Distanzen und Ähnlichkeitsmaÿe
|
|
- Adam Schmid
- vor 5 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Distanzen und Ähnlichkeitsmaÿe Michael Siebers Kognitive Systeme Universität Bamberg 25. Mai 2011 M. Siebers (KogSys) Distanzen und Ähnlichkeitsmaÿe 25. Mai / 14
2 Agenda 1 Distanzen 2 Ähnlichkeitsmaÿe 3 Nominale Attribute M. Siebers (KogSys) Distanzen und Ähnlichkeitsmaÿe 25. Mai / 14
3 Motivation Wo werden Distanzen und Ähnlichkeitsmaÿe verwendet? M. Siebers (KogSys) Distanzen und Ähnlichkeitsmaÿe 25. Mai / 14
4 Motivation Wo werden Distanzen und Ähnlichkeitsmaÿe verwendet? Clusteringverfahren M. Siebers (KogSys) Distanzen und Ähnlichkeitsmaÿe 25. Mai / 14
5 Motivation Wo werden Distanzen und Ähnlichkeitsmaÿe verwendet? Clusteringverfahren Lernverfahren (z. B. k-nearest neighbors) M. Siebers (KogSys) Distanzen und Ähnlichkeitsmaÿe 25. Mai / 14
6 Inhalt 1 Distanzen 2 Ähnlichkeitsmaÿe 3 Nominale Attribute M. Siebers (KogSys) Distanzen und Ähnlichkeitsmaÿe 25. Mai / 14
7 Distanzen informell Die Distanz zwischen zwei Objekten stellt intuitiv ihren Abstand voneinander dar. M. Siebers (KogSys) Distanzen und Ähnlichkeitsmaÿe 25. Mai / 14
8 Distanzen informell Die Distanz zwischen zwei Objekten stellt intuitiv ihren Abstand voneinander dar. Ein Objekt kann hierbei alles mögliche sein: M. Siebers (KogSys) Distanzen und Ähnlichkeitsmaÿe 25. Mai / 14
9 Distanzen informell Die Distanz zwischen zwei Objekten stellt intuitiv ihren Abstand voneinander dar. Ein Objekt kann hierbei alles mögliche sein: eine Zahl M. Siebers (KogSys) Distanzen und Ähnlichkeitsmaÿe 25. Mai / 14
10 Distanzen informell Die Distanz zwischen zwei Objekten stellt intuitiv ihren Abstand voneinander dar. Ein Objekt kann hierbei alles mögliche sein: eine Zahl ein Baum M. Siebers (KogSys) Distanzen und Ähnlichkeitsmaÿe 25. Mai / 14
11 Distanzen informell Die Distanz zwischen zwei Objekten stellt intuitiv ihren Abstand voneinander dar. Ein Objekt kann hierbei alles mögliche sein: eine Zahl ein Baum eine Funktion M. Siebers (KogSys) Distanzen und Ähnlichkeitsmaÿe 25. Mai / 14
12 Distanzen informell Die Distanz zwischen zwei Objekten stellt intuitiv ihren Abstand voneinander dar. Ein Objekt kann hierbei alles mögliche sein: eine Zahl ein Baum eine Funktion eine Menge von Objekten M. Siebers (KogSys) Distanzen und Ähnlichkeitsmaÿe 25. Mai / 14
13 Distanzen informell Die Distanz zwischen zwei Objekten stellt intuitiv ihren Abstand voneinander dar. Ein Objekt kann hierbei alles mögliche sein: eine Zahl ein Baum eine Funktion eine Menge von Objekten Normalerweise werden nur Distanzen zwischen gleichartigen Objekten betrachtet. M. Siebers (KogSys) Distanzen und Ähnlichkeitsmaÿe 25. Mai / 14
14 Distanzen formal Die Distanz zwischen zwei Objekten x und y wird geschrieben als: d(x, y). M. Siebers (KogSys) Distanzen und Ähnlichkeitsmaÿe 25. Mai / 14
15 Distanzen formal Die Distanz zwischen zwei Objekten x und y wird geschrieben als: d(x, y). d: M M R M. Siebers (KogSys) Distanzen und Ähnlichkeitsmaÿe 25. Mai / 14
16 Distanzen formal Die Distanz zwischen zwei Objekten x und y wird geschrieben als: d(x, y). d: M M R Damit es sich tatsächlich um eine Distanz handelt, muss sie für beliebige x, y, z M folgende Bedingungen erfüllen: M. Siebers (KogSys) Distanzen und Ähnlichkeitsmaÿe 25. Mai / 14
17 Distanzen formal Die Distanz zwischen zwei Objekten x und y wird geschrieben als: d(x, y). d: M M R Damit es sich tatsächlich um eine Distanz handelt, muss sie für beliebige x, y, z M folgende Bedingungen erfüllen: 1 d(x, y) = 0 x = y (Denitheit) M. Siebers (KogSys) Distanzen und Ähnlichkeitsmaÿe 25. Mai / 14
18 Distanzen formal Die Distanz zwischen zwei Objekten x und y wird geschrieben als: d(x, y). d: M M R Damit es sich tatsächlich um eine Distanz handelt, muss sie für beliebige x, y, z M folgende Bedingungen erfüllen: 1 d(x, y) = 0 x = y (Denitheit) 2 d(x, y) = d(y, x) (Symmetrie) M. Siebers (KogSys) Distanzen und Ähnlichkeitsmaÿe 25. Mai / 14
19 Distanzen formal Die Distanz zwischen zwei Objekten x und y wird geschrieben als: d(x, y). d: M M R Damit es sich tatsächlich um eine Distanz handelt, muss sie für beliebige x, y, z M folgende Bedingungen erfüllen: 1 d(x, y) = 0 x = y (Denitheit) 2 d(x, y) = d(y, x) (Symmetrie) 3 d(x, z) d(x, y) + d(y, z) (Dreiecksungleichung) M. Siebers (KogSys) Distanzen und Ähnlichkeitsmaÿe 25. Mai / 14
