8.5 Symmetrische Polynome, Diskriminate und Resultante

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1 Symmetrische Polynome, Diskriminate und Resultante Ein weiteres Verfahren zur Feststellung, ob mehrfache Wurzeln vorliegen, ist die Betrachtung der Diskriminante, deren Einführung jetzt vorbereitet werden soll Dazu sei 0 R ein kommutativer Ring mit Definition (symmetrische Polynome) Die symmetrische Gruppe S n operiert kanonisch auf dem Polynomring R[x 0,, x n 1 ]: S n R[x 0,, x n 1 ] R[x 0,, x n 1 ], (π, f) f(x π0,, x π(n 1) ) Die Invarianten dieser Operation, also die Polynome f mit π S n : πf = f heißen symmetrische Polynome 852 Beispiele Die elementarsymmetrischen Polynome: Diese sind die Bahnensummen der Polynome x 0 x i, i n: 1 := x x n 1, 2 := x 0 x x 0 x n 1 + x 1 x x n 2 x n 1, n := x 0 x 1 x n 1 Schließlich setzen wir noch 0 := 1 Für diese Polynome schreiben wir auch kurz σ 0, σ 1,, σ n, falls n feststeht Die symmetrischen Potenzsummen: Das sind die Bahnensummen der Polynome x i 0: 1 := x x n 1, 2 := x x 2 n 1, i := x i x i n 1, Diese Polynome kürzen wir auch mit s 1, s 2,, s i ab Es gibt weitere Serien symmetrischer Polynome, die von Interesse sind (vgl Übungsblatt)

2 85 SYMMETRISCHE POLYNOME, DISKRIMINATE UND RESULTANTE Hilfssatz Sei f = n 0 a ix i R[x] und R ein Teilring von R mit f = n 1 0 (x ρ i ), ρ i R Dann gilt, wenn Σ i die Polynomfunktion zu σ i bezeichnet und Σ (n) 0 := 1: n f = ( 1) i x n i Σ (n) i (ρ 0,, ρ n 1 ), dh die Koeffizienten von f sind symmetrische Funktionen in den Wurzeln Zum Beweis braucht man (x ρ i ) nur auszumultiplizieren 854 Folgerung Sind λ 0,, λ n 1 die Wurzeln von f = n a ix i in einem Zerfällungskörper L : K, dann gilt für die Werte der elementarsymmetrischen Funktionen Σ (n) i auf den Wurzeln von f: Σ (n) i (λ 0,, λ n 1 ) K 855 Der Hauptsatz über symmetrische Polynome Zu jedem symmetrischen Polynom f R[x 0,, x n 1 ] gibt es genau ein g R[x 0,, x n 1 ] mit f = g( 1,, σ n (n) ) Der Beweis verläuft konstruktiv: i) Wir betrachten die Gewichte α := (α 0,, α n 1 ) der monomialen Summanden ax α := ax α0 0 xαn 1 von f = + axα + Sie können lexikographisch angeordnet werden: α β : die erste nicht verschwindende Differenz α i β i ist größer als 0 ii) Ist α das lexikographisch maximale, in f auftretende Gewicht, und damit f = ax α +, mit a 0, dann gilt wegen der Symmetrie von f, daß α 0 α 1 α n 1 Wir können demnach die folgende Differenz bilden: f 1 := f a σ α0 α1 1 σ α1 α2 2 σ αn 1 n = bx β + cx γ + Hierbei gilt β, γ, < α Ist β jetzt das lexikographisch maximale, in f 1 auftretende Gewicht, dann bilden wir analog die Differenz f 2 := f 1 b σ β0 β1 1 σ β1 β2 2 σ βn 1 n = dx δ + ex ɛ + Hierbei gilt entsprechend δ, ɛ, < β iii) Nach endlich vielen Schritten erhalten wir als Differenz das Nullpolynom, was die behauptete Existenz eines Polynoms g mit f = g( 1,, σ n (n) ) beweist, die Eindeutigkeit erhalten wir aus 858

