Differentialrechnung. Kapitel 7. Differenzenquotient. Graphische Interpretation des Differentialquotienten. Differentialquotient

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1 Differenzenquotient Sei f : R R eine Funktion. Der Quotient Kapitel 7 Differentialrechnung f = f 0 + f 0 = f 0 0 heißt Differenzenquotient an der Stelle 0., Sekante 0, f 0 f 0 Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 207/8 7 Differentialrechnung / 75 Differentialquotient Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 207/8 7 Differentialrechnung 2 / 75 Graphische Interpretation des Differentialquotienten Falls der Limes f 0 + f 0 f 0 lim = lim Anstieg der Tangente an den Graphen der Funktion an der Stelle 0. eistiert, so heißt die Funktion f differenzierbar an der Stelle 0 und dieser Grenzwert Differentialquotient oder erste Ableitung der Funktion an der Stelle 0. Sekanten Eine Funktion f heißt differenzierbar, wenn sie in jedem Punkt des Definitionsbereichs differenzierbar ist. Schreibweisen: f 0 = d f d =0 0 f 0 Tangente Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 207/8 7 Differentialrechnung 3 / 75 Interpretation als Grenzfunktion Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 207/8 7 Differentialrechnung 4 / 75 Eistenz des Differentialquotienten Marginalquote, oder Grenzfunktion einer Wirkungsgröße y = bezüglich einer Faktorgröße. Eine Funktion f ist differenzierbar in allen Punkten, in denen sich eine Tangente mit endlicher Steigung an den Graphen legen lässt. In allen Punkten in denen das nicht möglich ist, ist die Funktion nicht differenzierbar. Das sind vor allem Unstetigkeitsstellen Sprungstellen Knicke im Graph der Funktion Senkrechte Tangenten 0 Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 207/8 7 Differentialrechnung 5 / 75 Berechnung des Differentialquotienten Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 207/8 7 Differentialrechnung 6 / 75 Aufgabe 7. Der Differentialquotien kann durch Bestimmen des Grenzwertes berechnet werden. Sei = 2. Dann ist f 0 + h 0 = lim h 0 h = h + h lim h 0 h = lim h h + h 2 h = 2 0 = lim h h Zeichnen Sie den Graphen der folgenden Funktionen. Sind diese Funktionen differenzierbar, bzw. wo sind sie differenzierbar? Sind die Funktionen stetig? a = b = 3 c = d = für e = für < 2 2 für > { 2 + für f = 2 für > Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 207/8 7 Differentialrechnung 7 / 75 Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 207/8 7 Differentialrechnung 8 / 75

2 Lösung 7. Ableitung einer Funktion differenzierbar in a R, b R, c R \ {0}, d R \ {, }, e R \ {, }, f R \ { }. Graph aus f: 3 Die Funktion f : D R, f = d f d heißt die erste Ableitung der Funktion f. Die Definitionsmenge D ist die Menge aller Punkte, in denen der Differentialquotient eistiert. Die Berechnung der Ableitung wird als Ableiten oder Differenzieren der Funktion bezeichnet. Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 207/8 7 Differentialrechnung 9 / 75 Ableitung elementarer Funktionen Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 207/8 7 Differentialrechnung 0 / 75 Differentiationsregeln f c = c f c 0 + g = f + g Summenregel α α α g = f g + g Produktregel e ln sin e cos f g = f g g = f g g g g 2 Kettenregel Quotientenregel cos sin Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 207/8 7 Differentialrechnung / 75 Beispiel Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 207/8 7 Differentialrechnung 2 / 75 Höhere Ableitungen = = e 2 = e 2 + e 2 = e 2 + e = = 2 = 2 2 = 2 a = e lna = e lna lna = a lna + 2 = Die Ableitung einer Funktion kann wiederum differenziert