20 Distanzen formal Die Distanz zwischen zwei Objekten x und y wird geschrieben als: d(x, y). d: M M R Damit es sich tatsächlich um eine Distanz handelt, muss sie für beliebige x, y, z M folgende Bedingungen erfüllen: 1 d(x, y) = 0 x = y (Denitheit) 2 d(x, y) = d(y, x) (Symmetrie) 3 d(x, z) d(x, y) + d(y, z) (Dreiecksungleichung) Aus 1 und 3 ergibt sich automatisch d(x, y) 0 M. Siebers (KogSys) Distanzen und Ähnlichkeitsmaÿe 25. Mai / 14
21 Exkurs: Normen, Metriken Norm Eine Norm ist die Verallgemeinerung der Länge eines Vektors. Die Norm eines Vektors x wird als x notiert. Eine Norm muss für alle Vektoren x, y V und alle a R folgende Bedingungen erfüllen: M. Siebers (KogSys) Distanzen und Ähnlichkeitsmaÿe 25. Mai / 14
22 Exkurs: Normen, Metriken Norm Eine Norm ist die Verallgemeinerung der Länge eines Vektors. Die Norm eines Vektors x wird als x notiert. Eine Norm muss für alle Vektoren x, y V und alle a R folgende Bedingungen erfüllen: 1 x = 0 x = 0 (Denitheit) M. Siebers (KogSys) Distanzen und Ähnlichkeitsmaÿe 25. Mai / 14
23 Exkurs: Normen, Metriken Norm Eine Norm ist die Verallgemeinerung der Länge eines Vektors. Die Norm eines Vektors x wird als x notiert. Eine Norm muss für alle Vektoren x, y V und alle a R folgende Bedingungen erfüllen: 1 x = 0 x = 0 (Denitheit) 2 a x = a x (absolute Homogenität) M. Siebers (KogSys) Distanzen und Ähnlichkeitsmaÿe 25. Mai / 14
24 Exkurs: Normen, Metriken Norm Eine Norm ist die Verallgemeinerung der Länge eines Vektors. Die Norm eines Vektors x wird als x notiert. Eine Norm muss für alle Vektoren x, y V und alle a R folgende Bedingungen erfüllen: 1 x = 0 x = 0 (Denitheit) 2 a x = a x (absolute Homogenität) 3 x + y x + y (Dreiecksungleichung) M. Siebers (KogSys) Distanzen und Ähnlichkeitsmaÿe 25. Mai / 14
25 Exkurs: Normen, Metriken Norm Eine Norm ist die Verallgemeinerung der Länge eines Vektors. Die Norm eines Vektors x wird als x notiert. Eine Norm muss für alle Vektoren x, y V und alle a R folgende Bedingungen erfüllen: 1 x = 0 x = 0 (Denitheit) 2 a x = a x (absolute Homogenität) 3 x + y x + y (Dreiecksungleichung) Metrik Eine Metrik ist eine mathematische Funktion,die den Abstand zwischen zwei Elementen einer Menge angibt. M. Siebers (KogSys) Distanzen und Ähnlichkeitsmaÿe 25. Mai / 14
26 Normen/Distanzen Jede Norm lässt sich in eine Distanz umformulieren: d(x, y) = x y p-norm x p = ( n i=1 x i p ) 1 p, p 1 M. Siebers (KogSys) Distanzen und Ähnlichkeitsmaÿe 25. Mai / 14
27 Normen/Distanzen Jede Norm lässt sich in eine Distanz umformulieren: d(x, y) = x y p-norm x p = ( n i=1 x i p ) 1 p, p 1 Manhattan-Norm x 1 = n i=1 x i M. Siebers (KogSys) Distanzen und Ähnlichkeitsmaÿe 25. Mai / 14
28 Normen/Distanzen Jede Norm lässt sich in eine Distanz umformulieren: d(x, y) = x y p-norm x p = ( n i=1 x i p ) 1 p, p 1 Manhattan-Norm x 1 = n i=1 x i Euklidische-Norm x 2 = n i=1 x i 2 M. Siebers (KogSys) Distanzen und Ähnlichkeitsmaÿe 25. Mai / 14
29 Normen/Distanzen Jede Norm lässt sich in eine Distanz umformulieren: d(x, y) = x y p-norm x p = ( n i=1 x i p ) 1 p, p 1 Manhattan-Norm x 1 = n i=1 x i Euklidische-Norm x 2 = n i=1 x i 2 Chebyshev-Norm x = max ( x i ) M. Siebers (KogSys) Distanzen und Ähnlichkeitsmaÿe 25. Mai / 14
30 Inhalt 1 Distanzen 2 Ähnlichkeitsmaÿe 3 Nominale Attribute M. Siebers (KogSys) Distanzen und Ähnlichkeitsmaÿe 25. Mai / 14
31 Ähnlichkeitsmaÿe informell Die Ähnlichkeit zwischen zwei Objekten stellt ihre Nähe oder Gleichheit zueinander dar. M. Siebers (KogSys) Distanzen und Ähnlichkeitsmaÿe 25. Mai / 14
32 Ähnlichkeitsmaÿe informell Die Ähnlichkeit zwischen zwei Objekten stellt ihre Nähe oder Gleichheit zueinander dar. Ein Objekt kann hierbei alles mögliche sein wie bei Distanzen. M. Siebers (KogSys) Distanzen und Ähnlichkeitsmaÿe 25. Mai / 14
33 Ähnlichkeitsmaÿe informell Die Ähnlichkeit zwischen zwei Objekten stellt ihre Nähe oder Gleichheit zueinander dar. Ein Objekt kann hierbei alles mögliche sein wie bei Distanzen. Es gibt eine höchste Ähnlichkeit die Identität. M. Siebers (KogSys) Distanzen und Ähnlichkeitsmaÿe 25. Mai / 14