3 Beispiel 2(x x x 3 2) 3(x 2 0x 1 + x 2 0x 2 + x 0 x x 0 x x 2 1x 2 + x 1 x 2 2) = 2σ σ 3 9σ 1 σ Definition (algebraisch unabhängig) Ist R R, dann heißen Elemente ρ 0,, ρ n 1 R algebraisch unabhängig über R, wenn für alle f R[x 0,, x n 1 ] und für die entsprechenden Polynomfunktionen gilt: F (ρ 0,, ρ n 1 ) Satz Die elementarsymmetrischen Polynome σ i sind algebraisch unabhängig Beweis: Sei f R[x 0,, x n 1 ] Wir betrachten dazu die lexikographisch größte Exponentenfolge α, für die f einen monomialen Summanden rx α0 α1 0 x α1 α2 1 x αn 1 n 1 enthält Diesem entspricht in F (σ 1,, σ n ) der Summand rx α, also gerade das Monom mit der lexikographisch größten Exponentenfolge Es kann sich also nicht wegheben, so daß F (σ 1,, σ n ) 0 folgt Mit 854 ergibt sich 859 Folgerung Ist g K[x 0,, x n 1 ] symmetrisch und hat f K[x] vom Grad n die Wurzeln λ 0,, λ n 1 in einem Zerfällungskörper L : K, dann gilt G(λ 0,, λ n 1 ) K 8510 Definition (Diskriminante) Sei f K[x] vom Grad n 2, und im Zerfällungskörper L : K gelte f = κ (x λ i ) Dann heißt D(f) := κ 2n 2 (λ i λ j ) 2 0 i<j n 1 die Diskriminante von f Die Diskriminante ist also ein Vielfaches des Quadrats der Vandermondeschen Determinante der Wurzeln des Polynoms und damit symmetrisch Hiermit und nach 859 gilt 8511 Folgerung Für die Diskriminante von f K[x] gilt D(f) K, und f hat genau dann mehrfache Wurzeln, wenn seine Diskriminante verschwindet: D(f) = 0

4 85 SYMMETRISCHE POLYNOME, DISKRIMINATE UND RESULTANTE335 Es bleibt deshalb nur noch eine Berechnungsmethode für D(f) anzugeben 8512 Definition (Sylvester-Matrix) Zu zwei Polynomen f = n 0 a ix i und g = m 0 b jx j in K[x], vom Grand n bzw m, bezeichnet man folgendes Matrix aus deren Koeffizienten auch als die Sylvester-Matrix,Resultante dieser beiden Polynome: a n a n 1 a a n a 1 a 0 0 S(f, g) := 0 0 a 0 b m b m b m b 0 (m erste Zeilen aus den a i wie angegeben, danach n Zeilen aus den b j ) Ihre Determinante heißt die Resultante von f und g, Res(f, g) := det(s(f, g)) 8513 Satz Die Resultante Res(f, g) von f, g K[x] ist genau dann gleich Null, wenn f und g in K[x] einen nicht konstanten Faktor gemeinsam haben Beweis: i) Nehmen wir an, die beiden Polynome besitzen einen nicht konstanten gemeinsamen Faktor h: f = f 1 h, g = g 1 h, mit n 1 f 1 = ( c i )x i, g 1 = m 1 d i x i Wir betrachten die Differenz fg 1 gf 1 = f 1 hg 1 g 1 hf 1 = 0 Sie ergibt ein lineares Gleichungssystem für die Koeffizienten d i und c j mit der Transponierten der Sylvestermatrix S(f, g) als Koeffizientenmatrix Da es nichttriviale Lösungen gibt, muß die Determinante der Koeffizientenmatrix, also auch die Resultante, verschwinden ii) Ist umgekehrt Res(f, g) = 0, dann gibt es nicht triviale Lösungen obigen Gleichungssystems, also Polynome f 1, g 1 mit fg 1 = gf 1 Wegen fg 1 = gf 1 und Grad(f 1 ) Grad(f) muß also mindestens ein unzerlegbarer Faktor von f in g aufgehen 8514 Folgerung Haben f, g K[x] in L : K eine gemeinsame Wurzel λ, dann gilt Res(f, g) = 0 Umgekehrt impliziert Res(f, g) = 0, daß f und g in einer geeigneten Erweiterung L : K eine Wurzel gemeinsam haben

5 336 Darüberhinaus läßt sich beweisen (Übungsblatt), daß die Resultante sich auch in den Wurzeln λ i von f und µ j von g angeben läßt: 8515 Res(f, g) = a m n b n m n,m i,j=1 (λ i µ j ) Der Zusammenhang zwischen Diskriminante und Resultante wird von der folgenden Gleichung beschrieben: 8516 a n D(f) = ±Res(f, f )

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