Übungen zum Ferienkurs Ferienkurs Lineare Algebra für Physiker WiSe 2017/18 Übungsblatt 1- Lösung

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1 Technische Universität München Physik Department Pablo Cova Fariña Claudia Nagel Übungen zum Ferienkurs Ferienkurs Lineare Algebra für Physiker WiSe 2017/18 Übungsblatt 1- Aufgabe 1: (a) Gegeben seien die Matrizen Matrixmultiplikation - zum Wachwerden A = B = Berechnen Sie alle möglichen Produkte! (b) Berechnen Sie: D = ( ) E = C = (a) Die möglichen Produkte der angegebenen Matrizen lauten: A 2 = AE = CD = AB = BC = DC = ( 57) (b) Bitte wenden...

2 Aufgabe 2: Neues Jahr neues Glück! Gegeben sei die Matrix A = Berechne A 2018! A 2 = = = I 3 A 3 = A; A 4 = I 3 ;...A 2018 = I 3 Aufgabe 3: Nilpotente Matrix Für eine quadratische Matrix M C n n definiert man das Matrixexponential als: Ermitteln Sie exp(m) für die Matrix: exp(m) = 1 k! M k M = Hinweis: Für eine beliebige Matrix M K n n gilt M 0 = I n. Weiterhin ist die angegebene Matrix M nilpotent d.h. M n = 0 für ein n N. Einfach losmultiplizieren! exp(m) = M 0 = M 2 = M 1 = M 3 = =

3 Aufgabe 4: Gegeben sei die Matrix Rang einer Matrix A = k k Finde den Rang von A abhängig vom Parameter k. Wir bringen A auf Zeilenstufenform. k 1 3 II - k I 0 1 3k 3 k k 1 7 k III II k 3 k II III - I 0 1 3k 3 k k 3 k III - (1 3k) II k 2 Die ersten zwei Zeilen der Matrix sind ungleich einer Nullzeilen unabhängig von der Wahl von k. Die dritte Zeile wird zur Nullzeite für k = ± 3. Zusammenfassend: rg(a) = 2 für k = ± 3 rg(a) = 3 sonst Aufgabe 5: LGS 1 Lösen Sie folgende lineare Gleichungssysteme: (a) x 2 + 2x 3 + 3x 4 = 0 x 1 + 2x 2 + 3x 3 + 4x 4 = 0 2x 1 + 3x 2 + 4x 3 + 5x 4 = 0 3x 1 + 4x 2 + 5x 3 + 6x 4 = 0 (b) 6x 1 + 6x 2 + 2x 3 2x 4 = 2 9x 1 + 8x 2 + 3x 3 2x 4 = 3 3x 1 + 2x 2 + x 3 = 1 15x x 2 + 5x 3 4x 4 = 5 Bitte wenden...

4 (a) I II III + II IV + 2 II III - 2 I IV - 3 I I - 2 II Wir haben zwei Gleichungen für vier Unbekannten. Wir brauchen also zwei freie Parameter. Legen wir x 4 = λ und x 3 = µ fest so finden wir x 2 = 2µ 3λ und x 1 = µ + 2λ. Die smenge lautet: (b) III - II IV - 2 II L = I III µ + 2λ 2µ 3λ µ λ mit I - II λ µ R II - 2 I III - 3 I IV - 5 I Wir haben zwei Gleichungen für vier Unbekannten. Wir brauchen also zwei freie Parameter. Legen wir x 1 = λ und x 2 = µ fest so finden wir x 4 = µ und x 3 = 1+3λ 2µ. Die smenge lautet: L = λ µ 1 + 3λ 2µ µ mit λ µ R