34 Ähnlichkeitsmaÿe informell Die Ähnlichkeit zwischen zwei Objekten stellt ihre Nähe oder Gleichheit zueinander dar. Ein Objekt kann hierbei alles mögliche sein wie bei Distanzen. Es gibt eine höchste Ähnlichkeit die Identität. Ähnlichkeiten machen nur zwischen gleichartigen Objekten Sinn. M. Siebers (KogSys) Distanzen und Ähnlichkeitsmaÿe 25. Mai / 14
35 Ähnlichkeitsmaÿe formell Die Ähnlichkeit zwischen zwei Objekten x und y wird als s(x, y) notiert. Eine Ähnlichkeit muss für alle x, y, z folgende Bedingungen erfüllen: 1 s(x, y) = s(y, x) (Symmetrie) M. Siebers (KogSys) Distanzen und Ähnlichkeitsmaÿe 25. Mai / 14
36 Ähnlichkeitsmaÿe formell Die Ähnlichkeit zwischen zwei Objekten x und y wird als s(x, y) notiert. Eine Ähnlichkeit muss für alle x, y, z folgende Bedingungen erfüllen: 1 s(x, y) = s(y, x) (Symmetrie) 2 s(i, j) s(i, i) M. Siebers (KogSys) Distanzen und Ähnlichkeitsmaÿe 25. Mai / 14
37 Ähnlichkeitsmaÿe formell Die Ähnlichkeit zwischen zwei Objekten x und y wird als s(x, y) notiert. Eine Ähnlichkeit muss für alle x, y, z folgende Bedingungen erfüllen: 1 s(x, y) = s(y, x) (Symmetrie) 2 s(i, j) s(i, i) 3 s(i, j) 0 M. Siebers (KogSys) Distanzen und Ähnlichkeitsmaÿe 25. Mai / 14
38 Ähnlichkeitsmaÿe formell Die Ähnlichkeit zwischen zwei Objekten x und y wird als s(x, y) notiert. Eine Ähnlichkeit muss für alle x, y, z folgende Bedingungen erfüllen: 1 s(x, y) = s(y, x) (Symmetrie) 2 s(i, j) s(i, i) 3 s(i, j) 0 4 s(i, i) = 1 M. Siebers (KogSys) Distanzen und Ähnlichkeitsmaÿe 25. Mai / 14
39 Inhalt 1 Distanzen 2 Ähnlichkeitsmaÿe 3 Nominale Attribute M. Siebers (KogSys) Distanzen und Ähnlichkeitsmaÿe 25. Mai / 14
40 Nominale Attribute Nominale Distanz d(x, y) = n i=0 δ(x i, y i ), wobei δ(a, b) = { 0 a = b 1 andernfalls M. Siebers (KogSys) Distanzen und Ähnlichkeitsmaÿe 25. Mai / 14
41 Others Jaccard Für binäre Attribute, Anteil gemeinsammer positiver Attribute M. Siebers (KogSys) Distanzen und Ähnlichkeitsmaÿe 25. Mai / 14
42 Others Jaccard Für binäre Attribute, Anteil gemeinsammer positiver Attribute Cosinus-Ähnlichkeit Winkel zwischen zwei Attribut-Vektoren M. Siebers (KogSys) Distanzen und Ähnlichkeitsmaÿe 25. Mai / 14
43 Others Jaccard Für binäre Attribute, Anteil gemeinsammer positiver Attribute Cosinus-Ähnlichkeit Winkel zwischen zwei Attribut-Vektoren Dice-Ähnlichkeit Ähnlich Jaccard M. Siebers (KogSys) Distanzen und Ähnlichkeitsmaÿe 25. Mai / 14
Einleitung Grundlagen Einordnung. Normen. Thomas Gerstner. Institut für Mathematik Goethe-Universität Frankfurt am Main
Institut für Mathematik Goethe-Universität Frankfurt am Main Einführungsvortrag Proseminar 25. Januar 2013 Outline 1 Einleitung Motivation Anwendungsbereiche 2 3 Wichtige Outline Einleitung Motivation
MehrAnalysis 2 UE VI) 121, 129, 133, 134, 140, 143
27.04.2009 Analysis 2 UE VI) 2, 29, 33, 34, 40, 43 2) Sei M j = {(x, y) R 2 j x + y < j} (j N)}. Bestimmen Sie das Innere, den Rand und die abgeschlossene Hülle der Menge T (bezüglich der euklidischen
MehrLineare Algebra I Vorlesung - Prof. Dr. Daniel Roggenkamp & Falko Gauß
Lineare Algebra I - 26. Vorlesung - Prof. Dr. Daniel Roggenkamp & Falko Gauß Donnerstag 8.12.: 8:30 Uhr - Vorlesung 10:15 Uhr - große Übung / Fragestunde Klausur: Mittwoch, 14.12. 14:15 Uhr, A3 001 Cauchy-Schwarz
MehrÄhnlichkeits- und Distanzmaße
Einheit 1 Ähnlichkeits- und Distanzmaße IFAS JKU Linz c 2015 Multivariate Verfahren 1 0 / 41 Problemstellung Ziel: Bestimmung von Ähnlichkeit zwischen n Objekten, an denen p Merkmale erhoben wurden. Die
MehrL3 Euklidische Geometrie: Längen, Winkel, senkrechte Vektoren...
L3 Euklidische Geometrie: Längen, Winkel, senkrechte Vektoren... (benötigt neue Struktur über Vektorraumaxiome hinaus) Sei Länge von nach Pythagoras: Länge quadratisch in Komponenten! - Für : Skalarprodukt
MehrL3 Euklidische Geometrie: Längen, Winkel, senkrechte Vektoren...
L3 Euklidische Geometrie: Längen, Winkel, senkrechte Vektoren... (benötigt neue Struktur über Vektorraumaxiome hinaus) Sei Länge von nach Pythagoras: Länge quadratisch in Komponenten! - Für : Skalarprodukt
Mehrentspricht der Länge des Vektorpfeils. Im R 2 : x =
Norm (oder Betrag) eines Vektors im R n entspricht der Länge des Vektorpfeils. ( ) Im R : x = x = x + x nach Pythagoras. Allgemein im R n : x x = x + x +... + x n. Beispiele ( ) =, ( 4 ) = 5, =, 4 = 0.
