Rechnerorganisation 2.Vorlesung

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1 Rechnerorganisation 2.Vorlesung Begriffe, Mathematische Grundlagen (1) Boolesche Algebren, Normalformen (2,3) Kombinatorische Schaltungen (4) Programmierbare Strukturen (5) Automaten, Sequentielle Schaltungen (6-9) Rechneraufbau und funktion (11,12) Informationskodierung (13,14) H.-D. Wuttke, K. Henke

2 Begriff digitales Signal Zeitkontinuierlich Wertkontinuierlich analog Wertdiskret quantisiert Zeitdiskret abgetastet digital H.-D. Wuttke, K. Henke

3 Zahlensysteme 12:34 H.-D. Wuttke, K. Henke

4 Mathematische Grundlagen Prädikate => Aussagen Quantisierung von Individuum x Allquantor x: für alle x gilt Existenzquantor Ǝx: es existiert mind. ein x Resultat: x ist quantisiert: w, f unabhängig von x Aussage x (p(x)) Ǝx (p(x)) H.-D. Wuttke, K. Henke

5 Venn-Diagramme (Beispiele) H.-D. Wuttke, K. Henke

6 Angebot zum Selbststudium H.-D. Wuttke, K. Henke

7 Rechnerorganisation 2.Vorlesung Begriffe, Mathematische Grundlagen (1) Boolesche Algebren, Normalformen (2,3) Kombinatorische Schaltungen (4) Programmierbare Strukturen (5) Automaten, Sequentielle Schaltungen (6-9) Rechneraufbau und funktion (11,12) Informationskodierung (13,14) H.-D. Wuttke, K. Henke

8 Rechnerorganisation 2.Vorlesung Funktion digitaler Schaltungen: Variablen, Belegungen BMA, Wertetabellen Syntax schaltalgebraischer Ausdrücke Semantik, Wertfunktion BAA, Wertberechnung Ausdruck => Wertetabelle H.-D. Wuttke, K. Henke

9 BMA, BAA BMA BOOLEsche Mengenalgebra BAA BOOLEsche Ausdrucksalgebra George Boole 2. November Dezember : The Mathematical Analysis of Logic Quelle: Wikipedia.de H.-D. Wuttke, K. Henke

10 Variablen, Belegungen H.-D. Wuttke, K. Henke

11 Variablen, Belegungen H.-D. Wuttke, K. Henke

12 Variablen, Belegungen H.-D. Wuttke, K. Henke

13 Variablen Binäre Variable x 0,y 0 : 2 Werte (Konstanten): 0,1 Bezeichnung: Kleinbuchstabe + Index Vektoren x, y: Tupel aus n Variablen x=[x n-1,...,x 1,x 0 ], x =n 2 n Wertekombinationen (Belegungen) H.-D. Wuttke, K. Henke

14 Belegungen Eingangsvektor x=[x n-1,...,x 1,x 0 ], x =n Belegungen: X 0,Y 0 X 2 n -1, Y 2 m -1 2 n : von [0,0,0,...,0] bis [1,1,1,...,1] Bezeichnung: Großbuchstabe + Index Belegungsmengen X: X={X 0, X 1, X 2,... }, X = 2 n Y={Y 0, Y 1, Y 2,... }, Y = 2 m H.-D. Wuttke, K. Henke

15 Wertetabelle Bezeichnung der Elemente Bit (Wert der Variablen eines Vektors x=[x 2,x 1,x 0 ] bzw. y=[y 1,y 0 ]) in einer Belegung X i, Y t z.b. Bit 2 von x=[x 2,x 1,x 0 ] in der Belegung X 3 X 3 (x 2 )=0 ( X 3 von x 2 ) mit X 3 =[ 0, 1,1], x=[x 2,x 1,x 0 ] Bit 1 von y=[y 1,y 0 ] in der Belegung Y 2 Y 2 (y 1 )=1 ( Y 2 von y 1 ) Y 2 =[1,0], y=[y 1,y 0 ] H.-D. Wuttke, K. Henke

16 Wertetabelle BMA: : X => Y BAA: y = h(x) Bezeichnung der Elemente H.-D. Wuttke, K. Henke

17 Wertetabelle Bezeichnung der Elemente Funktionsbeschreibung mit Mengen Menge der Eingangsbelegungen: X Menge der E. mit Funktionswert 1: X 1 zugehörige Indexmenge: I 1 Menge der E. mit Funktionswert 0: X 0 zugehörige Indexmenge: I 0 X= X 1 X 0, X 1 X 0 = I = I 1 I 0, I 1 I 0 = H.-D. Wuttke, K. Henke

18 Wertetabelle Beispiel: Addition Rechenregeln: 0+0=0 Übertrag 0; 0+1=1 Übertrag 0; 0+1+0=1 Übertrag 0; 0+1+1=0 Übertrag 1; 1+1+1=1 Übertrag 1; Summe =1 eine 1 oder drei 1 in X i Übertrag =1 Anzahl 1 in X i > 1 (mind. 2 Bits sind = 1) Ü H.-D. Wuttke, K. Henke

