Vorkurs Informatik WiSe 15/16

Transkript

1 Konzepte der Informatik Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe, Technische Universität Braunschweig, IPS

2 Inhaltsverzeichnis Schilda-Rallye Was steckt dahinter? Darstellung von Graphen Zusammenfassung Datenstrukturen Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 2

3 Überblick Schilda-Rallye Was steckt dahinter? Darstellung von Graphen Zusammenfassung Datenstrukturen Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 3

4 Schilda-Rallye Stadtplan Der Stadtrat hat vor kurzem beschlossen, alle Straßen zu Einbahnstraßen zu machen Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 4

5 Schilda-Rallye Problemstellung Die Fahrzeuge von Schilda-Taxi warten auf den Hotels Adler und Gozo sowie auf dem Parkplatz der Pension Kapitol: Aufgrund der neuen Verkehrsführung benötigen die Fahrer einen Plan, wie sie auf dem kürzesten Weg von ihrem Standort zu allen anderen Hotels kommen. Eine Entfernungstabelle ist auch zur Berechnung der neuen Tarife notwendig Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 5

6 Schilda-Rallye Markierung der Kreuzungen

7 Schilda-Rallye Abstrakte Stadtplan

8 Schilda-Rallye Erste Schritt

9 Schilda-Rallye Fortsetzung (1)

10 Schilda-Rallye Fortsetzung (2)

11 Schilda-Rallye Fortsetzung (3)

12 Schilda-Rallye Fortsetzung (4)

13 Schilda-Rallye Fortsetzung (5)

14 Schilda-Rallye Fortsetzung (6)

15 Schilda-Rallye Fortsetzung (7)

16 Schilda-Rallye Fortsetzung (8)

17 Schilda-Rallye Fortsetzung (9)

18 Schilda-Rallye Fortsetzung (10)

19 Schilda-Rallye Fortsetzung (11)

20 Schilda-Rallye Fortsetzung (12)

21 Schilda-Rallye Fortsetzung (13)

22 Schilda-Rallye Fortsetzung (14)

23 Schilda-Rallye Fortsetzung (16)

24 Schilda-Rallye Fortsetzung (17)

25 Schilda-Rallye Fortsetzung (18)

26 Schilda-Rallye Fortsetzung (19)

27 Schilda-Rallye Fortsetzung (20)

28 Schilda-Rallye Fortsetzung (21)

29 Schilda-Rallye Fortsetzung (22)

30 Schilda-Rallye Ende

31 Schilda-Rallye Entfernungstabelle Hotel Entfernung (km) Adler 0,0 Bogart 11,5 Club 9,7 Doge 8,1 Emilio 3,7 Fromm 6,5 Gozo 6,2 Holunder 7,6 Iliona 11,4 Jorge 9,8 Kapitol 10,7 Lundt 7, Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 31

32 Überblick Schilda-Rallye Was steckt dahinter? Darstellung von Graphen Zusammenfassung Datenstrukturen Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 32

33 Was steckt dahinter? Einleitung Die besprochenen Probleme gehören in das Umfeld der so genannten Graphenalgorithmen. Ein Graph besteht hierbei aus einer Menge von Knoten und einer Menge von Kanten, die zwischen den Knoten verlaufen. Die Knoten (Vertices) werden oft als Kreise und die Kanten (Edges) als Linien oder Pfeile dazwischen dargestellt. Man unterscheidet ungerichtete Graphen (ohne Pfeil), bei denen die Verbindung zweier Konten in beide Richtungen geht und gerichtete Graphen (mit Pfeil). Wozu ist aber ein Graph gut? Wie andere Modelle in der Informatik kann er ein Ausschnitt der Wirklichkeit modellieren, um diese einfacher zu verstehen und zu analysieren Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 33

34 Was steckt dahinter? Anforderungen an Algorithmen Aufgrund der vielfältigen Anwendungen gibt es auch eine Menge von Algorithmen auf Graphen. Der Dijkstra-Algorithmus ist hier ein sehr bekannter Vertreter. Was zeichnet einen guten Algorithmus aus? Er muss zuerst einmal die gestellte Aufgabe lösen. Wichtiges Kriterium ist außerdem, dass dieser die Aufgabe möglichst schnell löst und auch bei großen Problemen nicht in die Knie geht Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 34

35 Was steckt dahinter? Berechnung des Zeitbedarfs Wir betrachten wie stark der Zeitbedarf mit der Problemgröße ansteigt. Am Beispiel der Landkarte kann dies sehr gut demonstriert werden. Eine Problemgröße ist zum Beispiel die Anzahl der Städte auf der Landkarte. Betrachten wir jetzt noch einmal den Brute-Force-Ansatz zur Bestimmung des kürzesten Weges: Bestimme alle möglichen Wege vom Start zum Ziel und suche davon den kürzesten Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 35

