Multiple Regression (1) - Einführung I -

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1 Multple Regreo Eführug I Mt eem Korrelatokoeffzete ud der efache leare Regreo köe ur varate Zuammehäge zwche zwe Varale uterucht werde. Beutzt ma tatt dee mehrere Varale zur Vorherage, egt ma ch auf da Geet der multvarate Aale. Im Folgede werde de Grudprzpe der multple Regreo dargetellt. De multple Regreo erlaut e, Kaualmodelle zu uteruche, mt dee ch folgede Frage eatworte lae: We gut agt e Satz vo mehrere uahägge Varale gemeam ee ahägge Varale vorher? We ehr ka ee etmmte Varale de Vorherage eer ahägge Varale och vereer, we zuglech adere Varale zur Vorherage eutzt werde? We groß t der Effekt eer Varale auf ee ahägge Varale, we der Zuammehag deer Varale mt adere uahägge Varale de Modell erückchtgt wrd? Eget ch ee etmmte Varale auch da zur Vorherage vo, we ee Rehe vo Eflüe, de Alteratverkläruge ee Rolle pele, tattch kotrollert wrd? Multple Regreo Eführug II Be der multple Regreo ket ma de Aupräguggrad mehrerer Varale X ud möchte de Aupräguggrad eer Varale vorherage. De Varale, de vorhergeagt werde oll AV, wrd al da Krterum ezechet. De Varale aufgrud derer vorhergeagt wrd UV, werde al Prädktore ezechet. Bepele: Lae ch Gewaltetelluge au erfahreer Eltergewalt der Kdhet, dem Blduggrad ud dem Mgratetatu 3 vorherage? De Rückfallgechwdgket oll au der Strafhärte, der Berufauldug de Straftäter ud eer Drogeahäggket 3 vorhergeagt werde. Ee multple leare Regreoaale t ur da voll, we de Prädktore X mt dem Krterum korrelert d. E oll dejege Learkomato gefude werde, de de multple Zuammehag zwche X ud optmal echret.

2 Multple Regreo 3 Eführug III Da kozeptuelle Modell zur Vorherage eer ahägge Varale durch zwe uahägge Varale X t ma eachte de Korrelato zwche X ud X!: X X De mathematche Fukto zur Vorherage t ee Glechug, der de Werte der XVarale zur Schätzug der Werte lear komert werde: Werte der Varale X ud X für de der Wert gechätzt wrd gechätzter Wert der Varale ˆ a + + gechätzter Wert der Varale we X ud X 0 d addtve Kotate oder tercept Regreokoeffzete ud lope der Eee zur Vorherage vo Multple Regreo 4 Eführug IV De Koeffzete ud d Gewchtzahle. Se gee a, mt welchem Gewcht der jewelge Prädktor de Vorherage egeht. Darau ergt ch ee Learkomato de ee gewchtete Summe der XVarale dartellt. De Regreogewchte werde e eer Regreo ach dem Krterum der klete Quadrate OLSregreo o gechätzt, da ch mt der Learkomato der Prädktore de höchte Korrelato zwche de gechätzte ud de eoachtete Werte ergt. Im Fall vo zwe uahägge Varale lege de vorhergeagte Werte auf eer Eee, de durch de Regreokoeffzete ud owe de Kotate a echree wrd. Im allgemee Fall vo p uahägge Varale ergee ch de Regreokoeffzete p. De vorhergeagte Werte lege da eem pdmeoale Raum.

3 Multple Regreo 5 Eführug V Regreoeee mt de Steguge ud ud addtver Kotater a: ŷ a + + X a 0 X Mutple Regreo 6 Eführug VI Vorherage ee Werte ahad der Regreoeee:,, e ŷ a + + ŷ X X 3

