Kapitel 6 Differenzierbarkeit

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1 Kapitel 6 Differezierbarkeit Ihalt Die Defiitio Die Eigeschafte Extremwerte Seite 2

2 Was heißt differezierbar? Differezierbare Fuktioe sid sid glatte Fuktioe. Wir Wir beschreibe diese i i vier vier Stufe Beschreibug: Eie Eie Fuktio ist ist differezierbar, we ma ma sie sie i i eiem Schwug, ohe ohe azuhalte, zeiche ka Beschreibug: Eie Eie Fuktio ist ist differezierbar, we sie sie keie Kicke hat. hat Beschreibug: Eie Eie Fuktio ist ist differezierbar, we sie sie i i jedem Pukt eie eie eideutige Tagete hat. hat. Etscheided ist ist die die Eideutigkeit: Sie Sie muss i i jedem Pukt eie eie Tagete habe, sie sie darf darf aber aber auch auch keie zwei zwei (oder och och mehr habe. Seite 3 Der Differezequotiet (mathematische Beschreibug: Was Was heißt: Die Die Fuktio f f ist ist i i eiem Pukt x differezierbar? Wir Wir setze die die dritte dritte Beschreibug i i mathematische Sprache um. um. Sei Sei x ei ei Pukt mit mit x x.. Der Der zugehörige Differezequotiet ist ist f(x- f(x... Der Der Differezequotiet ist ist die die Steigug der der Gerade (Sekate durch die die Pukte (x (x f(x f(x ud ud (x (x f(x. f(x. Seite 4

3 Die Tagete Wie Wie ka ka ma ma die die Tagete im im Pukt (x (x f(x f(x beschreibe? Wir Wir lasse eifach x x gege x laufe. Präziser: (a (a Wir Wir betrachte eie eie beliebige Folge (x (x,, die die gege x kovergiert. (b (b Für Für jedes Elemet x der der Folge betrachte wir wir de de zugehörige Differezequotiete f(x - f(x x - x (c (c Wir Wir betrachte die die Folge der der Differezequotiete. Diese ka ka kovergiere, muss aber aber icht. Ud Ud die die Grezwert köe alle alle gleich sei, sei, müsse aber aber icht. (d (d Die Die Fuktio, die die immer muss, ist ist differezierbar: Seite 5 Die Defiitio Defiitio. Sei Sei f f eie eie Fuktio, ud ud sei sei x ei ei Elemet ihres ihres Defiitiosbereichs. Die Die Fuktio f f heißt differezierbar im im Pukt x,, we die die beide folgede Bediguge erfüllt sid: sid: (a (a Für Für jede jedefolge (x (x,, die die gege x kovergiert (wobei die die x aus aus dem dem Defiitiosbereich vo vo f f sid sid kovergiert auch auch die die Folge f(x - f(x ( x - x der der Differezequotiete. f(x (b (b Alle Alle Grezwerte der der Folge - f(x (,, die die i i (a (a auftrete, sid sid gleich. Seite 6

