Hauptprüfung 2007 Aufgabe 3

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Adolph Ziegler
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1 Hauptprüfung 7 Aufgabe. Gegeben sind die Funktionen f, g und h mit f (x) = sin x g (x) = sin(x) +, x h(x) = sin x Ihre Schaubilder sind Beschreiben Sie, wie hervorgehen.. Skizzieren Sie K g. K f, K f, K g und K g und K h. K aus dem Schaubild mit der Gleichung y = sin(x) h Es gibt unendlich viele Stellen, an denen die Funktionswerte von g minimal sind. Bestimmen Sie diejenige exakt, die am nächsten bei Null liegt. Erläutern Sie, wie sich die anderen Stellen aus dieser berechnen. Geben Sie den Wertebereich von g an.. Das Schaubild K g schließt im.quadranten mit den Achsen eine Fläche ein. Berechnen Sie den Inhalt dieser Fläche mit Hilfe einer Stammfunktion.. Zeigen Sie, dass die Gerade mit der Gleichung y = x + + Wendetangente an K g ist..5 Die Gerade x = u mit u, 6 schneidet K g im Punkt P und die Parabel mit der Gleichung y = x im Punkt Q. Bestimmen Sie die maximale Länge der Strecke PQ Punkte

2 Lösung Hauptprüfung 7 Aufgabe. Die allgemeine Sinusfunktion lautet y = a sin(b (x + c)) + d Schaubild von f: Die Periode ist p = = = (Periode wird gegenüber y = sin(x) verdoppelt) b Das Vorzeichen von a ist negativ, das heißt y = sin(x) wird an der x-achse gespiegelt. Die Amplitude lautet a =, sie wird gegenüber y = sin(x) halbiert. Da d = und c = ist, erfolgt keine Verschiebung in x- oder y-richtung gegenüber y = sin(x) Schaubild von g: Die Periode ist p = = = (Periode wird gegenüber y = sin(x) halbiert) b Die Amplitude lautet a =, keine Änderung gegenüber y = sin(x) Es gilt d =, das heißt sie ist gegenüber y = sin(x) um nach oben verschoben Es gukt c =, das heißt keine Verschiebung in x-richtung gegenüber y = sin(x) Schaubild von h: Die Periode ist p = = =, also gleiche Periode wie y = sin(x). b Das Vorzeichen von a ist negativ, das heißt, y = sin(x) wird an der x-achse gespiegelt. Die Amplitude lautet a =, also gleiche Amplitude wie y = sin(x). Es gilt d =, also keine Verschiebung in y-richtung gegennüber y = sin(x). Es gilt c =, also Verschiebung um nach rechts gegenüber y = sin(x)..

3 Ableitungen: g (x) = sin(x) + g (x) = cos(x) g (x) = sin(x) g (x) = 8cos(x) Berechnung des Minimums: Hinreichende Bedingung: g (x) = und g (x) > g (x) = cos(x) = cos(x) = x = oder x = oder x = oder x = x = oder x = oder x = oder x = Da g ( ) > ist, ist das gesuchte Minimum bei x =, also TP( / ). Berechnung der restlichen Minimalstellen: Da das Schaubild von g die Periode besitzt und die Tiefpunkte auch den Abstand besitzen, ergeben sich die x-werte der restlichen Minimalstellen durch die Formel x = + k (k ist eine beliebige ganze Zahl, also k {...,,,,,,...} Wertebereich von g: Aus dem Schaubild kann man ablesen, dass das Schaubild von g alle y-werte im Intervall y annehmen kann.. Es gilt A = g(x)dx = = +,9 FE (sin(x) + )dx = cos(x) + x A = cos() + ( cos( ). Ermittlung des gemeinsamen Punktes der Gerade mit dem Schaubild von g mit dem GTR Die Berührstelle lautet x, 57

x = ; da jedoch die Berührstelle x =,57 ergeben muss, ist x = die einzige Möglichkeit) g ( ) = 8 WP( /) Kontrolle, ob die gegebene Gerade eine Wendetangente ist: Kontrolle ob der Wendepunkt auf der

4 Berechnung des Wendepunktes von g(x): Hinreichende Bedingung: g (x) = und g (x) g (x) = sin(x) = sin(x) = x = x =,57 (es gäbe für die Lösung der Gleichung auch noch weitere Möglichkeiten, z.b. x = ; da jedoch die Berührstelle x =,57 ergeben muss, ist x = die einzige Möglichkeit) g ( ) = 8 WP( /) Kontrolle, ob die gegebene Gerade eine Wendetangente ist: Kontrolle ob der Wendepunkt auf der Geraden liegt: = + + wahre Aussage Berechnung der Steigung im Wendepunkt: g ( ) = cos( ) = Da die gegebene Gerade auch die Steigung m = - besitzt, ist die Gerade die Wendetangente..5 Es gilt: d(u) = PQ = g(u) u = sin(u) + u Gesucht ist das absolute Maximum der Funktion d(u) im Intervall u, 6. Die Betragsstriche sind deshalb notwendig, weil der Schnittpunkt der Parabel mit der Sinusfunktion innerhalb des betrachteten Intervalls u, 6 liegt und somit links vom Schnittpunkt die Sinuskurve oberhalb der Parabel liegt und rechts vom Schnittpunkt die Parabel oberhalb liegt. Ermittlung mit dem GTR:

5 Der y-wert ist am Rand bei u =,6 am größten. Daher wird die Funktion d(u) maximal für u =,6 mit d(,6) =,68. Die maximale Läge der Strecke PQ beträgt daher,68 LE. 5

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