Heinrich Heine-Universität Düsseldorf Sommersemester Lineare Algebra 1. Vierzehnte & Fünfzehnte Woche,

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1 Fakultät für Mathematik PD Dr Markus Perling Heinrich Heine-Universität Düsseldorf Sommersemester 2014 Lineare Algebra 1 Vierzehnte & Fünfzehnte Woche, Determinanten (Schluß) Das folgende Resultat zeigt, daß die Determinante für jede quadratische Matrix definiert ist und (im Prinzip) ausgerechnet werden kann Satz (Leibniz-Formel): Es sei A = (α ij ) Mat n n (K) Dann gilt: det A = sgn(σ)α σ(1)1 α σ(n)n σ Sym n Die folgenden Aussagen sind wichtige Hilfsmittel zur Berechnung von Determinanten Satz: Es sei A Mat n n (K) Dann gilt: det A = 0 Rang(A) < n Insbesondere gilt also, daß det A 0 genau dann, wenn die Spaltenvektoren von A eine Basis von K n bilden Satz: Es seien A, B Mat n n (K) Dann gilt: det AB = det A det B Satz: Es sei A Mat n n (K) Dann gilt: det A = det A t Satz: Es sei A Mat n n (K) eine Blockmatrix der Form ( ) B C A = 0 (n r) r D wobei B Mat r r (K), C Mat r (n r) (K), D Mat (n r) (n r) (K) Dann gilt: det A = det B det D Wir können diesen Satz per Induktion auf beliebige Matrizen in Blockdiagonalform erweitern: Korollar: Es sei A 1 A 2 A = 0 A t wobei A i Mat ni n i (K) und t i=1 n i = n Dann gilt: det A = t det A i i=1

2 Definition: Es sei A Mat n n (K) und 1, i, j n Dann bezeichne A ij Mat (n 1) (n 1) (K) die Untermatrix von A, die dadurch entsteht, daß die i-te Zeile und die j-te Spalte aus A entfernt werden: α 11 α 1,j 1 α 1,j+1 α 1n α A ij = i 1,1 α i 1,j 1 α i 1,j+1 α i 1,n α i+1,1 α i+1,j 1 α i+1,j+1 α i+1,n α n,1 α n,j 1 α n,j+1 α n,n Weiterhin bezeichnen wir mit A ij := (α kl ), wobei α kl wenn k i, l j α kl = 1 wenn k = i, l = j 0 sonst, bzw α 11 α 1,j 1 0 α 1,j+1 α 1n α i 1,1 α i 1,j 1 0 α i 1,j+1 α i 1,n A ij = α i+1,1 α i+1,j 1 0 α i+1,j+1 α i+1,n α n,1 α n,j 1 0 α n,j+1 α n,n Lemma: Es sei A Mat n n (K) Dann gilt: det A ij = ( 1) i+j det A ij = det(a 1,, a j 1, e i, a j+1,, a n ), wobei a 1,, a n die Spalten von A sind Definition: Es sei A Mat n n (K) Dann setzen wir A # := (α # ij ) Mat n n(k), wobei α # ij := ( 1)i+j det A ji Wir nennen A # die zu A adjungierte Matrix Satz: Es gilt A # A = AA # = det(a)1 n Korollar: Ist A invertierbar, dann gilt: A 1 = 1 det A A# Satz (Laplacescher Entwicklungssatz): Es sei A = (α ij ) Mat n n (K) und 1 j n Dann gilt: n det A = ( 1) i+j α ij det A ij i=1 Man nennt obige Formel auch die Entwicklung nach der j-ten Spalte Via transposition kann man entsprechend auch nach der i-ten Zeile entwickeln Beispiele: 1) Für n = 2 gilt: det A = α 11 α 22 α 12 α 21