4 Die Defiitio (Fortsetzug Der Der (ach Defiitio eideutig bestimmte Grezwert der der Differezequotiete eier eier differezierbare Fuktio ist ist die die Steigug der der Tagete im im Pukt x.. Ma Ma et diese Grezwert auch auch de de Differetialquotiet oder oder die die Ableitug im im Pukt x ud ud schreibt dafür dafür f'(x f'(x.. Ma Ma sagt, sagt, eie eie Fuktio ist ist (überall differezierbar, we sie sie i i jedem Pukt differezierbar ist. ist. Beispiel: Bei Bei eier eier Fuktio des des Typs Typs f(x f(x mx mx + b ist ist jeder jeder Differezequotiet gleich m, m, also also sid sid auch auch alle alle Grezwerte gleich m. m. Somit ist ist die die Fuktio differezierbar, ud ud die die Aleitug i i jedem Pukt ist ist m. m. Seite 7 Was heißt icht differezierbar? Um Um achzuweise, dass dass f f icht ichtdifferezierbar im im Pukt x ist, ist, habe wir wir zwei zwei Möglichkeite: Die Die Fuktio f f ist ist icht differezierbar im im Pukt x,, we midestes eie eie der der beide folgede Bediguge gilt: gilt: (a (a es es gibt gibt midestes eie eie Folge (x (x,, die die gege x kovergiert (wobei die die x aus aus dem dem Defiitiosbereich vo vo f f sid, für für die die die die Folge ( ( der der Differetialquotiete icht icht kovergiert. (b (b Es Es gibt gibt zwei zwei Folge (x (x ud ud (z (z,, die die gege x kovergiere, so so dass dass die die zugehörige Folge der der Differezequotiete zwar zwar kovergiere, aber aber gege verschiedee Grezwerte. Seite 8

5 Beispiel: f(x x2 x Satz. Die Die Ableitug der der Fuktio f(x f(x x 2 2 ist ist f'(x f'(x 2x. 2x. Isbesodere ist ist die die Fuktio f(x f(x x 2 2 differezierbar. Beweis. Sei Sei x eie eie beliebige reelle Zahl. Zahl. Sei Sei (x (x eie eie Folge, die die gege x kovergiert. Da gilt gilt 2 2 f(x - f(x x - x (x - x (x + x x + x. Da Da (x (x gege x kovergiert, kovergiert die die Folge (x (x +x +x gege 2x 2x.. Also Also ist ist die die Ableitug vo vo f f i i dem dem beliebige Pukt x gleich 2x 2x.. Daher ist ist die die Ableitug vo vo f(x f(x gleich 2x. 2x. Seite 9 Beispiel: f(x 1/x Satz. Die Die Fuktio f(x f(x 1/x 1/x hat hat die die Ableitug f'(x f'(x 1/x 1/x Isbesodere ist ist die die Fuktio f(x f(x 1/x 1/x überall differezierbar. Beweis. Sei Sei x eie eie beliebige reelle Zahl. Zahl. Sei Sei (x (x eie eie beliebige Folge, die die gege x kovergiert. Da gilt gilt f(x - f(x 1/x -1/x ( -1. x x ( x x Da Da (x (x gege x kovergiert, kovergiert die die Folge 1/x 1/x x gege 1/x 1/x Also Also ist ist die die Ableitug vo vo f f im im Pukt x gleich 1/x 1/x Daher ist ist die die Ableitug vo vo f(x f(x gleich 1/x 1/x Seite 1

6 Beispiel: f(x exp(x Satz. Die Die Expoetialfuktio f(x f(x exp(x hat hat die die Ableitug f'(x f'(x exp(x. Isbesodere ist ist die die Expoetialfuktio überall differezierbar ud ud ihre ihre Ableitug ist ist gleich der der Origialfuktio. Beweis. Sei Sei x eie eie beliebige reelle Zahl. Zahl. Sei Sei (x (x eie eie beliebige Folge, die die gege x kovergiert. Da gilt gilt f(x - f(x exp(x - exp(x exp(x - exp(x + x - x exp(x - exp(x exp(x - x 1- exp(x - x exp(x. Seite 11 Beweisede Da Da (x (x gege x kovergiert, geht geht der der erste erste Faktor gege exp(x ; ; der der zweite Faktor kovergiert gege 1 (ohe Beweis. Also Also ist ist die die Ableitug vo vo f f a a der der Stelle x gleich exp(x.. Das Das heißt heißt exp'(x exp(x für für alle alle x. x. Seite 12

