Zelluläre Automaten. Zelluläre Automaten sind einfache Simulationssysteme zur Untersuchung von komplexen Interaktionsmuster

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1 Motivation sind einfache Simulationssysteme zur Untersuchung von komplexen Interaktionsmuster einfache Zellen räumlich angeordnet einfache Interaktionsmuster (Beziehungen zwischen benachbarten Zellen) komplexes, emergentes Systemverhalten dienen zur Untersuchung von diskreten, räumlich verteilten Systemen z.b. in der theoretischen Physik *

2 Kopplung von gleichartigen Automaten mit homogener Interaktionsstruktur regelmäßige Anordnung von gleichartigen, nicht überlappenden Zellen 1-, 2- oder mehrdimensionales Feld von Zellen (Gitter) Form: triangulär, quadrangulär oder hexagonal jede Zelle hat eine lokale Nachbarschaft jede Zelle ist einfachen Automaten mit Zustand und Zustandsüberführung Zustandsänderung erfolgt in diskreten, äquidistanten Zeitschritten, t = 0, 1, 2, der Zustand einer Zelle zum Zeitpunkt t+1 hängt vom Zustand der Zelle zum Zeitpunkt t und und vom Zustand der Zellnachbarn zum Zeitpunkt t ab. + Formalismus Zellulärer Automat Homogenes Feld mit Automatenzellen ZA i,j = (Q i,j, I i,j, δ i,j ) Zustand Q i,j in der sich die Zelle auf Position i,j zu einem Zeitpunkt befindet Nachbarschaft I i,j für eine Zelle auf Position i,j Zustandsüberführungsfunktion δ i,j für eine Zelle auf Position i,j gibt an wie sich die Zelle aufgrund seines eigenen Zustands und der Zustände der Nachbarn in I i,j in einem Zeitschritt ändert.,

3 Nachbarschaft Ii,j für eine Zelle auf Position i,j auf eine Zelle einwirkende Nachbarn für alle Zellen gleich von-neumann-nachbarschaft I i,j = {(i, j+1), (i+1, j), (i, j-1), (i-1, j)} (0,-1) (-1,0) (i,j) (1,0) (0,1) Moore-Nachbarschaft I i,j = { (i, j+1), (i+1, j), (i, j-1), (i-1, j), (i+1, j+1), (i+1, j-1), (i-1, j+1), (i-1, j-1) } (-1,-1) (0,-1) (1,-1) (-1,0) (i,j) (1,0) (-1,1) (0,1) (1,1) n n n n - Randwerte bei Zellulären Automaten Absorbierend: - alle Zellen außerhalb sind in einem definierten Zustand ( Null -Zustand) Torus: - die rechten sind mit den linken und die oberen mit den unteren verbunden - Indizes der Nachbarn werden modulo n gerechnet.

4 Zellulärer Automat Game of Life Q i,j = {0, 1} Moore-Nachbarschaft I i,j = {(i, j+1), (i+1, j), (i, j-1), (i-1, j), (i+1, j+1), (i+1, j-1), (i-1, j+1), (i-1, j- 1)} Überführungsfunktion δ i,j für eine Zelle auf Position i,j δ i,j (, +1, q i+1,j, -1, q i-1,j, q i+1,j+1, q i+1,j-1, q i-1,j+1, q i-1,j-1 ) = 1 if = 1 & (sum = 2 sum = 3) (eine lebende Zelle bleibt am Leben, wenn 2 oder 3 lebende Nachbarn) 0 if = 1 & (sum < 2 sum > 3) (eine lebende Zelle stirbt, wenn weniger als 2 oder mehr als 3 lebende Nachbarn 1 if = 0 & sum = 3 (eine tote Zelle wird geboren, wenn genau 3 lebende Nachbarn) 0 if = 0 & sum 3 (eine tote Zelle bleibt tot, wenn nicht genau 3 lebende Nachbarn) mit sum = +1 +q i+1,j +-1 +q i-1,j +q i+1,j+1 +q i+1,j-1 +q i-1,j+1 +q i-1,j-1 Summe der lebenden Nachbarn / Musterbildung bei Game of Life Entwicklung transiente und stabile Muster immer neue Muster werden entdeckt bewegliche Muster führen immer wieder zu Änderungen und Zerfall erzeugende Muster bringen immer neue Dynamik (a) (b) (c) (d) (a), (b), (c) stabil (d) alternierend (e), (f) beweglich (e) (f) 0