MehrMathematik für Anwender II
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2012 Mathematik für Anwender II Vorlesung 32 Metrische Räume Euklidische Räume besitzen nach Definition ein Skalarprodukt. Darauf aufbauend kann man einfach die Norm eines
MehrReelles Skalarprodukt
Reelles Skalarprodukt Ein Skalarprodukt auf einem reellen Vektorraum V ist eine Abbildung, : V V R mit folgenden Eigenschaften: Positivität: v, v > 0 für v 0 Symmetrie: Linearität: u, v = v, u λu + ϱv,
MehrEinführung in die Ähnlichkeitsmessung
Einführung in die Ähnlichkeitsmessung Reading Club SS 2008 Similarity Stefanie Sieber stefanie.sieber@uni-bamberg.de Lehrstuhl für Medieninformatik Otto-Friedrich-Universität Bamberg Agenda Worum geht
MehrÜbungen zu Multimedia-Datenbanken Aufgabenblatt 4 - Musterlösungen
Übungen zu Multimedia-Datenbanken Aufgabenblatt 4 - Musterlösungen Übung: Dipl.-Inf. Tina Walber Vorlesung: Dr.-Ing. Marcin Grzegorzek Fachbereich Informatik, Universität Koblenz Landau Ausgabe: 31.0.2010
MehrKapitel 6. Metrik, Norm und Skalarproduktl. 6.1 Metrik (Abstand)
Kapitel 6 Metrik, Norm und Skalarproduktl Aus Ihrer täglichen Praxis sind Ihnen die Begriffe Abstand und Länge, möglicherweise gar Winkel wohlvertraut. 6.1 Metrik (Abstand) Definition Metrik : Sei M eine
MehrV. Metriken. Gliederung. I. Motivation. Lesen mathematischer Symbole. Wissenschaftliche Argumentation. Matrizenrechnung. Seite 67
Gliederung I. Motivation II. III. Lesen mathematischer Symbole Wissenschaftliche Argumentation IV. Matrizenrechnung V. Metriken Seite 67 Problemstellung: Gegeben seien 2 Punkte im Raum. Wie groß ist die
MehrLineare Algebra. Inhalt. Hauptbestandteil der Vorlesung Mathematik 2 Literatur: Teschl/Teschl, Band 1, Kap. 9-14
Lineare Algebra Hauptbestandteil der Vorlesung Mathematik Literatur: Teschl/Teschl, Band, Kap. 9-4 Inhalt Rechnen mit Vektoren und Matrizen Lineare Gleichungssysteme, GauÿAlgorithmus Vektorräume, Lineare
Mehr1.2 Abstände und Winkel
5 1.2 Abstände und Winkel Im Folgenden werde zunächst der n-dimensionale affine Standardraum A n = (R n, R n, τ) zugrunde gelegt und in der Regel auch A n = R n gesetzt. Im Vektorraum R n stehen das (euklidische)
Mehr5. Clusteranalyse. Lernziele: Grundlegende Algorithmen der Clusteranalyse kennen, ihre Eigenschaften
5. Clusteranalyse Lernziele: Grundlegende Algorithmen der Clusteranalyse kennen, ihre Eigenschaften benennen und anwenden können, einen Test auf das Vorhandensein einer Clusterstruktur kennen, verschiedene
MehrVorlesung Mathematik 2 für Informatik
Vorlesung Mathematik für Informatik Inhalt: Lineare Algebra Rechnen mit Vektoren und Matrizen Lineare Gleichungssysteme, GauÿAlgorithmus Vektorräume, Lineare Abbildungen Eigenwerte und Eigenvektoren Literatur
Mehr5. Clusteranalyse Vorbemerkungen. 5. Clusteranalyse. Grundlegende Algorithmen der Clusteranalyse kennen, ihre Eigenschaften
5. Clusteranalyse Vorbemerkungen 5. Clusteranalyse Lernziele: Grundlegende Algorithmen der Clusteranalyse kennen, ihre Eigenschaften benennen und anwenden können, einen Test auf das Vorhandensein einer
MehrVektorräume. 1. v + w = w + v (Kommutativität der Vektoraddition)
Vektorräume In vielen physikalischen Betrachtungen treten Größen auf, die nicht nur durch ihren Zahlenwert charakterisiert werden, sondern auch durch ihre Richtung Man nennt sie vektorielle Größen im Gegensatz
MehrMathematik I. Vorlesung 19. Metrische Räume
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 2009/2010 Mathematik I Vorlesung 19 Metrische Räume Euklidische Räume besitzen nach Definition ein Skalarprodukt. Darauf aufbauend kann man einfach die Norm eines Vektors
MehrTopologische Grundbegriffe II. Inhaltsverzeichnis
Vortrag zum Seminar zur Analysis, 03.05.2010 Dennis Joswig, Florian Goy Aufbauend auf den Resultaten des Vortrages Topologische Grundbegriffe I untersuchen wir weitere topologische Eigenschaften von metrischen
MehrBrückenkurs Mathematik
Brückenkurs Mathematik 6.10. - 17.10. Vorlesung 3 Geometrie Doris Bohnet Universität Hamburg - Department Mathematik Mi 8.10.2008 1 Geometrie des Dreiecks 2 Vektoren Länge eines Vektors Skalarprodukt Kreuzprodukt
MehrKlausur zur Mathematik I (Modul: Lineare Algebra I)
Technische Universität Hamburg-Harburg Institut für Mathematik Prof. Dr. Wolfgang Mackens Sommersemester 4 Klausur zur Mathematik I (Modul: Lineare Algebra I) 6.8.4 Sie haben 6 Minuten Zeit zum Bearbeiten
MehrSkalarprodukt, Norm & Metrik
Skalarprodukt, Norm & Metrik Stefan Ruzika Mathematisches Institut Universität Koblenz-Landau Campus Koblenz 11. Mai 2016 Stefan Ruzika 5: Skalarprodukt, Norm & Metrik 11. Mai 2016 1 / 13 Gliederung 1
MehrKurzskript zur Vorlesung Mathematik I für MB, WI/MB und andere Prof. Dr. Ulrich Reif
14 Oktober 2008 1 Kurzskript zur Vorlesung Mathematik I für MB, WI/MB und andere Prof Dr Ulrich Reif Inhalt: 1 Vektorrechnung 2 Lineare Gleichungssysteme 3 Matrizenrechnung 4 Lineare Abbildungen 5 Eigenwerte
MehrMathematik für Naturwissenschaftler II SS 2010
Mathematik für Naturwissenschaftler II SS 2010 Lektion 6 4. Mai 2010 Definition 69. Der Vektor f 3 x 2 (x 1, x 2, x 3 ) f 2 x 3 (x 1, x 2, x 3 ) f 1 x 3 (x 1, x 2, x 3 ) f 3 x 1 (x 1, x 2, x 3 ) f 2 x
