Argumentationen zu ermöglichen, verlangen wir, dass diese Eigenschaft auch für induzierte Teilgraphen

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1 Kapitel 9 Perfekte Graphen 9.1 α- und χ-perfektheit Eine Clique in einem Graphen G ist ein induzierter vollstäniger Teilgraph. Die Cliquenzahl ω(g) ist die Kardinalität einer größten in G enthaltene Clique. Da bei einer Knotenfärbung die Knoten einer Clique verschiedene Farben tragen müssen, gilt offensichtlich χ(g) ω(g). Wir wollen versuchen, eine Dualitätsbeziehung zwischen minimalen Färbungen und maximalen Cliquen aufzubauen. Im Allgemeinen wird dieser Versuch scheitern, da Graphen mit beliebig großer chromatischer Zahl und Cliquenzahl zwei existieren. Wir könnten uns daher für die Graphen interessieren, für die Gleichheit gilt, und solche Graphen schön nennen. Um aber insbesondere induktive Argumentationen zu ermöglichen, verlangen wir, dass diese Eigenschaft auch für induzierte Teilgraphen gilt. Wir nennen einen Graphen G χ-perfekt falls χ(h) = ω(h) für alle induzierten Teilgraphen H G. Anstatt Cliquen zu betrachten können wir auch stabile Mengen untersuchen. Die Stabilitätszahl α(g) ist die Kardinalität einer größten unabhängigen Menge. Die Cliquenüberdeckungszahl κ(g) ist die kleinste Anzahl von Cliquen, die die Knoten überdecken. Wiederum gilt offensichtlich κ(g) α(g). Ein Graph G heißt α-perfekt, falls κ(h) = α(h) für alle induzierten Teilgraphen H G Replikation Zu v V bezeichne G x den Graphen, der aus G entsteht, indem der Knoten x dupliziert wird. Allgemeiner: sei h = (h 1,..., h n ) ein Vektor aus nichtnegativen ganzen Zahlen. Dann bezeichnet G h den Graphen, der entsteht, wenn jeder Knoten x j wird durch eine stabile Menge der Kardinalität h j ersetzt wird. Für h {0, 1} n sei G h der von den Knoten x j mit h j = 1 induzierte Teilgraph. Lemma 9.1 (Berge). Sei H = G h. Dann gilt: i) G χ-perfekt H χ-perfekt ii) G α-perfekt H α-perfekt 73

2 KAPITEL 9. PERFEKTE GRAPHEN 74 Beweis: Die Aussage ist richtig, falls G nur aus einem Knoten besteht. Sei sie also auch richtig für Graphen, die weniger Knoten haben als G. Sei H = G h. Per Induktion können wir annehmen, dass h ein Vektor aus lauter Einsen ist mit einer Komponente 2, d.h. H = G x. Sei also x die Kopie von x. (i) Da x und x nicht benachbart sind, folgt ω(g x) = ω(g). Da G χ-perfekt ist, existiert eine Färbung von G mit ω(g) Farben. Färbe x wie x. (ii) Sei K eine Cliquenüberdeckung von G mit K = κ(g) = α(g) und sei K x die Clique, die x enthält. Wir unterscheiden zwei Fälle: a) x liegt in einer maximalen stabilen Menge: sei S eine stabile Menge mit S = α(g) und x S. Dann ist S {x } stabil in G x, d.h. α(g x) = α(g) + 1. Da K {x } eine Cliquenüberdeckung von G x ist, folgt und somit α(g x) = κ(g x). κ(g x) κ(g) + 1 = α(g) + 1 = α(g x) κ(g x), b) x ist in keiner maximalen stabilen Menge: dann ist α(g x) = α(g). Da