5 Simulationsalgorithmus für CA-Simulation (T i, T f, {q0 i,j }) for all cells i,j do = q0 i,j t = T i while (t <= T f ) do // compute new state according to neighbors I i,j // and save it in for all cells i,j do := δ i,j ((,, q k,l, )), k,l I i,j t := t + 1 // update state for new time step for all cells i,j do = 1 Simulationsbeispiel Game of Life 2

6 Anwendung von Zellulären Automaten Untersuchung von Interaktionen von Systemen - durch Interaktion der Zellen entstehen erstaunlich komplexe Phänomene - oft mit chaotischem Verhalten - vor allem nicht vorhersagbar -, als diskretes Modell räumlicher Dynamiken - Flächenbebauung - Ausbreitung von Feuern - Emissionsausbreitungsmodelle - Beispiel Zellulärer Automat Lawine Zustandsmenge Q i,j = {1, 2,, 8} Von-Neumann-Nachbarschaft I i,j = {(i, j+1), (i+1, j), (i, j-1), (i-1, j)} Absorbierende Randbedingung q x,y = 0 Zustandsüberführungsfunktion: Zustände größer oder gleich 5 gelten als überlastet δ i,j (, +1, q i+1,j, -1, q i-1,j ) = 4 + sum if ( 5) // überlastet + sum otherwise -- wenn nicht überlastet mit sum = {q k,l q k,l 5 & (k,l) I i,j } (Anzahl der überlasteten Nachbarn) Bei kleiner Anregung (einige überlastete Zustände) wird eine Kettenreaktion losgetreten *

7 Beispiel Zellulärer Automat Lawine + Beispiel Erregbare Systeme (Greenberg-Hastings Automat) Zellen kennen 3 Phasen: - Ruhe (0) - Erregung (r) - Erholung [1,, r-1] Von-Neumann-Nachbarschaft Randbedingung Torus Zustandsüberführungsfunktion: - Zellen mit erregten Nachbarn, die in Ruhe sind, werden erregt - Zellen, die in in der Erholungsphase sind, erholen sich weiter δ i,j (, +1, q i+1,j, -1, q i-1,j ) = r if ( = 0 && (k,l) : q k,l = r) -- wird erregt 1if ( 0) -- erholt sich otherwise -- bleibt gleich,

8 Beispiel Zellulärer Automat Lawine - Wolframs -Klassifikation eindimensionale mit binärer Zustandsmenge Q i = {0, 1} nur direkte rechter und linker Nachbar I i = {i-1, i+1} ergeben 2 3 mögliche Überführungsfunktionen (f: {0, 1} 3 {0, 1}) Klassen von Automaten: I. Homogene Zustände II. Periodische Zyklen III. Chaotisches Verhalten IV. komplexe lokale Strukturen (zwischen Chaos und Ordnung).

9 Wolframs -Klassifikation III. I. II. IV. / Ereignisorientierte Simulation von Zellulären Automaten Ruhezustand: sind eine Zelle und alle seine Nachbarn in einem sogenannten Ruhezustand, so bleibt der Zustand unverändert. Ereignis wirkliche Veränderung einer Zelle zu einem bestimmten Zeitpunkt Liste der (möglichen) nächsten Ereignisse: Liste der Zellen, bei denen grundsätzlich ein Ereignis auftreten kann sind jene, bei denen im letzten Zeitpunkt eine Änderung erfolgte 0

10 Ereignisorientierte Algorithmus von Zellulären Automaten - bei einem Zustandsübergang markiere die Zustände, die wirklich den Zustand ändern - von diesen sammle alle Nachbarn - diese Liste enthält alle, die in dem nächsten Schritt ein Ereignis haben können EventBased-CA-Simulation (T i, T f, {q0 i,j }) for all cells i,j do = q0 i,j event-list = {} for all cells i,j do // initialize event-list if not is in quiescent state then add i,j and all cells k,l with i,j I k,l to event-list t = T i while (t T f ) do new-event-list = {} for all cells i,j in event-list do = δ i,j ((,, q k,l,)), k,l I i,j if then add i,j and all cells k,l with i,j I k,l to new-event-list t = t + 1 for all cells i,j in event-list do = event-list = new-event-list end while 1 Zusammenfassung Anwendung bei der Untersuchung von Interaktionen von Systemen, z.b. diskrete Modellierung von Ausbreitungsströmen Gruppenphänomene Äquivalenz zur Turing Maschine herkömmliche Simulation: Berechnung jeder Zelle in jedem Zeitschritt aufgrund der beeinflußenden Zellen ereignisgesteuerte Simulation: Konzentration auf die Zellen, bei denen etwas passieren kann Ausgehend von einem Ereignis Bestimmung von möglichen Folgeereignissen Zelle nimmt aktive Position ein, indem sie auf die beeinflußten Zellen einwirkt *2