36 Was steckt dahinter? Brute-Force-Methode Im schlechtesten Fall müssen also alle von einem Punkt ausgehenden Wege bestimmt werden. Außerdem sind im schlechtesten Fall alle Knoten mit allen anderen Knoten verbunden (vollständiger Graph). Für drei Knoten ist es noch kein Problem, die Anzahl möglicher Wege vom Startpunkt S aus zu bestimmen Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 36

37 Was steckt dahinter? Brute-Force-Methode Mit jedem zusätzlichen Knoten steigt die Anzahl der möglichen Wege stark an. Zeichnerisch die Lösung zu bestimmen ist dann nicht mehr praktikabel. Man kann die Anzahl der Knoten auch rechnerisch bestimmen. Für den Graphen mit vier Knoten gilt, dass man ihn aus zwei Komponenten zusammensetzen kann: ein einzelner Knoten S plus ein Graph mit drei Knoten. Da der bekannte Graph drei Knoten besitzt, kann vom neuen Knoten S auf drei Arten ein Weg zum bekannten Graphen begonnen werden Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 37

38 Was steckt dahinter? Brute-Force-Methode Im 3er Graphen wird dann auf die bereits ermittelte Weise ein Weg gesucht. Daher ist die Anzahl möglicher Wege im 4er-Graphen 3 2 = 6. Für einen 5er-Graphen gibt es vier Möglichkeiten, Wege vom neuen Knoten zum 4er-Graphen zu beginnen. Die Anzahl der Wege beträgt daher 4 6 = 24. Auf diese Weise kann man ableiten, dass in einem vollständigen Graphen mit n Knoten (n 1)! verschiedene Wege von einem gesetzten Startpunkt ausgehen. Da für jeden der Wege n 1 Streckenabschnitte eingerechnet werden müssen, bedarf es für die Brute-Force-Methode ungefähr (n 1)(n 1)! Berechnungen, um den kürzesten Weg zu finden Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 38

39 Was steckt dahinter? Brute-Force-Methode # Knoten Schritte Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 39

40 Was steckt dahinter? Brute-Force-Methode Für 100 Knoten sind im schlimmsten Fall bereits Berechnungen nötig. Wenn auch nur alle Gemeinden Deutschlands als Knoten in die Suche einbezogen werden, sind 9, Berechnungen nötig Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 40

41 Überblick Schilda-Rallye Was steckt dahinter? Darstellung von Graphen Zusammenfassung Datenstrukturen Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 41

42 Darstellung von Graphen Überlegung Computer kennt keine graphische Darstellung Insbesondere keine Kanten und Knoten Abstraktion notwendig Überführung der graphischen Darstellung in eine Datenstruktur Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 42

43 Darstellung von Graphen Adjazenzmatrix Idee für ungerichtete Graphen: Sei n die Anzahl der Knoten. Benutze eine n n Matrix. Wenn eine Kante zwischen Knoten a und b existiert, dann trage in Zeile a und Spalte b eine 1 ein, andernfalls eine 0. Verfahre ebenso mit Zeile b und Spalte a Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 43

44 Darstellung von Graphen Adjazenzmatrix Beispiel für ungerichteten Graphen mit Gewichten: Symmetrie bleibt erhalten. Anstelle von einer 1 trage das Kantengewicht ein Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 44

45 Darstellung von Graphen Adjazenzmatrix Beispiel für gerichteten Graphen mit Gewichten: Keine Symmetrie mehr Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 45

46 Darstellung von Graphen Adjazenzmatrix Anstatt einer Matrix wird eine verkettete Liste benutzt. Besonders geeignet für gerichtete Graphen Die Basisstruktur bildet die Liste aller Knoten. Für jeden Knoten wird eine Liste der Nachfolger entlang gerichteter Kanten abgespeichert Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 46

47 Darstellung von Graphen Inzidenzmatrix Anstatt Verbindungen von Knoten zu Knoten darzustellen, wird hier die Nachbarschaft der Kanten zu den Knoten dargestellt. Jede Spalte enthält 2 von Null verschiedene Einträge e1 e2 e3 e4 e5 e6 e Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 47

48 Überblick Schilda-Rallye Was steckt dahinter? Darstellung von Graphen Zusammenfassung Datenstrukturen Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 48

49 Zusammenfassung Datenstrukturen Listen Array s (zusammenhängender Speicher) (doppelt) Verkettete Listen Stapel Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 49

50 Zusammenfassung Datenstrukturen Graphen Bäume Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 50

51 Zusammenfassung Graphentheorie Brute-Force-Methode vs. Greedy-Algorithmen Darstellung von Graphen Datenstrukturen (Zusammenfassung) Morgen: Nur Programmieren Donnerstag: Codierungen Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 51

52 Danke Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit! Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 52