κ(g) = α(g), schneidet jede Clique in K, und damit auch K x, jede maximale stabile Menge genau einmal. Da x in keiner maximalen stabilen Menge liegt, schneidet auch D = K x {x} jede maximale stabile Menge genau einmal. Sei H der von V D induzierte Untergraph. Dann ist α(h) = α(g) 1. Per Induktion gilt: κ(h) = α(h) = α(g) 1 = α(g x) 1 Dann ergibt die Cliquenüberdeckung von H der Kardinalität α(g x) 1 zusammen mit D {x } eine Cliquenüberdeckung mit κ(g x) = α(g x) Es war lange Zeit vermutet worden, dass die beiden Perfektheitsbegriffe äquivalent sind. Diese Vermutung ist schließlich von Lovász bewiesen worden. Satz 9.2 (Lovász). G ist α-perfekt genau dann, wenn G χ-perfekt ist. Beweis: Da die stabilen Mengen eines Graphen G den Cliquen seines Komplements G entsprechen, reicht es zu zeigen, dass die α-perfektheit die χ-perfektheit impliziert. Sei also G α-perfekt. Per Induktion ist ω(h) = χ(h) bewiesen für alle H G. Falls G eine stabile Menge S enthält, die jede maximale Clique schneidet, so ist ω(v S) = ω(g) 1. Dann können wir V S mit ω(g) 1 Farben und S in einer zusätzlichen Farbe färben, d.h. ω(g) = χ(g). Andernfalls gilt für jede stabile Menge S, dass im Restgraphen H = G(V S) eine Clique K(S) existiert mit K(S) = ω(g), d.h. S K(S) =. Sei S die Menge aller stabilen Mengen

3 KAPITEL 9. PERFEKTE GRAPHEN 75 von G. Für jedes v i V sei h i = {S S : v i K(S)} die Anzahl der stabilen Mengen S, so dass die zugehörige maximale Clique K(S) v i enthält. Wir ersetzen nun jeden Knoten v i in G durch eine stabile Menge der Größe h i. Sei also H = G h. Nach Lemma 9.1 ist H ebenfalls α-perfekt. Weiter gilt: h i V (H) = v i V = {v i } K(S) v i V S S = {v i } K(S) S S v i V = K(S) S S = ω(g) S, nach Definition von K(S). Da nach Konstruktion von H in jeder Clique von H höchstens eine Kopie eines Knoten sein kann, ist ω(h) ω(g). Weiter gilt: da T K(S) 1 und S K(S) = 0. α(h) = max { h i } T S x i T = max { T K(S) } T S S S S 1, Da die Cliquen in einer Cliquenüberdeckung die Größe höchstens ω(h) haben können, und da ω(h) ω(g), folgt V (H) V (H) κ(h) = S. ω(h) ω(g) Somit: im Widerspruch α-perfektheit von H κ(h) S > S 1 α(h), Wir können damit auch kurz einen Graphen perfekt nennen, wenn er α-perfekt oder χ-perfekt ist. Eine andere Formulierung des Satzes 9.2 wäre somit: Korollar 9.3. Ein Graph ist genau dann perfekt, wenn sein Komplement perfekt ist. Im nächsten Abschnitt werden wir spezielle Klassen von perfekten Graphen betrachten. Ihnen allen ist gemein, dass sie weder induzierte ungerade Kreise der Länge mindestens fünf noch wegen der Abgeschlossenheit unter Komplementbildung deren Komplemente enthalten. Berge hat daher bereits 1966 die starke-perfekte-graphen-vermutung aufgestellt, dass diese Eigenschaft perfekte Graphen charakterisiert. Nach vielen vergeblichen Versuchen, diese Vermutung zu beweisen, ist sie im Jahr 2002 bewiesen worden.

