Statistik, Datenanalyse und Simulation

Transkript

1 Dr. Michael O. Distler Mainz, 13. Juli 2011

2 Ziel der Vorlesung Vermittlung von Grundkenntnissen der Statistik, Simulationstechnik und numerischen Methoden (Algorithmen) Aufgabe: Bestimmung sinnvoller und signifikanter Informationen aus/über experimentellen Daten sowie effiziente Datenanalyse Anwendung dieser Kenntnisse in der Datenauswertung Wahrscheinlichkeit von Ereignissen Unsicherheiten einer Meßgröße Signifikanz einer Messung (Entdeckung) Entscheidung über (Testen von) Modellhypothesen Bestimmung (Schätzung) bester Werte von Parametern Simulation komplizierter Prozesse Entfaltung, Faktorenanalyse, Mustererkennung,...

3 Inhaltübersicht Einleitende Bemerkungen Statistik: Wahrscheinlichkeit, Verteilungen, spezielle diskrete Verteilungen, spezielle Wahrscheinlichkeitsdichten, Theoreme, Stichproben, Mehrdimensionale Verteilungen Monte Carlo-Methoden: Zufallszahlengeneratoren, Monte Carlo-Integration Schätzung von Parametern: Maximum-Likelihood-Methode, Fehler der Parameter Methode der kleinsten Quadrate: Lineare kleinste Quadrate, Lösungseigenschaften, der Fall unterschiedlicher Fehler Prüfung von Hypothesen Weiterführende Themen: Entfaltung, Faktorenanalyse, Mustererkennung,...

4 Literatur V. Blobel, E. Lohrmann: Statistische und numerische Methoden der Datenanalyse, Teubner Verlag (1998) S. Brandt: Datenanalyse, BI Wissenschaftsverlag (1999) Philip R. Bevington: Data Reduction and Error Analysis for the Physical Sciences, McGraw-Hill (1969) R.J. Barlow: Statistics, John Wiley & Sons (1993) G. Cowan: Statistical Data Analysis, Oxford University Press (1998) W.T. Eadie et al.: Statistical Methods in Experimental Physics, North Holland Publishing Company

5 1. Statistik Wahrscheinlichkeit, Wahrscheinlichkeitsdichte, -verteilung Erwartungswerte und Momente Verteilungen spezielle diskrete Verteilungen: Binomialverteilung, Poisson-Verteilung spezielle Wahrscheinlichkeitsdichten: Gleichverteilung, Normalverteilung, Cauchy-Verteilung Theoreme Stichproben Mehrdimensionale Verteilungen

6 Das Gesetz der großen Zahl Angenommen, dass in n statistisch unabhängigen Experimenten das Ereignis j insgesamt n j mal aufgetreten ist. Die Zahlen n j folgen einer Binomialverteilung, und das Verhältnis h j = n j /n ist die entsprechende Zufallsvariable. Der Erwartungswert E[h j ] ist die Wahrscheinlichkeit p j für das Ereignis j: p j = E[h j ] = E[n j /n] Für die Varianz gilt dann (Binomialverteilung!): V [h j ] = σ 2 (h j ) = σ 2 (n j /n) = 1 n 2 σ2 (n j ) = 1 n 2 np j(1 p j ) Da das Produkt p j (1 p j ) immer 1 4 ist, gilt die Ungleichung σ 2 (h j ) < 1/n bekannt als das Gesetz der großen Zahl: Der Fehler der Schätzung h j für p j kann beliebig klein gemacht werden, indem man n groß genug wählt.

7 Der Zentrale Grenzwertsatz Der zentrale Grenzwertsatz (ZGS) ist der wichtigste Satz in der Statistik. Unter anderem erklärt er die zentrale Bedeutung der Gauß-Verteilung. Die Wahrscheinlichkeitsdichte der Summe w = n i=1 x i einer Stichprobe aus n unabhängigen Zufallsvariablen x i mit einer beliebigen Wahrscheinlichkeitsdichte mit Mittelwert x und Varianz σ 2 geht in der Grenze n gegen eine Gauß-Wahrscheinlichkeitsdichte mit Mittelwert w = n x und Varianz V [w] = nσ 2.