werden. Dadurch erhalten wir die zweite Ableitung f der Funktion f, dritte Ableitung f, usw. n-te Ableitung f n. Die ersten 5 Ableitungen der Funktion = sind f = = f = = f = = 24 f ıv = 24 = 24 f v = 0 Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 207/8 7 Differentialrechnung 3 / 75 Aufgabe 7.2 Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 207/8 7 Differentialrechnung 4 / 75 Lösung 7.2 Berechne die erste und zweite Ableitung der folgenden Funktionen: a = b = e 2 2 a f = , f = ; b f = e 2 2, f = 2 e 2 2 ; c = b; d f = 2, f = c = ep 2 2 d = + Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 207/8 7 Differentialrechnung 5 / 75 Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 207/8 7 Differentialrechnung 6 / 75

3 Aufgabe 7.3 Berechne die erste und zweite Ableitung der folgenden Funktionen: a = + 2 b = + 2 c = ln + Lösung 7.3 a f = 2, f = ; b f = 2 + 3, f = ; c f = ln, f = ; d f =, f = 2. d = ln Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 207/8 7 Differentialrechnung 7 / 75 Aufgabe 7.4 Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 207/8 7 Differentialrechnung 8 / 75 Lösung 7.4 Berechne die erste und zweite Ableitung der folgenden Funktionen: a = tan = sin cos b = cosh = 2 e + e a f = cos 2, f = 2 sin cos 3 ; b f = sinh, f = cosh; c f = cosh, f = sinh; d f = 2 sin + 2, f = 2 sin cos + 2. c = sinh = 2 e e d = cos + 2 Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 207/8 7 Differentialrechnung 9 / 75 Aufgabe 7.5 Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 207/8 7 Differentialrechnung 20 / 75 Lösung 7.5 Leite die Quotientenregel aus der Produkt- und Kettenregel her. = g g = f g + g = f g + g 2 g = f g g g 2 = f g g g 2 Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 207/8 7 Differentialrechnung 2 / 75 Aufgabe 7.6 Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 207/8 7 Differentialrechnung 22 / 75 Lösung 7.6 Bestimmen Sie die marginalen Kosten Grenzkosten und die Änderungsrate der marginalen Kosten für folgende Kostenfunktionen: a C = , 2 + 0,002 3 b C = ln + 0,0 2 Wie lautet die Ableitung der durchschnittlichen Kosten? Hinweis: Die marginalen Kosten sind die erste Ableitung C der Kostenfunktion C. Durchschnittliche Kosten: C, Änderungsrate der marginalen Kosten ist die zweite Ableitung C. a C = 30 0,2 + 0, 006 2, C = 0, 2 + 0, 02, C = 500 0, + 0, 004 ; 2 b C = 8 + 0, 02 2 ln, C = 0,02 2, C = 0, Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 207/8 7 Differentialrechnung 23 / 75 Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 207/8 7 Differentialrechnung 24 / 75

4 Marginale Änderung Differential Für kleine Werte von können wir die Ableitung f 0 durch den Differenzenquotienten mit kleinem abschätzen: f f 0 + f 0 0 = lim f 0 Daher können wir umgekehrt die Änderung f von f in der Nähe von 0 für kleine Änderungen abschätzen: Beachte: f = f 0 + f 0 f 0 f 0 ist eine lineare Funktion von. Diese Funktion ist die bestmögliche Approimation von f durch eine lineare Funktion in der Nähe von 0. Diese Approimation ist nur für kleine Werte von brauchbar. f = f 0 + f 0 f 0 Wenn wir die Differenzen f und durch infinitesimale unendlich kleine Größen d f und d ersetzen, erhalten wir das Differential der Funktion f an der Stelle 0 : d f = f 0 d d f und d heißen die Differentiale der Funktion f bzw. der unabhängigen Variable. Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 207/8 7 Differentialrechnung 25 / 75 Differential Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 207/8 7 Differentialrechnung 26 / 75 Aufgabe 7.7 Wir können das Differential von f als lineare Funktion in d auffassen und damit die Funktion f näherungsweise berechnen. f 0 + d f 0 + d f Sei = ln. Berechnen Sie die Änderung der Funktionswerte f 3, f 3 näherungsweise mit Hilfe des Differentials an der Stelle 0 = 3. Vergleichen Sie das Ergebnis mit dem eakten Wert. Sei = e. Differential von f an der Stelle : d f = f d = e d Approimation von f, mit Hilfe dieses Differentials: = 0 + d 0 =, = 0, f, f + d f = e + e 0, 2, 99 Zum Vergleich: f, = 3, Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 207/8 7 Differentialrechnung 27 / 75 Lösung 7.7 Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 207/8 7 Differentialrechnung 28 / 75 Elastizität Mit Hilfe des Differentials: f 3, f 3 0, 00096, Eakter Wert: f 3, f 3 = 0, Die erste Ableitung einer Funktion gibt die Änderungsrate einer Funktion f an der Stelle 0 in absoluten Zahlen an. Sie ist somit abhängig von der Skalierung von Argument und Funktionswert. Wir sind aber in vielen Fällen an relativen Änderungsraten interessiert. Skaleninvarianz und relative Änderungsraten erhalten wir durch Änderung des Funktionswertes in % des Funktionswertes Änderung des Arguments in % des Argumentes bzw. für die marginale Änderungsrate lim 0 f + f + = lim 0 = f Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 207/8 7 Differentialrechnung 29 / 75 Elastizität Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 207/8 7 Differentialrechnung 30 / 75 Elastizität II Der Ausdruck ε = f heißt die Elastizität von f an der Stelle. Sei = 3 e 2. Dann ist Sei = β α. Dann ist ε = f = 6 e2 3 e 2 = 2 ε = f = β α α β α = α Wir können die relative Änderungsrate von f ausdrücken als Ableitung ln = f Was passiert, wenn wir ln nach ln ableiten? Sei v = ln = e v Ableiten mittels Kettenregel ergibt: dln dln = dln f ev dv ε = = f e v f e v ev = f = ε dln dln Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 207/8 7 Differentialrechnung 3 / 75 Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 207/8 7 Differentialrechnung 32 / 75

5 Elastizität II Wir können die Kettenregel formal auch so schreiben: Sei u = lny, y =, = e v v = ln Dann erhalten wir dln f dln = du dv = du dy dy d d dv = y f e v = f Elastische Funktionen Eine Funktion f heißt in elastisch, falls ε > -elastisch, falls ε = unelastisch, falls ε < Für eine elastische Funktion gilt daher: Der Funktionswert ändert sich relative stärker als das Argument. Die Funktion = 3 e 2 ist [ ε = 2 ] -elastisch, für = 2 und = 2 ; unelastisch, für 2 < < 2 ; elastisch, für < 2 oder > 2. Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 207/8 7 Differentialrechnung 33 / 75 elastische Nachfragefunktion Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 207/8 7 Differentialrechnung 34 / 75 Aufgabe 7.8 Sei qp eine elastische Nachfragefunktion, p der Preis. Es gilt: p > 0, q > 0, und q < 0 q ist monoton fallend. ε q p = p q p qp < Also gilt Berechnen Sie die Bereiche, in denen die folgenden Funktionen elastisch, -elastisch bzw. unelastisch sind. a g = b h = α β, α R, β > 0 Was passiert mit dem Umsatz = Preis Absatz? u p = p qp = qp + p q p = qp + p q p qp }{{} =ε q< < 0 Das heißt, der Umsatz nimmt ab, falls wir den Preis erhöhen. Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 207/8 7 Differentialrechnung 35 / 75 Lösung 7.8 Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 207/8 7 Differentialrechnung 36 / 75 Aufgabe 7.9 a ε g = , -elastisch für = und = 3 2, elastisch für < und > 3 2, unelastisch für < < 3 2. b ε h = β, die Elasizität von h hängt nur vom Parameter β ab und ist im gesamten Definitionsbereich gleich groß. Hinweis: Beachten Sie bitte bei der Berechnung den Absolutbetrag. Welche der folgenden Aussagen ist richtig? Wenn eine Funktion y = in einem Intervall elastisch ist, so gilt in diesem Intervall: a Wenn sich um eine Einheit ändert, so ändert sich y um mehr als eine Einheit. b Wenn sich um ein Prozent ändert, so ändert sich y um mehr als ein Prozent. c y ändert sich relativ stärker als. d Je größer wird, desto größer wird auch y. Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 207/8 7 Differentialrechnung 37 / 75 Lösung 7.9 Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 207/8 7 Differentialrechnung 38 / 75 Partielle Ableitung richtig ist c. Die Aussage b stimmt nur näherungsweise. Wir untersuchen die Änderung einer Funktion f,..., n, wenn wir eine Variable i variieren und alle anderen konstant lassen. f f..., = i + i,... f..., i,... lim i i 0 i heißt die erste partielle Anleitung von f nach i. Es haben sich eine Reihe von weiteren Symbolen für die partielle Ableitungung f eingebürgert: i f i Ableitung nach der Variable i f i f i Ableitung nach der i-ten Variable i-te Komponente des Gradienten Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 207/8 7 Differentialrechnung 39 / 75 Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 207/8 7 Differentialrechnung 40 / 75

6 Berechnung der partiellen Ableitung Wir erhalten die partielle Ableitung nach i, wenn wir alle anderen Variablen als Konstante auffassen und f nach den bekannten Regeln für Funktionen in einer Variable nach i ableiten. Erste partiellen Ableitungen von f, 2 = sin2 cos 2 f = 2 cos2 cos 2 }{{} als Konstante betrachtet f 2 = sin2 }{{} sin 2 als Konstante betrachtet Höhere partielle Ableitungen Analog zu den Funktionen in einer Variablen können wir partielle Ableitungen nochmals ableiten und erhalten so höhere partielle Ableitungen. f i k = 2 f bzw. f i k i = 2 f i Falls alle zweiten partiellen Ableitungen eistieren und stetig sind, dann kommt auf die Reihenfolge beim Differenzieren nicht an. 2 f = 2 f k i i k 2 i Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 207/8 7 Differentialrechnung 4 / 75 Beispiel Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 207/8 7 Differentialrechnung 42 / 75 Aufgabe 7.0 Gesucht sind alle ersten und zweiten partiellen Ableitungen von f, y = y Erste partielle Ableitungen: f = y f y = Zweite partielle Ableitungen: f = 2 f y = 3 f y = 3 f yy = 0 Berechnen Sie die ersten und zweiten partiellen Ableitungen der folgenden Funktionen an der Stelle, : a f, y = + y b f, y = y c f, y = 2 + y 2 d f, y = 2 y 2 e f, y = α y β, α, β > 0 Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 207/8 7 Differentialrechnung 43 / 75 Lösung 7.0 Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 207/8 7 Differentialrechnung 44 / 75 Lösung 7.0 / 2 Ableitungen: a b c d e f y 2 2 y 2 α α y β f y 2 y 2 2 y β α y β f y 2 αα α 2 y β f y = f y y α β α y β f yy ββ α y β 2 Ableitungen an der Stelle, : a b c d e f 2 2 α f y 2 2 β f αα f y = f y α β f yy ββ Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 207/8 7 Differentialrechnung 45 / 75 Aufgabe 7. Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 207/8 7 Differentialrechnung 46 / 75 Lösung 7. Berechnen Sie die ersten und zweiten partiellen Ableitungen der folgenden Funktionen an der Stelle, : a f, y = 2 + y 2 b f, y = 3 + y 3 3 c f, y = p + y p p Ableitungen: a f 2 + y 2 /2 f y y 2 + y 2 /2 f 2 + y 2 / y 2 3/2 f y = f y y 2 + y 2 3/2 f yy 2 + y 2 /2 y y 2 3/2 b f y 3 2/3 f y y y 3 2/3 f y 3 2/ y 3 5/3 f y = f y 2 2 y y 3 5/3 f yy 2y 3 + y 3 2/3 2y y 3 5/3 Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 207/8 7 Differentialrechnung 47 / 75 Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 207/8 7 Differentialrechnung 48 / 75