5 Aufgabe 6: LGS 2 Gegeben sei das lineare Gleichungssystem: x 1 + x 2 + ax 3 4 = 0 x 1 + x 2 + x = 0 x 1 ax 2 + x 3 1 = 0 wobei a R. (a) Lösen Sie das LGS und geben Sie an für welche Werte von a das System: (i) unlösbar ist. (ii) lösbar ist. (b) Interpretieren Sie die Fälle geometrisch. Wir stellen zunächst die erweiterte Koeffizientenmatrix auf und wenden dann den Gauss- Algorithmus an. 1 1 a a 1 1 Wir stellen fest: Z1 Z2 Z1 Z a 4 1 a 1 1 Typ III a a 1 5 (i) Falls a = 1 oder a = 1 ist das System nicht lösbar. (ii) Sonst ist das System eindeutig lösbar a a (b) Falls Fall (i) auftritt haben wir zwei parallele Ebenen die dritte Ebene schneidet beide. Bei a = 1 sind die ersten zwei Ebenen parallel zueinander bei a = 1 sind es die zweite und die dritte Ebene. Falls Fall (ii) auftritt schneiden sich die drei Ebenen in einem Punkt. Aufgabe 7: Gruppen - leicht Erfinden Sie 1-2 Mengen mit Verknüpfung die eine Gruppe darstellen und 1-2 Mengen mit Verknüpfung die keine Gruppe darstellen weil eines der Axiome verletzt ist. Wenn Sie Hilfe brauchen dürfen sich von Ihrem Vorlesungs-Skript inspirieren lassen; wenn Sie eine Herausforderung brauchen dann versuchen Sie es ohne. Tauschen Sie die Beispiele mit der Person die neben Ihnen sitzt und versuchen Sie deren Beispiele zu lösen und die Gruppen zu identifizieren bzw. herauszufinden an welchem Axiom es scheitert. Bei Unklarheiten können Sie gerne die Tutoren fragen. Bitte wenden...

6 Aufgabe 8: Gruppen - leicht Zeigen Sie dass (Z +) eine Untergruppe von (Q +) ist. : (UG1) 0 Z d.h. das neutrale Element von Q liegt auch in Z. (UG2) x y Z : x + y Z: (UG3) x Z: x Z Aufgabe 9: Gruppen - mittel aber viel Schreibaufwand (a) Bestimmen Sie für alle Elemente der symmetrischen Gruppe S 3 ihr Inverses. (b) Ist die S 3 abelsch (d.h. kommutativ)? Was gilt allgemein für die S n n 3? (c) Bestimmen Sie alle Untergruppen der S 3. Tipp: Zeichnen Sie ein gleichseitiges Dreieck und nummerieren Sie die Ecken. Überlegen Sie sich eine geometrische Interpretation für die S 3. (d) Zeigen Sie: Die Kardinalität (= Mächtigkeit) der S n ist n!. : Zuerst überlegen wir uns welche Elemente überhaupt in der S 3 liegen: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) sind jeweils ihre ei- Dies sind alle Elemente der S 3. Das wissen wir da S 3 = 3! = 6. ( ) ( ) ( ) ( ) (a) Die Elemente genen Inversen. Die Elemente ( 1 2 ) und ( ) sind zueinander invers (b) Sie ist nicht abelsch: (123) (12) = (13) (23) = (12) (123). Da in allen symmetrischen Gruppen S n n 3 auch die Elemente der S 3 liegen (sie entstehen wenn man die Zahlen größer als 4 nicht permutiert) sind also alle anderen symmetrischen Gruppen für n 3 auch nicht abelsch. (c) Die Untergruppen ( ) ( sind: ) U 1 = { } ( ) ( ) U 2 = { } ( ) ( ) U 3 = { } ( ) ( ) U 4 = { ( ) U 5 = { } U 6 = S 3 ( 1 2 ) Die Untergruppen U 1 bis U 5 sind echte Untergruppen. U 1 U 2 U 3 sind die Untergruppen die durch Vertauschung zweier Ecken des Dreiecks bzw. Spiegelung an einer Mittelsenkrechten }