3 2) Für n = 3 gilt: det A = α 11 det A 11 α 21 det A 21 + α 31 det A 31 = α 11 α 22 α 33 + α 12 α 23 α 13 + α 13 α 21 α 32 α 11 α 23 α 32 α 12 α 21 α 33 α 13 α 22 α 31 Diese Formel wird auch die Sarrus-Regel genannt Bemerkung: Man mache sich klar, daß zur Berechnung einer Determinante durch die Leibnizformel oder den Entwicklungssatz n! Terme berechnet werden müssen Dies bedeutet, daß diese Formeln für größere n keine praktische Möglichkeit sind, um eine Determinante auszurechnen und daher eher für theoretische Betrachtungen verwendet werden Die entscheidende Eigenschaft, die es erlaubt, Determinanten auszurechnen, ist die Multilinearität Wir haben bereits gesehen, daß eine Möglichkeit darin besteht, die Determinante durch Zeilentransformationen in obere Dreiecksform zu bringen und dann die Diagonalelemente zusammenzumultiplizieren Effiziente Berechnungsmethoden verwenden in der Regel Varianten dieses Verfahrens Korollar (Cramersche Regel): Es sei A GL n (K) und b K n Dann hat das lineare Gleichungssystem Ax = b genau eine Lösung x = (x 1,, x n ) K n, mit für alle 1 i n x i = 1 det A det(a 1,, a i 1, b, a i+1,, a n ) Definition: Zwei Matrizen A, B Mat n n (K) heißen zueinander Konjugiert, bzw ähnlich, wenn es eine Matrix T GL n (K) gibt, so daß gilt B = T AT 1 Sind A und B zueinander konjugiert, dann beobachten wir, daß gilt: det B = det T AT 1 = det T det A det T 1 = det A Definition: Es sei V ein endlich-dimensionaler Vektorraum mit Basis B und f : V V eine lineare Abbildung Dann setzen wir det f := det M B B (f) Ist B eine weitere Basis von V, dann gilt insbesondere, daß MB B zueinander konjugiert sind, da gilt: MB B B (f) = TB MB B (f)tb B, (f) und M B B (f) wobei TB B GL n(k) und T B B Wahl der Basis B ab = (T B B ) 1 Insbesondere hängt somit det f nicht von der 11 Eigenwerte und charakteristisches Polynom Auch in diesem Kapitel sei K stets ein Körper Definition: Es sei V ein endlich-dimensionaler Vektorraum und f : V V eine lineare Abbildung (i) λ K heißt Eigenwert von f, wenn es ein v V \ {0} gibt mit f(v) = λv (ii) Es sei λ K Dann heißt v V \ {0} mit f(v) = λv Eigenvektor zum Eigenwert λ

4 (iii) Wir bezeichnen mit Eig(f, λ) := {v V f(v) = λv} den Eigenraum von f zu λ (iv) Die Menge σ(f) := {λ K Eig(f, λ) {0}} heißt das Spektrum von f Ist A Mat n n (K) gegeben, dann beziehen wir die oben eingeführten Begriffe für die Abbildung φ A : K n K n auch auf A, dh wir sprechen dann von Eigenwert, Eigenraum, Eigenvektor und Spektrum von A Bemerkung: Wir beobachten, daß Eig(f, 0) genau der Kern von f ist Allgemeiner gilt für v V und λ K: f(v) = λv (f λid V )(v) = 0 v Kern(f λid V ) Definition: Es sei V ein endlich-dimensionaler Vektorraum und f : V V eine lineare Abbildung (i) f heißt diagonalisierbar, wenn es eine Basis B von V gibt, so daß MB B (f) eine Diagonalmatrix ist (ii) f heißt trigonalisierbar, wenn es eine Basis B von V gibt, so daß MB B (f) eine obere Dreiecksmatrix ist Ebenso bezeichnen wir eine Matrix A Mat n n (K) als diagonalisierbar (bzw trigonalisierbar), wenn es ein T GL n (K) gibt, so daß T AT 1 eine Diagonalmatrix (bzw eine obere Dreiecksmatrix) ist Abbildung Dann sind folgene Aussagen äquvalent: (i) f ist diagonalisierbar (ii) V besitzt eine Basis von Eigenvektoren von f Definition: Es seien V ein endlich-dimensionaler Vektorraum mit Basis B und f : V V eine lineare Abbildung Dann heißt χ f := det(m B B (f) X1 n ) K[X] das charakteristische Polynom von f Analog bezeichnen wir für A Mat n n (K): das charakteristische Polynom von A Für alle T GL n (K) gilt: χ A := det(a X1 n ) K[X] det(t AT 1 X1 n ) = det(t AT 1 T X1 n T 1 ) = det T (A X1 n )T 1 = det(a X1 n ) Somit hängt insbesondere χ f nicht von der Wahl der Basis B ab Satz: Es sei A Mat n n (K) Die Eigenwerte von A sind genau die Nullstellen von χ A Definition: Die Abbildung Mat n n (K) K, A = (α ij ) n i=1 α ii =: Spur A bezeichnen wir als die Spurabbildung