7 Lösung 7. / 2 Lösung 7. / 3 f f y f f y = f y f yy c p p + y p p/p y p p + y p p/p p p 2 p + y p p/p p 2p p + y p 2p/p p p y p p + y p 2p/p p y p 2 p + y p p/p p y 2p p + y p 2p/p Ableitungen an der Stelle, : f 2 2 f 2 y 2 a b c f f y = f y f yy p/p 2 p/p p 2 2p/p p 2 2p/p p 2 2p/p Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 207/8 7 Differentialrechnung 49 / 75 Aufgabe 7.2 Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 207/8 7 Differentialrechnung 50 / 75 Lösung 7.2 Berechnen Sie die ersten und zweiten partiellen Ableitungen der Funktion f, y = ep 2 + y 2 Fehlt an der Stelle 0, 0. Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 207/8 7 Differentialrechnung 5 / 75 Der Gradient Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 207/8 7 Differentialrechnung 52 / 75 Eigenschaften des Gradienten Wir fassen die partiellen Ableitungen erster Ordnung zu einem Zeilenvektor, dem Gradienten an der Stelle, zusammen. f heißt auch Nabla f. = f,..., f n Der Gradient einer Funktion f zeigt in die Richtung des steilsten Anstieges von f. Seine Länge gibt diese Steigung an. Der Gradient steht immer normal auf die entsprechende Niveaulinie. Der Gradient wird oft auch als Spaltenvektor geschrieben. Andere Notationen: f Der Gradient spielt die gleiche Rolle wie die erste Ableitung bei Funktionen in einer Variablen. f Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 207/8 7 Differentialrechnung 53 / 75 Beispiel Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 207/8 7 Differentialrechnung 54 / 75 Aufgabe 7.3 Gesucht ist der Gradient von f, y = y an der Stelle = 3, 2. f = y f y = = 2 + 3y, 3 Berechnen Sie den Gradienten der folgenden Funktionen an der Stelle, : a f, y = + y b f, y = y c f, y = 2 + y 2 d f, y = 2 y 2 e f, y = α y β, α, β > 0 f 3, 2 = 2, 9 Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 207/8 7 Differentialrechnung 55 / 75 Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 207/8 7 Differentialrechnung 56 / 75

8 Lösung 7.3 Gradient: a f, y =,, b f, y = y,, c f, y = 2, 2y, d f, y = 2y 2, 2 2 y, e f, y = α α y β, β α y β, Gradient an der Stelle, : a f, y =,, b f, y =,, c f, y = 2, 2, d f, y = 2, 2, e f, y = α, β. Aufgabe 7.4 Berechnen Sie den Gradienten der folgenden Funktionen an der Stelle, : a f, y = 2 + y 2 b f, y = 3 + y 3 3 c f, y = p + y p p Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 207/8 7 Differentialrechnung 57 / 75 Lösung 7.4 Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 207/8 7 Differentialrechnung 58 / 75 Das totale Differential Gradient: a f, y = 2 + y 2 /2, y 2 + y 2 /2, b f, y = y 3 2/3, y y 3 2/3, c f, y = p p + y p p/p, y p p + y p p/p, Gradient an der Stelle, : a f, y = 2 2, 2 2, b f, y = 3, 4 3, 4 c f, y = 2 p/p, 2 p/p. Wir wollen eine Funktion f durch eine lineare Funktion so approimieren, dass der Fehler möglichst klein ist. Den Funktionswert an einer Stelle + h können wir näherungsweise analog zur Richtungsableitung berechnen. f + h f h f n h n Das totale Differential erhalten wir, wenn wir die h i durch unendlich kleine Differentiale d i ersetzen. Die lineare Funktion d f = f d f n d n = heißt das totale Differential von f an der Stelle. n i= f i d i Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 207/8 7 Differentialrechnung 59 / 75 Beispiel Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 207/8 7 Differentialrechnung 60 / 75 Aufgabe 7.5 Wir suchen das totale Differential von f, 2 = an der Stelle = 3, 2. d f = f 3, 2 d + f 2 3, 2 d 2 = 2 d + 9 d 2 Approimation von f 3, ;, 8 mit Hilfe des totalen Differentials: Sei f, y = 00 y Berechnen Sie a den Gradienten f von f an der Stelle,, b das totale Differential an der Stelle,, c mit dessen Hilfe eine Näherung für f an der Stelle 0, 0, f 3, ;, 8 f 3; 2 + d f = , + 9 0, 2 = 26, 40 Zum Vergleich: f 3, ;, 8 = 26, 35 3, 3 0, h = + h = =, 8 2 0, 2 Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 207/8 7 Differentialrechnung 6 / 75 Lösung 7.5 Die partiellen Ableitungen sind f = 400 y und f y = 200 y 2. a 4, 0 t ; b d f = 4 d; c 0. Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 207/8 7 Differentialrechnung 62 / 75 Jacobische Matri f,..., n Sei f : R n R m, y = f =. f m,..., n Dann heißt die m n-matri f Df 0 = f... 0 =..... f m... f n f m n die Jacobische Matri von f an der Stelle 0. Sie ist die Ableitung dieser vektorwertigen Funktion und somit eine Verallgemeinerung des Gradienten. Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 207/8 7 Differentialrechnung 63 / 75 Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 207/8 7 Differentialrechnung 64 / 75

9 Beispiel = f, 2 = ep D = f, f 2 = = 2 ep 2 2 2, 2 2 ep f, 2 2 f = f, 2 = = f 2, f f Df = f 2 = f 2 2 s t cost st = = s 2 t sint sint Dst = = cost ds dt ds 2 dt Kettenregel Seien f : R n R m und g : R m R k. Dann gilt f, y = e e y e 0 Df, y = 0 e y = Dg f = Dgf Df Dg f = Dgf Df = 2 e 2 2 e 2y 2 e 2 2 e 2y g, y = 2 + y 2 2 y 2 Dg, y = 2 2 y 2 2 y 2 e 2 e y 2 e 2 e y e 0 0 e y Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 207/8 7 Differentialrechnung 65 / 75 Beispiel Indirekte Abhängigkeit Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 207/8 7 Differentialrechnung 66 / 75 Aufgabe 7.6 Sei f, 2, t wobei t und 2 t ebenfalls von t abhängen. Wie ändert sich f mit t? Kettenregel: t Sei : R R 3, t 2 t t Sei f, y = 2 + y 2 g t t und gt = = g 2 t t 2. Berechnen Sie die Ableitung der zusammengesetzten Funktion h = f g mit Hilfe der Kettenregel. d f dt = D f t = D f t Dt t = f t 2 t t = f t, f 2 t, f t t 2 t = f t t + f 2 t 2 t + f tt = f, 2, t t + f 2, 2, t 2 t + f t, 2, t Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 207/8 7 Differentialrechnung 67 / 75 Lösung 7.6 Dht = D f gt Dgt = 2g t, 2g 2 t = 2t 2t, 2t 2 = 2t + 4t 3. 2t Die zusammengesetzte Funktion lautet ht = f gt = t 2 + t 4. Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 207/8 7 Differentialrechnung 68 / 75 Aufgabe 7.7 Seien f = 3 2, 3 2 t und g = 2 2, t. Berechnen Sie die Ableitungen der zusammengesetzten Funktionen g f und f g mit Hilfe der Kettenregel. Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 207/8 7 Differentialrechnung 69 / 75 Lösung Df = 32 2, Dg =, Dg f = Dgf Df = = Df g = Dfg Dg = 3 2 = Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 207/8 7 Differentialrechnung 70 / 75 Aufgabe 7.8 Sei QK, L, t eine Produktionsfunktion, wobei L = Lt und K = Kt selbst Funktionen der Zeit t sind. Berechnen Sie dq dt mit Hilfe der Kettenregel. Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 207/8 7 Differentialrechnung 7 / 75 Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 207/8 7 Differentialrechnung 72 / 75

10 Lösung 7.8 Kt Sei st = Lt. Dann ist t dq dt = DQst Dst = Q K st, Q L st, Q t st K t L t = Q K K t + Q L L t + Q t. Aufgabe 7.9 Sei A eine n m Matri. Bestimmen Sie die Jacobische Matri der Funktion f : R m R n, A. Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 207/8 7 Differentialrechnung 73 / 75 Lösung 7.9 Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 207/8 7 Differentialrechnung 74 / 75 Df = A. Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 207/8 7 Differentialrechnung 75 / 75