7 entstehen. U 4 entsteht durch Rotation des gleichseitigen Dreiecks. U 5 ist die Identität. U 6 ist die ganze Gruppe (und insbesondere keine echte Untergruppe). Geometrisch kann man die S 3 als Gruppe aller Deckabbildungen eines gleichseitigen Dreiecks interpretieren. (d) Wenn wir n Zahlen permutieren haben wir für die erste Position n Möglichkeiten für die zweite n und so weiter also gibt es n! Möglichkeiten die Menge A = { n} auf sich selbst abzubilden. Aufgabe 10: Gruppen - mittel Sei G eine Gruppe mit neutralem Element e. Zeigen Sie: a 2 = e a G G ist abelsch. (Direkter Beweis): Zuerst schreiben wir die rechte Seite um: a 2 = e a 1 = a a G. Seien nun a b G c := ab. Dann gilt: e = c 2 = (ab) 2 = abab = aba 1 b 1 ab = ba G abelsch. Hinweis: In einer früheren Version stand statt dem letzten ein im Beweis. Es wurde also fälschlicherweise geschlussfolgert dass in allen abelschen Gruppen a 2 = e gilt. Das ist natürlich falsch wie man zum Beispiel an der abelschen Gruppe {R\{0} } sieht. Dort gilt z.b. 2 2 = 4 1. Aufgabe 11: Vektorräume - mittel Entscheiden Sie ob die folgenden Mengen Untervektorräume zu den angegebenen Vektorräumen sind. (a) W = {(x 1 x 2 x 3 ) R 3 : x 1 = x 2 = 2x 3 } R 3 (b) W = {(x 1 x 2 ) R 2 : x x 4 2 = 0} R 2 (c) W = {(µ + λ λ 2 ) R 2 : µ λ R} R 2 (d) W = {(x 1 x 2 ) R 2 : x 1 x 2 } R 2 : Wir müssen die UVR-Axiome überprüfen. (a) (b) UVR 1: Erfüllt da (0 0 0) W W UVR 2: Erfüllt: Seien v w W d.h. v = (v 1 v v 1) w = (w 1 w w 1). v + w = (v 1 + w 1 v 2 + w (v 1 + w 1 )) UVR 3: Erfüllt: Sei v W d.h. v = (v 1 v v 1) λ R. Es gilt: λv = (λv 1 λv 2 λ 1 2 v 1) W W ist also ein UVR von R 3. Durch Hinsehen erkennt man dass W = {(0 0)} d.h. nur der Nullvektor erfüllt die Bedingung. Damit ist W nichtleer und UVR 1 ist erfüllt. Die anderen beiden Axiome folgen auch direkt da (0 0) + (0 0) = (0 0) W und λ(0 0) = (0 0) W. W ist also ein UVR von R 2. Bitte wenden...

8 (c) UVR 1: Erfüllt da z.b. (1 0) W W. UVR 2: Erfüllt. Betrachte die Addition zweier Elemente aus W: (µ 1 + λ 1 λ 2 1) + (µ 2 + λ 2 λ 2 2) = (µ 1 + µ 2 + λ 1 + λ 2 λ λ 2 2). Offensichtlich gibt es ein λ 3 R sodass λ 2 3 = λ λ 2 2. Setze µ 3 := µ 1 + µ 2 + λ 1 + λ 2 λ 3 R. Dann gilt: (µ 1 + λ 1 λ 2 1) + (µ 2 + λ 2 λ 2 2) = (µ 3 + λ 3 λ 2 3) W UVR 3: Nicht erfüllt. Wähle z.b. λ = 1 α = 1 µ = 0: α(µ + λ λ) = 1(1 1) = ( 1 1) / W da λ 2 0 λ R. Es gibt also kein λ das die gewünschte Bedingung erfüllt. W ist also kein UVR von R 2. (d) UVR 1: Erfüllt da z.b. (1 0) W W. UVR 2: Erfüllt denn es gilt für zwei Vektoren v v W : v + v = (x 1 + x 1 x 2 + x 2) wobei x 1 + x 1 x 2 + x 2 v + v W. UVR 3: Nicht erfüllt. Wähle z.b. α = 1. Dann gilt: αv = ( x 1 x 2 ) wobei x 1 x 2 αv / W. W ist also kein UVR von R 2.