MehrErich Schubert, Arthur Zimek KDD Übung
Hausaufgabe Distanzfunktionen Erich Schubert, Arthur Zimek Ludwig-Maximilians-Universität München 2014-04-25 KDD Übung Distanzfunktionen Reflexiv: Distanz zu sich selbst ist 0 x = y d(x, y) = 0 Symmetrisch:
Mehr5 Teilmengen von R und von R n
5 Teilmengen von R und von R n Der R n ist eine mathematische Verallgemeinerung: R n = {x = (x 1,...,x n ) : x i R} = R }... {{ R }. n mal Für x R ist x der Abstand zum Nullpunkt. Die entsprechende Verallgemeinerung
MehrAngewandte Multivariate Statistik Prof. Dr. Ostap Okhrin
Angewandte Multivariate Statistik Angewandte Multivariate Statistik Prof. Dr. Ostap Okhrin Ostap Okhrin 1 of 46 Angewandte Multivariate Statistik A Short Excursion into Matrix Algebra Elementare Operationen
MehrKapitel VI. Euklidische Geometrie
Kapitel VI. Euklidische Geometrie 1 Abstände und Lote Wiederholung aus Kapitel IV. Wir versehen R n mit dem Standard Skalarprodukt x 1 y 1.,. := x 1 y 1 +... + x n y n x n y n Es gilt für u, v, w R n und
MehrClustering 2010/06/11 Sebastian Koch 1
Clustering 2010/06/11 1 Motivation Quelle: http://www.ha-w.de/media/schulung01.jpg 2010/06/11 2 Was ist Clustering Idee: Gruppierung von Objekten so, dass: Innerhalb einer Gruppe sollen die Objekte möglichst
MehrEntscheidungen bei der Durchführung einer Cluster-Analyse
7712Clusterverfahren Entscheidungen bei der Durchführung einer Cluster-Analyse nach: Eckes, Thomas, und Helmut Roßbach, 1980: Clusteranalysen; Stuttgart:Kohlhammer A. Auswahl der Merkmale Festlegung des
Mehr1 Euklidische und unitäre Vektorräume
1 Euklidische und unitäre Vektorräume In diesem Abschnitt betrachten wir reelle und komplexe Vektorräume mit Skalarprodukt. Dieses erlaubt uns die Länge eines Vektors zu definieren und (im Fall eines reellen
MehrMetrische Räume und stetige Abbildungen. Inhaltsverzeichnis
Metrische Räume und stetige Abbildungen Vortrag zum Seminar zur Analysis, 19. 04. 2010 René Koch, Stefan Lotterstedt In der Vorlesung Analysis I haben wir uns mit der Stetigkeit von reellen (komplexen)
MehrInhalt. Mathematik für Chemiker II Lineare Algebra. Vorlesung im Sommersemester Kurt Frischmuth. Rostock, April Juli 2015
Inhalt Mathematik für Chemiker II Lineare Algebra Vorlesung im Sommersemester 5 Rostock, April Juli 5 Vektoren und Matrizen Abbildungen 3 Gleichungssysteme 4 Eigenwerte 5 Funktionen mehrerer Variabler
MehrÜbungsaufgaben zu den mathematischen Grundlagen von KM
TUM, Institut für Informatik WS 2003/2004 Prof Dr Thomas Huckle Andreas Krahnke, MSc Dipl-Inf Markus Pögl Übungsaufgaben zu den mathematischen Grundlagen von KM 1 Bestimmen Sie die Darstellung von 1 4
MehrMathematische Grundlagen
Kapitel 12 Mathematische Grundlagen In diesem Kapitel werden die mathematischen Grundlagen dargelegt, die für die Darstellung von dreidimensionalen Objekten notwendig sind. 12.1 3D-Koordinatensystem Weit
MehrLineare Algebra und analytische Geometrie II
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2016 Lineare Algebra und analytische Geometrie II Vorlesung 31 Vektorräume mit Skalarprodukt Im R n kann man nicht nur Vektoren addieren und skalieren, sondern ein Vektor
MehrAnalyis I -Metrische Räume - eine Einführung in die Topologie
Analyis I -Metrische Räume - eine Einführung in die Topologie E = E isolierter Punkte x 1 x 2 x 3 E ist abgeschlossen U ɛ (x) x innerer Punkt Ω Häufungspunkte Ω Metrik Metrische Räume Definition Sei X
MehrVerallgemeinerte Dreiecksungleichungen Michael Kapovich
Verallgemeinerte Dreiecksungleichungen Michael Kapovich Wir alle wissen, dass eine gerade Linie die kürzeste Verbindung von einem Punkt zu einem anderen Punkt ist. Dieses Wissen scheint in den Jahrmillionen
MehrÄhnlichkeits- und Distanzmaße
Ähnlichkeits- und Distanzmaße Jörg Rahnenführer, Multivariate Verfahren, WS89, TU Dortmund 11.1.8-1 - Ähnlichkeits- und Distanzmaße Jörg Rahnenführer, Multivariate Verfahren, WS89, TU Dortmund 11.1.8 -
Mehr6 Distanzfunktionen (2) 6 Distanzfunktionen. 6.1 Eigenschaften und Klassifikationen. Einführung
6 en 6 en (2) 1. Eigenschaften und Klassifikation 2. en auf Punkten Minkowski L m Gewichtete Minkowski L m w Quadratische d q Quadratische Pseudo Dynamical Partial Semi Pseudo Chi Quadrat Semi Pseudo Kullback
MehrAbstände und Zwischenwinkel
Abstände und Zwischenwinkel Die folgenden Grundaufgaben wurden von Oliver Riesen, KS Zug, erstellt und von Stefan Gubser, KS Zug, überarbeitet. Aufgabe 1: Bestimme den Abstand der beiden Punkte P( 3 /
Mehr6 Distanzfunktionen. Quadratische Pseudo. 1. Eigenschaften und Klassifikation
6 Distanzfunktionen 1. Eigenschaften und Klassifikation 2. Distanzfunktionen auf Punkten Minkowski Distanzfunktion L m Gewichtete Minkowski Distanzfunktion L m w Quadratische Distanzfunktion d q Quadratische
MehrKapitel I: Vektorrechnung 2: Vektoren im Raum
WS 1/14 - Prof Dr Manfred Leitz 2 Vektoren im Raum A Grundbegriffe B Rechnen mit Vektoren C Der euklidische Betrag D Das euklidische Skalarprodukt E Vektorprodukt und Spatprodukt F Geraden und Ebenen im
Mehr1 Metrische Räume. In diesem Abschnitt wollen wir den Begriff des metrischen Raumes einführen und an einigen Beispielen illustrieren.