7 6.2 Differezierbarkeit: Die Eigeschafte Ziele: Aus Aus eier eier oder oder zwei zwei differezierbare Fuktioe mach eie eie eue! Eigeschafte eier eier differezierbare Fuktio Seite 13 Satz über Summe ud Produkt Satz. Seie f f ud ud g differezierbare Fuktioe. Da sid sid auch auch die die Summe f+g f+g ud ud das das Produkt f g f g differezierbare Fuktioe. Es Es gelte (f+g' (f+g' f' f' + g g (Summeregel, (k f' (k f' k f k f für für jede jede reelle Zahl Zahl k, k, (fg' (fg' f' g f' g + f g f g (Produktregel. Beispiele: f(x f(x x + 7x 7x 3 3 ist ist differezierbar. Die Die Fuktioe x, x, x 2 2,, x 3 3,, x 4 4,, x 5 5,,... sid sid differezierbar. Jedes Polyom ( gazratioale Fuktio ist ist differezierbar. Seite 14

8 Beweis der Summeregel Beweis. Sei Sei x eie eie beliebige reelle Zahl. Zahl. Wir Wir zeige, dass dass f+g f+g i i x differezierbar ist. ist. x Dazu betrachte wir wir eie eie beliebige Folge (x (x,, die die gege x kovergiert. Da Da f f i i x differezierbar ist, ist, kovergiert die die Folge f(x - f(x ( x - x gege f'(x f'(x.. Da Da g i i x differezierbar ist, ist, kovergiert die die Folge g(x - g(x ( x - x gege g'(x g'(x.. Seite 15 Beweis der Summeregel (Fortsetzug Also Also kovergiert die die Folge f(x - f(x g(x - g(x ( + (f + g(x - (f + g(x f(x + g(x - (f(x + g(x gege f'(x f'(x + g'(x g'(x.. Also Also ist ist f+g f+g differezierbar, ud ud es es gilt gilt (f+g' (f+g' f'+g'. f'+g'. Seite 16

9 Produkt mit eier reelle Zahl: Beweis Sei Sei x eie eie beliebige reelle Zahl. Zahl. Wir Wir zeige, dass dass kf kf i i x differezierbar ist. ist. Dazu betrachte wir wir eie eie beliebige Folge (x (x,, die die gege x kovergiert. Da Da f f i i x differezierbar ist, ist, kovergiert die die Folge f(x - f(x ( gege f'(x f'(x.. x - x Also Also kovergiert folgede Folge gege kf (x kf (x : : kf(x - kf(x f(x - f(x ( k(. Seite 17 Beweis der Produktregel Sei Sei x eie eie beliebige reelle Zahl. Zahl. Wir Wir zeige, dass dass fg fg i i x differezierbar ist. ist. Die Die Folge mit mit de de Glieder (fg(x - (fg(x f(xg(x - f(x g(x f(x (g(x - g(x + (f(x -f(x g(x g(x f(x x -g(x - x f(x - f(x + g(x kovergiert gege f(x f(x g (x g (x + f (x f (x g(x g(x.. Seite 18

10 Polyome sid differezierbar Satz. Sei Sei f(x f(x a x a 1 x 1 + a ei ei Polyom. Da ist ist f f differezierbar, ud ud es es gilt gilt f'(x f'(x a a x ( 1 a 1 x a 2a 2 x 2 + a Beweis. Schritt 1: 1: f(x f(x x ist ist differezierbar, ud ud es es gilt gilt f'(x f'(x x x 1 1..(Produktregel, Iduktio ach ach Schritt 2: 2: f(x f(x a x ist ist differezierbar, ud ud es es gilt gilt f (x f (x a a x 1 1..(Schritt 1, 1, Produkt mit mit eier eier reelle Zahl Zahl Schritt 3: 3: f(x f(x a x a 1 x 1 + a ist ist differezierbar, ud ud es es gilt gilt f (x f (x a a x ( 1 a 1 x a 2a 2 x 2 + a 1 (Summeregel. 1 Seite 19 Quotieteregel, Ketteregel Quotieteregel. Seie f f ud ud g differezierbare Fuktioe mit mit g(x g(x für für alle alle x. x. Da ist ist auch auch der der Quotiet f/g f/g differezierbar, ud ud es es gilt gilt (f/g (f/g (f g (f g fg /g fg /g Ketteregel. Seie f f ud ud g differezierbare Fuktioe. Da gilt gilt (f (f g (x f (g(x g (x. Dabei bedeutet die die Hitereiaderausführug vo vo Fuktioe. Ma Ma et f f die die äußere ud ud g die die iere Fuktio; etspreched spricht ma ma vo vo der der äußere ud ud iere Ableitug. Seite 2