4 KAPITEL 9. PERFEKTE GRAPHEN 76 Satz 9.4 (Chudnovsky, Robertson, Seymour und Thomas). Ein Graph G ist genau dann perfekt, wenn weder G noch sein Komplement G einen induzierten ungeraden Kreis der Länge mindestens 5 enthält. Schließlich sei erwähnt, dass für perfekte Graphen polynomielle Verfahren existieren, um eine minimale Färbung oder Knotenüberdeckung bzw eine maximale Clique oder stabile Menge zu bestimmen. Die Algorithmen beruhen jedoch auf Methoden, die den Rahmen einer Vorlesung über Graphentheorie sprengen. Für spezielle Klassen von perfekten Graphen, von denen wir drei im folgenden Abschnitt einführen, gibt es dagegen einfache Verfahren, um die genannten Probleme optimal zu lösen. 9.2 Klassen perfekter Graphen Im folgenden geben wir einige Beispiele von Klassen perfekter Graphen an. Wir beweisen jeweils, dass sie perfekt sind, gehen jedoch nicht darauf ein, dass es für sie jeweils Verfahren gibt, die die im Allgemeinen N P-vollständigen Probleme wie die Bestimmung einer minimalen Färbung oder einer maximalen Clique effizient lösen Bipartite Graphen und Kantengraphen von bipartiten Graphen Für jeden bipartiten Graphen G mit mindestens einer Kante gilt offensichtlich χ(g) = 2 und ω(g) = 2. Da induzierte Teilgraphen von bipartiten Graphen wiederum bipartit sind, sind bipartite Graphen perfekt. Unabhängige Mengen in einem Kantengraph L(G) entsprechen einem Matching in G. Eine Clique in L(G) entspricht einer Menge von Kanten in G, die entweder einen K 3 bilden oder einen gemeinsamen Endknoten haben. Da nach dem Satz 7.3 von König und Egerváry in bipartiten Graphen die Kardinalität eines maximalen Matchings gleich der Kardinalität einer minimalen Knotenüberdeckung ist, folgt für die Kantengraphen eines bipartiten Graphen G κ(l(g)) = α(l(g)). Da wiederum Kantengraphen bipartiter Graphen abgeschlossen unter induzierten Teilgraphen sind, sind auch Kantengraphen bipartiter Graphen perfekt Intervallgraphen Eine Menge T 1,..., T n von abgeschlossenen Intervallen des R definiert einen Graphen auf n Knoten v 1,..., v n mittels (v i, v j ) E T i T j. Um an unser einführendes Beispiel anzuknüpfen: wenn wir Räume für Prüfungen reservieren müssen, die jeweils in einem Intervall T i stattfinden, so bestimmt eine minimale Färbung des Intervallgraphen eine minimale Anzahl von Räumen, die wir reservieren müssen. Wir werden im nächsten Abschnitt sehen, dass Intervallgraphen perfekt sind Chordale Graphen Sei C = {v 1,..., v k } ein Kreis in einem Graphen G = (V, E). Eine Kante heißt Sehne (engl.: chord), falls sie zwei Knoten des Kreises miteinander verbindet, die im Kreis nicht benachbart

5 KAPITEL 9. PERFEKTE GRAPHEN 77 sind. Ein Graph heißt chordal oder trianguliert, falls jeder Kreis der Größe mindestens 4 eine Sehne hat. Lemma 9.5. Intervallgraphen sind chordal. Beweis: Sei G ein Intervallgraph, v 1,..., v k ein sehnenfreier Kreis in G mit k > 3 und T i die zu den Knoten gehörenden Intervalle. Da sich die Intervalle benachbarter Knoten schneiden, können wir für 1 i k 1 Punkte p i T i T i+1 wählen. Sei p i < p i+1. Dann ist [p i, p i+1 ] I i+1. Wäre p i+2 < p i+1, so wäre p i+2 I i+1 I i+3 und (v i+1, v i+3 ) eine Sehne. Somit bilden die p i s eine strikt steigende oder strikt fallende Folge. Dann können sich aber T 1 und T k nicht schneiden. Chordale Graphen lassen sich ebenfalls über Schnitte geeigneter Objekte definieren: zu jedem chordalen Graph existiert ein Baum, so dass die Knoten des Graphen einer Menge von Teilbäumen des Baumes entsprechen, die sich genau dann schneiden, wenn die entsprechenden Knoten im Graphen benachbart sind. Chordale Graphen lassen sich einfach dekomponieren. Dazu heiße ein Knoten v eines Graphen simplizial, wenn seine