1 Metrische Räume 1 Metrische Räume In diesem Abschnitt wollen wir den Begriff des metrischen Raumes einführen und an einigen Beispielen illustrieren. Definition und Beispiele (1.1) Definition (Metrischer
MehrKontrollfragen und Aufgaben zur 3. Konsultation
1 Technische Universität Ilmenau Fakultät für Mathematik und Naturwissenschaften Institut für Mathematik Prof. Dr. Michael Stiebitz Kontrollfragen und Aufgaben zur 3. Konsultation Termin: Ort: Determinante
MehrMathematische Grundlagen
Kapitel 2 Mathematische Grundlagen In diesem Kapitel werden die mathematischen Grundlagen dargelegt, die für die Darstellung von dreidimensionalen Objekten notwendig sind. 2. 3D-Koordinatensystem Weit
Mehr30 KAPITEL 2. REELLE UND KOMPLEXE ZAHLEN
30 KAPITEL 2. REELLE UND KOMPLEXE ZAHLEN 2. Wir beginnen wieder mit x 0. Sei m die kleinste natürliche Zahl mit m > x. Eine solche Zahl existiert, da N wohlgeordnet ist. Dann ist m 1 x < m, da m 1 < m.
MehrSeminar Einführung in die Kunst mathematischer Ungleichungen
Seminar Einführung in die Kunst mathematischer Ungleichungen Geometrie und die Summe von Quadraten Clara Brünn 25. April 2016 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 1.1 Geometrie allgemein.................................
MehrVorkurs Mathematik Intensiv. Vektoren, Skalarprodukte und Geraden in der Ebene Musterlösung
Prof. Dr. J. Dorfmeister und Tutoren Vorkurs Mathematik Intensiv TU München WS 06/07 Vektoren, Skalarprodukte und Geraden in der Ebene Musterlösung Skalarprodukt, Kreuzprodukt, Norm Seien x, y R mit x
MehrEinführung in die Kodierungstheorie
Anton Malevich Einführung in die Kodierungstheorie Skript zu einer im Februar 2013 gehaltenen Kurzvorlesung Fakultät für Mechanik und Mathematik Belorussische Staatliche Universität Institut für Algebra
MehrDiskriminanzanalyse mit binären Daten
6. Konferenz für SAS-Anwender in Forschung und Entwicklung 28. Februar 1. März 2002 Universität Dortmund Diskriminanzanalyse mit binären Daten Bernd Jäger 1, Michael Wodny 1, Karl-Ernst Biebler 1, Paul
MehrTutorium 7. Definition. Sei V ein C-Vektorraum. Eine Abbildung, : V V C heißt komplexes Skalarprodukt : det F k > 0 mit F k := (f i,j ) C k k
Skalarprodukte Tutorium 7 Bemerkung. Für jeden komplexen Vektorraum V mit dim V und jede komplexe Bilinearform P auf V findet man einen Vektor v mit P (v, v) =. Es gibt also keine positiv definite Bilinearformen
MehrProbeklausur zur Analysis 2, SoSe 2017
BERGISCHE UNIVERSITÄT WUPPERTAL 21717 Fakultät 4 - Mathematik und Naturwissenschaften Prof N V Shcherbina Dr T P Pawlaschyk wwwkanauni-wuppertalde Probeklausur zur Analysis 2, SoSe 217 Hinweis Die Lösungen
Mehr1. Funktionen und Stetigkeit
1. Funktionen und Stetigkeit Um Funktionen mit mehreren Variablen auf ihr Grenzwertverhalten, wie Stetigkeit und Differenzierbarkeit, untersuchen zu können, ist es sinnvoll, sie auf kleinen Umgebungen,
MehrDas Universum als RaumZeit
Das Universum als RaumZeit Max Camenzind Würzburg - 2017 Das ist eine der ältesten Aufnahmen von Andromeda "nebula, photographiert am Yerkes Observatorium um 1900. Für unsere modernen Augen ist dies wirklich
Mehr1. Metrik, Norm und das Skalarprodukt
www.mathematik-netz.de Coyright, Page 1 of 6 Metrische, normierte und toologische Räume 1. Metrik, Norm und das Skalarrodukt Tologische Eigenschaften sielen insbesondere in der Analysis eine wichtige Rolle.