11 Differezierbarkeit ud Stetigkeit Satz. We eie eie Fuktio differezierbar ist, ist, da da ist ist sie sie auch auch stetig. Bemerkug: Die Die Umkehrug gilt gilt icht! (Betragsfuktio! Beweis. Sei Sei x eie eie beliebige reelle Zahl. Zahl. Wir Wir zeige, dass dass f f stetig i i x ist. ist. Sei Sei also also (x (x eie eie beliebige Folge, die die gege x kovergiert. Wir Wir müsse zeige, dass dass die die Folge (f(x (f(x gege f(x f(x kovergiert. Dazu geügt es es zu zu zeige, dass dass die die Folge (f(x (f(x f(x f(x gege kovergiert. Seite 21 Beweis f(x - f(x Da Da f f differezierbar i i x ist, ist, kovergiert die die Folge ( x - x gege f'(x f'(x.. f(x - f(x Trick: Wir Wir betrachte die die Folge ( f(x - f(x ( (x - x. x - x Die Die rechte Seite Seite ist ist Produkt vo vo zwei zwei Folge, ämlich vo vo f(x - f(x (a ( ud ud ( b (. Beide Folge kovergiere: die die erste erste gege f'(x f'(x,, die die zweite gege.. Also Also kovergiert die die Produktfolge (a (a b b gege das das Produkt der der Grezwerte, d.h. d.h. gege f'(x f'(x.. Also Also kovergiert (f(x (f(x f(x f(x gege,, also also (f(x (f(x gege f(x f(x.. Somit ist ist f f stetig i i x.. Seite 22

12 6.3 Miimum, Maximum, Extremum Defiitio. Sei Sei f f eie eie stetige Fuktio auf auf dem dem Itervall [a, [a, b]. b]. Wir Wir sage, dass dass f f a a eier eier Stelle x ei ei Maximum aimmt, we es es eie eie Umgebug vo vo x gibt, gibt, so so dass dass f(x f(x f(x f(x für für alle alle x aus aus der der Umgebug gilt. gilt. Aalog: Miimum. Extremum ist ist Miimum oder oder Maximum. Achtug: Plural heißt heißt Miima, Maxima, Extrema Satz. Sei Sei f f eie eie auf auf dem dem Itervall [a, [a, b] b] differezierbare Fuktio. We x ei ei Extremum ist, ist, da da ist ist f (x f (x.. Beweis. Sei Sei z.b. z.b. x ei ei Maximum. Da gibt gibt es es eie eie ε-umgebug vo vo x,, i i der der alle alle Fuktioswerte kleier als als f(x f(x sid. sid. Seite 23 Beweis Wir Wir betrachte eie eie Folge (x (x,, dere Glieder i i der der ε-umgebug liege ud ud größer als als x sid. sid. Es Es folgt folgt f(x - f(x lim. We etspreched (x (x eie eie Folge ist, ist, dere Glieder i i der der ε- ε- Umgebug liege ud ud kleier als als x sid, sid, folgt folgt f(x - f(x lim. Da Da f f differezierbar ist, ist, müsse die die Grezwerte übereistimme. Es Es folgt folgt f (x f (x.. Seite 24

