: ² r: Betrag von z; ² ': Argument von z. 36

37 Polarkoordinatendarstellung II Es seien z 1 = r 1 (cos ' 1 + i sin ' 1 )undz 2 = r 2 (cos ' 2 + i sin ' 2 ). Dann gilt: z 1 z 2 = r 1 r 2 ³ cos ' 1 + ' 2 + i sin '1 + ' 2 ; z 1 z 2 = r 1 r 2 ³ cos ' 1 ' 2 + i sin '1 ' 2 : 37

38 Die komplexe Exponentialfunktion Eine weitere MÄoglichkeit zur Darstellung komplexer Zahlen ergibt sich durch die Verwendung der komplexen Exponentialfunktion: r ³cos ' + i sin ' = r e i' 38

39 Vielen Dank für die Aufmerksamkeit & Viel Erfolg bei der Klausur 39