MehrGradient eines Skalarfeldes
Gradient eines Skalarfeldes 1-E Gradient eines Skalarfeldes Definition 1: Unter dem Gradient eines differenzierbaren Skalarfeldes Φ (x, y) versteht man den aus den partiellen Ableitungen 1. Ordnung von
MehrLineare Algebra. Mathematik II für Chemiker. Daniel Gerth
Lineare Algebra Mathematik II für Chemiker Daniel Gerth Überblick Lineare Algebra Dieses Kapitel erklärt: Was man unter Vektoren versteht Wie man einfache geometrische Sachverhalte beschreibt Was man unter
Mehr9 Metrische und normierte Räume
9 Metrische und normierte Räume Idee: Wir wollen Abstände zwischen Punkten messen. Der Abstand soll eine reelle Zahl 0 sein (ohne Dimensionsangabe wie Meter...). 9.1 Definition Sei X eine Menge. Eine Metrik
MehrBrückenkurs Mathematik. Mittwoch Freitag
Brückenkurs Mathematik Mittwoch 5.10. - Freitag 14.10.2016 Vorlesung 4 Dreiecke, Vektoren, Matrizen, lineare Gleichungssysteme Kai Rothe Technische Universität Hamburg-Harburg Montag 10.10.2016 0 Brückenkurs
MehrVorkurs Mathematik. Vektoren, lineare Gleichungssysteme und Matrizen
Dorfmeister, Boiger, Langwallner, Pfister, Schmid, Wurtz Vorkurs Mathematik TU München WS / Blatt Vektoren, lineare Gleichungssysteme und Matrizen. In einem kartesischen Koordinatensystem des R sei eine
Mehrachsenparallele Stauchung und Streckung durch Gewichte :
Gewichtete Minkowski-Distanzfunktion achsenparallele Stauchung und Streckung durch Gewichte : Forderung: staab@uni-koblenz.de 1 Einheitskreis Translationsinvarianz keine Skalierungsinvarianz keine Rotationsinvarianz
MehrKapitel 17 Skalar- und Vektorprodukt
Kapitel 17 Skalar- und Vektorprodukt Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 1 / 22 Bisher hatten wir die Möglichkeit Vektoren des R n zu addieren und Vektoren mit rellen Zahlen zu multiplizieren. Man
MehrFH Gießen-Friedberg, FB 06 (MNI) Lösungen zu Übungsblatt 5 Lineare Algebra 21. November 2008 Prof. Dr. H.-R. Metz
FH Gießen-Friedberg, FB 06 (MNI) Lösungen zu Übungsblatt 5 Lineare Algebra 21. November 2008 Prof. Dr. H.-R. Metz Aufgabe 1 Die Menge der n-dimensionalen Vektoren IR n wird zu einem metrischen Raum, wenn
Mehr8 Euklidische und unitäre Vektorräume. Skalarprodukte Orthogonalität Matrizen
8 Euklidische und unitäre Vektorräume Skalarprodukte Orthogonalität Matrizen 8 Euklidische und unitäre Vektorräume Skalarprodukte Orthogonalität Matrizen In diesem Kapitel werden nur endlich dimensionale
MehrT = {t 1,..., t n } sei die Menge der Terme. D = {d 1,..., d m } sei die Menge der Dokumente.
Vektorraummodell T = {t 1,..., t n } sei die Menge der Terme. D = {d 1,..., d m } sei die Menge der Dokumente. Dokumente und Anfragen werden als Vektoren in einem Vektorraum aufgefaßt. Der Vektorraum wird
MehrZahlen und metrische Räume
Zahlen und metrische Räume Natürliche Zahlen : Die natürlichen Zahlen sind die grundlegendste Zahlenmenge, da man diese Menge für das einfache Zählen verwendet. N = {1, 2, 3, 4,...} bzw. N 0 = {0, 1, 2,
MehrWie in der reellen Analysis üblich notiert man Folgen f in der Form
2.1.3 Folgen und Konvergenz Viele aus der Analysisvorlesung bekannte Begriffe lassen sich in den Bereich der metrischen Räume verallgemeinern. Diese Verallgemeinerung hat sich als sehr nützliches mathematisches
Mehr03. Vektoren im R 2, R 3 und R n
03 Vektoren im R 2, R 3 und R n Unter Verwendung eines Koordinatensystems kann jedem Punkt der Ebene umkehrbar eindeutig ein Zahlenpaar (x, y) zugeordnet werden P (x, y) Man nennt x und y die kartesischen
MehrNumerik I. Aufgaben und Lösungen
Universität zu Köln SS 2009 Mathematisches Institut Prof Dr C Tischendorf Dr M Selva, mselva@mathuni-koelnde Numerik I Musterlösung Übungsblatt 4, Kondition (5 Punkte) Aufgaben Lösungen (4 Punkte) Zeigen
Mehr03. Vektoren im R 2, R 3 und R n
03 Vektoren im R 2, R 3 und R n Unter Verwendung eines Koordinatensystems kann jedem Punkt der Ebene umkehrbar eindeutig ein Zahlenpaar (x, y) zugeordnet werden P (x, y) Man nennt x und y die kartesischen
MehrLernunterlagen Vektoren in R 2
Die Menge aller reellen Zahlen wird mit R bezeichnet, die Menge aller Paare a 1 a 2 reeller Zahlen wird mit R 2 bezeichnet. Definition der Menge R 2 : R 2 { a 1 a 2 a 1, a 2 R} Ein Zahlenpaar a 1 a 2 bezeichnet
Mehr2 Euklidische Vektorräume
Sei V ein R Vektorraum. 2 Euklidische Vektorräume Definition: Ein Skalarprodukt auf V ist eine Abbildung σ : V V R, (v, w) σ(v, w) mit folgenden Eigenschaften ( Axiome des Skalarprodukts) (SP1) σ ist bilinear,
MehrMathematische Grundlagen III
Mathematische Grundlagen III Maschinelles Lernen III: Clustering Vera Demberg Universität des Saarlandes 7. Juli 202 Vera Demberg (UdS) Mathe III 7. Juli 202 / 35 Clustering vs. Klassifikation In den letzten
MehrTopologie metrischer Räume
Technische Universität München Christoph Niehoff Ferienkurs Analysis für Physiker Vorlesung Montag SS 11 In diesem Teil des Ferienkurses beschäftigen wir uns mit drei Themengebieten. Zuerst wird die Topologie
MehrTECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik
TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik Prof. Dr. Oliver Matte Max Lein Zentralübung Mathematik für Physiker 2 Analysis ) Wintersemester 200/20 Lösungsblatt 5 2..200) 32. Häufungspunkte Sei a
Mehr$Id: folgen.tex,v /05/31 12:40:06 hk Exp $ an 1 2 n 1 ist gerade, 3a n 1 + 1, a n 1 ist ungerade.