13 Satz vo Rolle Satz. Seie a < b reelle Zahle, ud ud sei sei f f eie eie differezierbare Fuktio. We f(a f(a f(b f(b ist, ist, da da gibt gibt es es eie eie reelle Zahl Zahl x zwische a ud ud b mit mit f'(x f'(x.. Isbesodere gilt: gilt: Zwische je je zwei zwei Nullstelle liegt liegt eie eie waagrechte Tagete. Beweis. Falls Falls f f kostat ist, ist, folgt folgt die die Behauptug sofort. Sei Sei f f icht icht kostat. Da hat hat f f ei ei Maximum oder oder Miimum x (da (da f f stetig ist. ist. Nach Satz Satz ist ist da da f(x f(x.. Michel Rolle ( , frazösischer Mathematiker. Seite 25 Mittelwertsatz Satz. Seie a < b reelle Zahle, ud ud sei sei f f eie eie differezierbare Fuktio. Da gibt gibt es es eie eie Zahl Zahl x [a, [a, b] b] mit mit f(b- f(a f' (x. b - a Mit Mit adere Worte: Es Es gibt gibt eie eie reelle Zahl Zahl x,, a a dem dem die die Kurve die die gleiche Steigug wie wie die die Sekate hat. hat. Seite 26

14 Beweis f(b- f(a h' (x f'(x -. b - a Beweis. Wir Wir defiiere folgede Hilfsfuktio h: h: f(b- f(a h(x f(x- (x - a. b - a Diese Fuktio ist ist differezierbar. Ferer gilt gilt h(a h(a f(a f(a ud ud h(b h(b f(a. f(a. Also Also köe wir wir de de Satz Satz vo vo Rolle awede: Es Es gibt gibt ei ei x aus aus [a, [a, b] b] mit mit h (x h (x.. Das Das heißt heißt Das Das ist ist die die Behauptug. Seite 27 Ableitug ud mootoe Fuktioe Satz. Sei Sei f f eie eie Fuktio, die die im im Itervall [a, [a, b] b] differezierbar ist. ist. We für für alle alle x aus aus [a, [a, b] b] gilt gilt f (x f (x > (bzw. f (x f (x <,, da da ist ist f f im im Itervall [a, [a, b] b] streg mooto wachsed (bzw. streg mooto falled. Beweis. Sei Sei f (x f (x > für für alle alle x aus aus [a, [a, b]. b]. Ageomme, f f wäre wäre icht icht streg mooto wachsed. Da gäbe gäbe es es a, a, b b [a, [a, b] b] mit mit a a < b, b, aber aber f(a f(a f(b. f(b. Nach dem dem Mittelwertsatz gibt gibt es es da da ei ei x mit mit f (x f (x (f(b (f(b f(a /(b a a.. satz Dies Dies widerspricht der der Voraussetzug. Also Also ist ist die die Aahme falsch. Daher gilt gilt die die Behauptug. Seite 28

15 Extremwertbestimmug Satz. Sei Sei f f eie eie differezierbare Fuktio, die die im im Pukt x zweimal differezierbar ist. ist. We gilt gilt f (x f (x ud ud f (x f (x < (bzw. f (x f (x >,, da da hat hat f f i i x ei ei Maximum (bzw. ei ei Miimum. Beweis. Wir Wir setze f (x f (x < voraus. Das Das bedeutet, dass dass der der f'(x Grezwert der der Differezequotiete - f'(x x - x kleier als als Null Null ist. ist. Also Also gibt gibt es es auch auch eie eie ε-umgebug vo vo x,, so so dass dass für für alle alle x aus aus dieser ε-umgebug der der etsprechede f'(x - f'(x Differezequotiet kleier als als Null Null ist. ist. Seite 29 Beweisabschluss Das Das bedeutet: f (x f (x > für für x < x ud ud f (x f (x < für für x > x.. Also Also ist ist f f liks vo vo x streg mooto steiged ud ud rechts vo vo x streg mooto falled. Daher muss bei bei x ei ei Maximum vorliege. Seite 3