Nachbarn N(v) eine Clique bilden. Lemma 9.6. Ein chordaler Graph hat mindestens zwei simpliziale Knoten. Beweis: Es reicht, die Aussage für zusammenhängende Graphen G zu zeigen. Seien u und v zwei Knoten in G maximaler Distanz. Angenommen u hat Nachbarn, die nicht untereinander benachbart sind. Sei w ein Nachbar von u. Da dist(w, v) dist(u, v), existiert ein kürzester (w, v)-weg, der nicht über u führt. Daher gibt es zwischen je zwei Nachbarn von u einen Weg in G u. Wähle w 1, w 2 N(u) mit (w 1, w 2 ) / E, für die dist(w 1, w 2 ) in G u minimal ist. Dann bildet ein kürzester (w 1, w 2 )-Weg zusammen mit u einen Kreis ohne Sehne. Satz 9.7. Chordale Graphen sind perfekt. Beweis: Sei G ein chordaler Graph. Da induzierte Teilgraphen von chordalen Graphen chordal sind, können wir per Induktion annehmen, daß für jeden echten Teilgraphen H bereits ω(h) = χ(h) gilt. Sei v ein simplizialer Knoten von G. Dann ist offensichtlich N(v) ω(g v). Per Induktion können wir G v mit ω(g v) Farben färben. Ist N(v) < ω(g v), so haben wir eine dieser Farben frei, um v zu färben. Ist N(v) = ω(g v), so folgt ω(g) = ω(g v) + 1 und wir färben v mit einer neuen Farbe. Damit ist G α-perfekt und nach Satz 9.2 perfekt Komparabilitätsgraphen Sei V eine Grundmenge und R X V eine binäre Relation auf V. R heißt Halbordnung, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind: 1. Reflexivität (v, v) R für alle v V, 2. Transitivität für alle u, v, w V gilt: sind (u, v) R und (v, w) R, dann auch (u, w) R,

6 KAPITEL 9. PERFEKTE GRAPHEN Antisymmetrie für alle u, v V gilt: sind (u, v) R und (v, u) R, so ist u = v. Die Grundmenge mit einer Halbordnung wird auch als halbgeordnete Menge oder Poset bezeichnet. Oft wird R auch durch das Zeichen ausgedrückt mit u v, falls (u, v) R und u < v, falls u v und u v. Einer halbgeordneten Menge lßst sich in natürlicher Weise ein Graphen G R = (V, E) zuordnen mittels (u, v) E, falls u v und (u, v) R oder (v, u) R. Ein Graph G heißt Komparabilitätsgraph, falls es eine Halbordnung R gibt, so dass G = G R. Der Beweis, dass Komparabilitätsgraphen perfekt sind, geht auf ein altes Resultat über Halbordnungen zurück. Dazu nennen wir eine Teilmenge K V Kette, falls je zwei Elemente von K in Relation stehen. Umgekehrt heißt eine Teilmenge A V Antikette, falls keine zwei Elemente von A in Relation stehen. In jeder Kette K = {u 1,... u r } gibt es ein Element u 1, so dass u 1 < u i für i = 2,..., r. Per Induktion lässt sich K damit vollständig anordnen, d.h. es gilt u 1 < u 2 <... < u r. Wir sagen dann, dass K die Länge l(k) = r hat und in v 1 beginnt und in v r endet. Es gilt folgende Dualitätsaussage: Satz 9.8. Die maximale Länge einer Kette ist gleich der minimalen Anzahl disjunkter Antiketten, in die V zerlegt werden kann. Beweis: Für die Zerlegung einer Kette K werden sicherlich l(k) Antiketten benötigt, so dass keine Kette länger sein kann als die Anzahl der Antiketten in einer Anitketten-Zerlegung. Zum Beweis der Umkehrung ordnen wir jedem Element v V eine Höhe h(v) zu, wobei wir h(v) als die maximale Länge einer Kette wählen, die in v endet. Offensichtlich bilden Knoten mit gleicher Höhe eine Antikette. Wir erhalten somit eine Zerlegung in k Antiketten, wobei k = max v V h(v) = max{l(k) : K Kette in V }. Ketten und Antiketten einer Halbordnung entsprechen den Cliquen und stabilen Mengen des Komparabilitätsgraphen. Da induzierte Teilgraphen von Komparabilitätsgraphen wiederum Komparabilitätsgraphen sind, besagt Satz 9.8, dass Komparabilitätsgraphen χ-perfekt sind. Zusammen mit Satz 9.2 ergibt sich die folgende Aussage. Satz 9.9 (Dilworth). Die minimale Anzahl von Ketten, in die V zerlegt werden kann, ist gleich der maximalen Größe einer Antikette.