$Id: folgen.tex,v. 202/05/3 2:40:06 hk Exp $ 6 Folgen Am Ende der letzten Sitzung hatten wir Folgen in einer Menge X als Abbildungen a : N X definiert, die dann typischerweise in der Form (a n ) n N, also
MehrMetrische Räume. Kapitel Begriff des metrischen Raumes
Kapitel 8 Metrische Räume 8.1 Begriff des metrischen Raumes Bemerkung 8.1 Motivation. In diesem Abschnitt wird der Begriff des Abstandes zwischen reellen Zahlen verallgemeinert. Das ist notwendig, um Analysis
MehrHauptsatz der Zahlentheorie.
Hauptsatz der Zahlentheorie. Satz: Jede natürliche Zahl n N läßt sich als Produkt von Primzahlpotenzen schreiben, n = p r 1 1 p r 2 2... p r k k, wobei p j Primzahl und r j N 0 für 1 j k. Beweis: durch
MehrHöhere Mathematik III für Physiker Analysis 2
Ralitsa Bozhanova Jonas Kindervater Ferienkurs im Anschluss an das Wintersemester 2008 Höhere Mathematik III für Physiker Analysis 2 16. bis 20. Februar 2009 1 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis 1 Der
MehrMultivariate Verfahren
Multivariate Verfahren Lineare Regression Zweck: Vorhersage x Dimensionsreduktion x x Klassifizierung x x Hauptkomponentenanalyse Korrespondenzanalyse Clusteranalyse Diskriminanzanalyse Eigenschaften:
MehrZahlen und metrische Räume
Zahlen und metrische Räume Natürliche Zahlen : Die natürlichen Zahlen sind die grundlegendste Zahlenmenge, da man diese Menge für das einfache Zählen verwendet. N = {1, 2, 3, 4,...} Ganze Zahlen : Aus
MehrOrthonormalisierung. ein euklidischer bzw. unitärer Vektorraum. Wir setzen
Orthonormalisierung Wie schon im Falle V = R n erwähnt, erhalten wir durch ein Skalarprodukt eine zugehörige Norm (Länge) eines Vektors und in weiterer Folge eine Metrik (Abstand zwischen zwei Vektoren).
MehrIdeen und Konzepte der Informatik. Maschinelles Lernen. Kurt Mehlhorn
Ideen und Konzepte der Informatik Maschinelles Lernen Kurt Mehlhorn Übersicht Lernen: Begriff Beispiele für den Stand der Kunst Spamerkennung Handschriftenerkennung mit und ohne Trainingsdaten Gesichts-
MehrVektor und Matrixnormen Vorlesung vom
Vektor und Matrixnormen Vorlesung vom 20.12.13 Grundlagen: Matrix Vektor und Matrixprodukt. Lineare Räume. Beispiele. Problem: Berechne die Lösung x von Ax = b zu gegebenem A R n,n und b R n. Ziele: Konditionsanalyse
MehrLernende Vektorquantisierung
Lernende Vektorquantisierung (engl. Learning Vector Quantization) Rudolf Kruse Neuronale Netze 5 Motivation Bisher: festes Lernen, jetzt freies Lernen, d.h. es existieren keine festgelegten Klassenlabels
MehrDie Hamming-Distanz definiert eine Metrik.
Die Hamming-Distanz definiert eine Metrik. Satz Metrik Hamming-Distanz Die Hamming-Distanz ist eine Metrik auf {0, 1} n, d.h. für alle x, y, z {0, 1} n gilt: 1 Positivität: d(x, y) 0, Gleichheit gdw x
MehrTheoretische Informatik 1
Theoretische Informatik 1 Approximierbarkeit David Kappel Institut für Grundlagen der Informationsverarbeitung Technische Universität Graz 02.07.2015 Übersicht Das Problem des Handelsreisenden TSP EUCLIDEAN-TSP
MehrZ Zusätze. Z.1 Konvergenz in metrischen Räumen
251 Z Zusätze Z.1 Konvergenz in metrischen Räumen Z.1.1 Konvergenz von Zahlenfolgen. Wir hatten in 1.4.1 definiert: Eine Folge (a n ) n N reeller Zahlen heißt konvergent gegen den Grenzwert a, wenn es
MehrNotation und Einführung
Skriptteil zur Vorlesung: Proinformatik - Funktionale Programmierung Dr. Marco Block-Berlitz 30.Juli 2009 Notation und Einführung Der folgende Abschnitt gibt eine kurze Einführung in die Codierungstheorie.
Mehra) x 0, (Nichtnegativität) b) x = 0 x = 0, (Eindeutigkeit) c) αx = α x, (Skalierung)
Definition 1.20 Ein metrischer Rum besteht us einer Menge X und einer Abbildung d : X X R, die jedem geordneten Pr von Elementen us X eine reelle Zhl zuordnet, d.h. (x,y) X X d(x,y) R. Diese Abbildung
Mehr1 C. Ee 1 D B C. ; : : : ; Ee n D ; Ee 2 D B C : : A 2Rn A : v 1 v 2. Ev D B. A D v 1Ee 1 C v 2 Ee 2 C C v n Ee n : (30.3) v n
Abschnitt 3 Lineare Unabhängigkeit, Basis, Dimension R Plato 77 Die beiden Vektoren und 2 sind hingegen linear unabhängig, ebenso die beiden Vektoren und 3 sowie auch die beiden Vektoren 2 und 3 (Übungsaufgabe)
MehrEuklidische und unitäre Vektorräume
Kapitel 7 Euklidische und unitäre Vektorräume In diesem Abschnitt ist der Körper K stets R oder C. 7.1 Definitionen, Orthonormalbasen Definition 7.1.1 Sei K = R oder C, und sei V ein K-Vektorraum. Ein
Mehr2.2 Kollineare und koplanare Vektoren
. Kollineare und koplanare Vektoren Wie wir schon gelernt haben, können wir einen Vektor durch Multiplikation mit einem Skalar verlängern oder verkürzen. In Abbildung 9 haben u und v die gleiche Richtung,
MehrLänge eines Vektors und Abstand von zwei Punkten 2. 4 = 6. Skalarprodukt und Winkel zwischen Vektoren
Länge eines Vektors und Abstand von zwei Punkten Aufgabe Bestimme die Länge des Vektors x. Die Länge beträgt: x ( ) =. Skalarprodukt und Winkel zwischen Vektoren Aufgabe Es sind die Eckpunkte A(; ), B(
Mehr