Kleine Formelsammlung zu Multimediakommunikation

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1 Kleine Formelsammlung zu Multimediakommunikation Florian Franzmann 21. Juli 2005 Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen Ergodizität Optik Weber sches Gesetz Mach-Effekt Maskierungseffekte Abtastung Abtastfunktion im Eindimensionalen Abtastfunktion im Zweidimensionalen Im Orts- bzw. Frequenzbereich Rate-Distortion-Theorie Transinformation Definition Eigenschaften Verzerrung Definition Mittlere Verzerrung Rate-Distortion-Funktion 4 siflfran@hawo.stw.uni-erlangen.de 1

2 1 Grundlagen 6 Quantisierung Gleichförmige ungerade Quantisierung Gleichförmige Quantisierung mit Totzone Lloyd-Max-Quantisierung LBG-Vektorquantisierung Redundanzreduktion Entropie und Informationsgehalt Informationsgehalt Entropie Redundanz Lauflängencodierung Huffman-Codierung Adaptiv/Dynamisch Modifizierte Huffman-Codierung Lineare Prädiktion DPCM Codierverzerrung Transformationscodierung Basisfunktion Orthogonalsystem Orthonormalsystem Separierbare orthonormale Transformationen Karhunen-Loève-Transformation Diskrete Cosinustransformation (DCT) Walsh-Hadamard Haar Bewegungsschätzung Block-Matching Übereinstimmungskriterien Suchverfahren Tabellenverzeichnis 1 Grundlagen 1.1 Ergodizität Zeit- und Scharmittelwerte stimmen überein. 2

3 2 Optik 2.1 Weber sches Gesetz L L = const. 0, ,02 L absolute Helligkeit, L Änderung der Helligkeit. 2.2 Mach-Effekt Kontrastwechsel an Kanten werden durch das Gehirn verstärkt. 2.3 Maskierungseffekte Feine Details werden in stark strukturierten Bereichen nicht wahrgenommen. Ruhende Objekte werden schärfer wahrgenommen. 3 Abtastung 3.1 Abtastfunktion im Eindimensionalen p(t) = µ= δ(t µt A ) P(f) = 1 T µ= ( δ f µ ) T A 3.2 Abtastfunktion im Zweidimensionalen s(x,y) = l(x,y) p(x,y) = l(mx,ny ) δ(x mx,y ny ) m= n= Im Orts- bzw. Frequenzbereich p(x,y) = P(f x,f y ) = 1 X Y m= n= m= n= ä(x mx,y ny ) ä(f x m X,f y n Y ) 3

4 6 Quantisierung 4 Rate-Distortion-Theorie 4.1 Transinformation Definition I(U,V ) = u p U,V (u,v) p U,V (u,v)log 2 p U (u) p V (v) v Eigenschaften I(U,V ) = I(V,U) 0 I(U,V ) H(U) I(V,U) H(V ) I(U,V ) = H(V ) H(V U) = H(U) H(U V ) 4.2 Verzerrung Definition u gesendet, v empfangen. d(u,v) 0 d(u,v) = 0 für u = v Mittlere Verzerrung D = E{d(u,v)} = u p u,v (u,v) d(u,v) v 5 Rate-Distortion-Funktion Untere Schranke für die für D notwendige Bitrate. 6 Quantisierung R(D ) = min D D {I(u,v)} 6.1 Gleichförmige ungerade Quantisierung MSE: Für kleine Q: p(q) = 1 Q. σ 2 q = i = NINT(u/Q) + Q 2 Q 2 v = i Q p(q)q 2 dq = Q2 12 4

5 6.2 Gleichförmige Quantisierung mit Totzone 6.2 Gleichförmige Quantisierung mit Totzone i = trunc(u/q) v = (i + 0,5sign(i)) Q 6.3 Lloyd-Max-Quantisierung v i = 6.4 LBG-Vektorquantisierung u i = v i + v i 1 2 ui+1 u i ui+1 u i u p U (u)du p U (u)du Verallgemeinerung der Lloyd-Max-Quantisierung auf Vektorquantisierung: 1. Finde beste Aufteilung der Trainingssequenzen für das gegebene Codebuch. 2. Finde bestes Codebuch für die gegebene Aufteilung der Trainingssequenz 7 Redundanzreduktion 7.1 Entropie und Informationsgehalt Informationsgehalt l(s i ) = log 2 p(s i ) Entropie Die Entropie H ist der mittlere Informationsgehalt der Quelle. N H = p(s i ) log 2 p(s i ) i= Redundanz R = l AV H 7.2 Lauflängencodierung Sequenzen gleicher Werte werden durch den Wert und die Zahl der Wiederholungen repräsentiert. 5