5 Die Spurabbildung hat folgende Eigenschaften für alle A, B Mat n n (K): (i) Spur(A + B) = Spur A + Spur B (ii) Spur AB = Spur BA (iii) Weiterhin gilt mit T GL n (K): Spur(T AT 1 ) = Spur((AT 1 )T ) = Spur(A) Satz: Es gilt: χ A = ( 1) n X n + a n 1 X n a 0, wobei a n 1 = ( 1) n 1 Spur(A) und a 0 = det A Definition: Es sei V ein Vektorraum und f : V V eine lineare Abbildung Ein Untervektorraum U V heißt f-invariant, wenn gilt f(u) U Lemma: Es seien V ein endlich-dimensionaler Vektorraum, f : V V eine lineare Abbildung und U V ein f-invarianter Untervektorraum Dann gilt: (i) Die Abbildung f V/U : V/U V/U, [v] [f(v)] ist wohldefiniert und linear (ii) Es gilt: χ f = χ f U χ fv /U Abbildung Dann ist f genau dann trigonalisierbar, wenn χ f in Linearfaktoren zerfällt, dh es gibt λ 1,, λ n K, so daß χ f = ( 1) n (X λ 1 ) (X λ n ) Folgender Satz, den wir im Rahmen dieser Vorlesung nicht zeigen können, ist eine der grundlegensten Aussagen überhaupt: Satz (Der Fundamentalsatz der Algebra): Jedes nichtkonstante Polynom in C[X] besitzt eine Nullstelle Als Korollar folgt hieraus, daß jedes nichtkonstante Polynom in C[X] in Linearfaktoren zerfällt Insbesondere ist also jede quadratische Matrix mit komplexen Einträgen trigonalisierbar Definition: Es seien V ein endlich-dimensionaler Vektorraum und f : V V eine lineare Abbildung (i) Eine aufsteigende Kette von Untervektorräumen heißt Fahne in V {0} = V 0 V 1 V 2 V r = V (ii) Gilt dim V = r, dann heißt die Fahne vollständig (dann gilt insbesondere auch dim V i = i für alle 1 i r) (iii) Sind die V i f-invariant, so heißt die Fahne f-invariant Abbildung Dann ist f genau dann trigonalisierbar, wenn es eine vollständige, f- invariante Fahne in V gibt

6 Definition: Es seien A Mat n n (K), λ K Dann gilt χ A = (X λ) k mit k 0 und g(λ) 0 (i) k heißt die algebraische Vielfachheit von λ als Eigenwert von A (ii) dim Eig(f, λ) heißt die geometrische Vielfachheit von λ als Eigenwert von A Analog spricht man auch von der algebraischen bzw geometrischen Vielfachheit einer lineare Abbildung f : V V Lemma: Es seien V ein endlich-dimensionaler Vektorraum und f : V V eine lineare Abbildung Dann ist f genau dann diagonalisierbar, wenn gilt V = Eig(f, λ) λ σ(f) Abbildung Die folgenden Aussagen sind äquivalent: (i) f ist diagonalisierbar (ii) χ f zerfällt in Linearfaktoren und für jeden Eigenwert stimmen algebraische und geometrische Vielfachheit überein Literatur-/Lesevorschläge Jedes beliebige Buch oder sonstige Quelle zur Linearen Algebra