19 Wertetabelle Beispiel: Addition Unter Berücksichtigung eines Übertrages der vorigen Stelle H.-D. Wuttke, K. Henke

20 Wertetabelle Beispiel: Addition Vorbereich Nachbereich ü i-1 a i b i ü i s i Adder x 2 x 1 x 0 y 1 y 0 intern X Y 0 X Y 1 X Y 1 X Y 2 X Y 1 X Y 2 X Y 2 X Y 3 H.-D. Wuttke, K. Henke

21 Digitales System Architektur Funktion Wertetabelle Struktur Schaltung Ü n-1 a n + S n Y= (X) y = h k (x) b n Ün Ausgangsbelegung Y t Eingangsbelegung X i Belegungsmengen X 1 Ausgangsvariable y j Eingangsvariable x i Ausdrücke h k H.-D. Wuttke, K. Henke

22 Beispiel: Addition Vorbereich Nachbereich ü i-1 a i b i ü i s i Adder x 2 x 1 x 0 y 1 y 0 intern X Y 0 X Y 1 X Y 1 X Y 2 X Y 1 X Y 2 X Y 2 X Y 3 H.-D. Wuttke, K. Henke

23 Beispiel: Addition + S 0 a 0 b 0 Ü 0 + S 1 a 1 b 1 Ü n S n2 a n2 b n2 Ü n2 + S 3 a 3 b 3 Ü 3 H.-D. Wuttke, K. Henke

24 Beispiel: Addition + S 0 a 0 b 0 Ü 0 + S 1 a 1 b 1 Ü n S n2 a n2 b n2 Ü n2 + S 3 a 3 b 3 Ü 3 H.-D. Wuttke, K. Henke

25 Rechnerorganisation 2.Vorlesung 2. Funktion digitaler Schaltungen: Variablen, Belegungen BMA, Wertetabellen Syntax schaltalgebraischer Ausdrücke Semantik, Wertfunktion BAA, Wertberechnung Ausdruck => Wertetabelle H.-D. Wuttke, K. Henke

26 Schaltalgebraische Ausdrücke Bisher: formale Beschreibung der Funktion einer digitalen Schaltung über Wertetabellen : X => Y Für eine schaltungstechnische Realisierung ist eine strukturorientierte Beschreibung von Interesse => schaltalgebraische Ausdrücke y = h(x) H.-D. Wuttke, K. Henke

27 Schaltalgebraische Ausdrücke Syntax: H.-D. Wuttke, K. Henke

28 Schaltalgebraische Ausdrücke Syntax vereinfachte Schreibweise: ohne äußere Klammern Priorität Beispiel H.-D. Wuttke, K. Henke

29 Rechnerorganisation 2.Vorlesung 2. Funktion digitaler Schaltungen: Variablen, Belegungen BMA, Wertetabellen Syntax schaltalgebraischer Ausdrücke Semantik Wertfunktion BAA, Wertberechnung Ausdruck => Wertetabelle H.-D. Wuttke, K. Henke

30 Wertberechnung (für Konstanten) Konjunktion: Reihenschaltung Disjunktion: Parallelschaltung J. Borgmeyer: Grundlagen der Digitaltechnik H.-D. Wuttke, K. Henke

31 Wertberechnung (für Konstanten) J. Borgmeyer: Grundlagen der Digitaltechnik H.-D. Wuttke, K. Henke

32 Wertberechnung (für Konstanten) J. Borgmeyer: Grundlagen der Digitaltechnik H.-D. Wuttke, K. Henke

33 Wertberechnung (für Konstanten) J. Borgmeyer: Grundlagen der Digitaltechnik H.-D. Wuttke, K. Henke

34 Semantik: Wertfunktion W E: Menge syntaktisch korrekter Ausdrücke X: Menge der Eingangsbelegungen Semantik W: E x X => {0,1} Ausdruck h i E hat bei bestimmter Belegung X k X bestimmten Wert W(h i, X k )=1 bzw. =0 H.-D. Wuttke, K. Henke

35 Rechnerorganisation 2.Vorlesung 2. Funktion digitaler Schaltungen: Variablen, Belegungen BMA, Wertetabellen Syntax schaltalgebraischer Ausdrücke Semantik, Wertfunktion BAA, Wertberechnung Ausdruck => Wertetabelle H.-D. Wuttke, K. Henke

36 Semantik: Wertfunktion W Rechenregeln: BAA Wertberechnung für Ausdrücke W(h k, X i ): schrittweise Berechnung des Wertes 1. Belegung der Variablen (Bits) 2. Verknüpfung der Werte Variable x j => Bit der Belegung X i (x j ) H.-D. Wuttke, K. Henke

37 Rechnerorganisation 2.Vorlesung 2. Funktion digitaler Schaltungen: Variablen, Belegungen BMA, Wertetabellen schaltalgebraische Ausdrücke Syntax, Semantik Wertfunktion, Wertberechnung Ausdruck => Wertetabelle H.-D. Wuttke, K. Henke

38 Ausdruck => Wertetabelle Berechnung der Werte eines Ausdrucks für alle Eingangsbelegungen: => Notation in Wertetabelle als Wertverlauf => Ausdruck repräsentiert Wertetabelle (für eine Ausgangsvariable) H.-D. Wuttke, K. Henke

39 Das war s für heute Viel Spaß beim Wiederholen! Kap , 3.2.1, , Bis nächsten Donnerstag um H.-D. Wuttke, K. Henke

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