6 7 Redundanzreduktion 7.3 Huffman-Codierung Die Huffman-Codierung erreicht optimale Wortlänge, wenn alle Symbole mit der Wahrscheinlichkeit p(s n ) = ( 1 2) n Adaptiv/Dynamisch Wahrscheinlichkeiten werden während der Codierung angepasst Modifizierte Huffman-Codierung Standardtabellen für weniger wichtige Werte (Escape-Sequenzen). 7.4 Lineare Prädiktion Yule-Walker-Gleichung: a = R 1 r mit a = R = r = a 1. a N E{s[n 1]s[n 1]} E{s[n 1]s[n N]}..... E{s[n N]s[n 1]} E{s[n N]s[n N]} E{s[n]s[n 1]}. E{s[n]s[n N]} 7.5 DPCM Codierverzerrung Granulares Rauschen Zufälliges Rauschen in glatten Bereichen. Steigungsübersteuerung Unschärfe an kontrastreichen Kanten und Moiré-Muster bei periodischen Strukturen. 6

7 7.5 DPCM s[n] + e[n] Quantisierer e [n] Entropie-Coder Kanal p[n] Prädiktor (a) Coder + s [n] Kanal e [n] Entropie-Decoder + s [n] p[n] Prädiktor (b) Decoder Abbildung 1: Blockschaltbild DPCM-Coder 7

8 7 Redundanzreduktion Kantenrauschen Kanten erscheinen verrauscht. 7.6 Transformationscodierung Ziel der Transformationscodierung ist die Konzentration der Signalenergie auf möglichst wenige Koeffizienten. Eine orthonormale Transformation entspricht einer Drehung des Koordinatensystems Basisfunktion Zeilen der Transformationsmatrix Orthogonalsystem Alle Vektoren stehen paarweise senkrecht aufeinander Orthonormalsystem Zusätzlich haben alle Vektoren die Länge 1. Teile jede Zeile durch die Wurzel der Summe der Quadrate ihrer Komponenten Separierbare orthonormale Transformationen a kl [m,n] = a k [m] a l [n] k,l {0...N 1} Y = AXA T X = A T Y A Vorteil: Rechenaufwand der Transformation nur noch O(N 3 ) anstatt O(N 4 ) Karhunen-Loève-Transformation Basisfunktionen sind die orthonormalisierten Eigenvektoren der Covarianzmatrix. Optimale Energiekonzentration. Basisfunktionen abhängig vom Signal, aufwändig zu berechnen Diskrete Cosinustransformation (DCT) Symmetrisch erweiterte DFT. Nur reelle Koeffizienten Walsh-Hadamard Basisfunktion rechteckförmig. Geringer Berechnungsaufwand. 8

9 intervall := [0, 1) low := 0 high := 1 Codiere Symbol EOF mit minimaler Wahrscheinlichkeit Eingabezeichen s Zerlege intervall in low, high Bestimme zu s gehöriges Subintervall: subintervall = low + (high low) [s low,s high ) intervall := subintervall Bestimme zu EOF gehöriges Teilintervall von intervall Wähle möglichst einfach zu kodierende Zahl des Ergebnisintervalls und codiere sie Gib die Wahrscheinlichkeitstabelle und die Codierung als Ergebnis aus Abbildung 2: Arithmetische Codierung Haar Frequenzbänder haben ungleiche Abstände Vereinfachte Wavelettransformation 8 Bewegungsschätzung 8.1 Block-Matching Ein Block von N N Bildpunkten wird an allen Suchpunkten mit dem Block im Suchgebiet verglichen. 9

10 8 Bewegungsschätzung 8.2 Übereinstimmungskriterien Summe der quadratischen Fehler (SSE) Summe der absoluten Differenzen (SAD) 8.3 Suchverfahren Dreischrittsuche logarithmische Suche Spiralsuche 10