4 4 Multple Regreo 7 Eführug VII Owohl auch her we m Fall der efache Regreo mt ur eer uahägge Varale de Regreokoeffzete ud de Kotate o gewählt werde, da de Vorheragefehler mmal d, werde cht alle emprche Werte auf deer Eee lege. We m Fall eer efache Regreo t der Schätzfehler de Dtaz zwche dem gechätzte Wert ud dem tatächlche Wert de Wert her de Trpel,, : E De mttel der Regreoglechug mmerte Schätzfehlervaraz erechet ch we e der efache leare Regreo al da arthmetche Mttel der quadrerte Redue zw. der quadrerte Awechuge der gechätzte vo de eoachtete Werte: m N e Fehler Multple Regreo 8 Eführug VIII De Glechuge, um m Fall vo zwe uahägge Varale de Koeffzete a, ud au de Rohwerte zu ereche, d komple ud werde e mehr al zwe Prädktore och kompleer *: D.h., zuert werde de Regreogewchte ud da a etmmt. [ ] [ ] [ ] [ ] ø ö ç è æ [ ] [ ] [ ] [ ] ø ö ç è æ a X X X * I Matrchrewee let de Formel uahägg vo der Azahl der Prädktore glech efach:

5 Multple Regreo 9 Eführug IX We ma für de Berechug der Regreogewchte vo ztadarderte Werte augeht, verefache ch de Formel dratch. E ergee ch chleßlch Formel, für de ur och de Korrelatoe aller etelgter Varale owe dere Stadardawechuge eötgt werde. Ma erhält allerdg here zuächt cht de utadarderte Regreogewchte oder de maßtauahägge tadarderte Regreogewchte β, de achleßed mt Hlfe der Stadardawechuge der Varale de utadarderte Regreogewchte umgewadelt werde köe: r r r r r r r r Währed de Formel zur Umwadlug vo tadarderte utadarderte Regreogewchte allgemegültg d, gelte de Formel für β ud β ur für de Fall vo zwe uahägge Varale. De Formel für mehr al zwe uahägge Varale d üerchtlch ur Matrchrewee dartellar de Berechug ollte ma Computerprogramme üerlae. Multple Regreo 0 Utadarderte ud tadarderte Regreogewchte De utadarderte Regreogewchte eer multple Regreo d maßtaahägg. Multplzert ma e mt dem Verhält der Stadardawechuge der jewelge UV ud der AV, ergee ch tadarderte Regreogewchte β: Sd de Varaze aller Varale glech wa auch e zstadarderug aller Varale der Fall t, t mmer glech β. De tadarderte Regreokoeffzete etpreche ur da der Korrelato zwche UV ud AV, we Korrelatoe zwche de uahägge Varale Null d oder we da Regreomodell ur ee UV ethält. 5

6 Multple Regreo Regreokoeffzete al Partalregreogewchte Im multple Regreomodell zegt de Eflu de vo eregte Atel vo auf de durch cht vorhergeagte Atel vo : Reduum eregt um X X X Reduum X eregt um X Aaloge glt für : der Koeffzet zegt de Eflu de vo eregte Atel vo auf de durch cht vorhergeagte Atel vo. De Regreogewchte werde Ahäggket aller UV m Modell gechätzt, d.h. e telle de Nettoeffekte uter Aupartalerug der Effekte aller ürge UV dar. Se köe dehal ur m Kotet de jewelge Modell terpretert werde. We da Modell ur leare Terme ethält, köe de tadarderte Regreogewchte β eutzt werde, um de relatve Eflu eer Varale uter tattcher Kotrolle aller ürge UV de Modell zu eurtele. Stadarderte Regreogewchte ege ch cht, um Effekte Modelle für verchedee Stchproe zu vergleche. Multple Regreo Multple Korrelato ud Determatokoeffzet De Korrelato der durch de multple Regreoglechug vorhergeagte Werte mt de eoachtete Werte wrd durch de multple Korrelatokoeffzete R erfat: r r R R t mmer potv ud mmt Werte zwche 0 ud a. Der multple Determatokoeffzet R² gt a, welcher Atel der Varaz der ahägge Varale aufgrud der Regreoglechug d.h. der gemeame Berückchtgug aller UV vorhergeagt zw. erklärt werde ka: ˆ r R Ahad de multple Determatokoeffzete R² ka der Stadardchätzfehler al Maß der durchchttlche Awechug der eoachtete Werte vo de vorhergeagte Werte erechet werde: fehler R 6

7 Multple Regreo 3 Erklärte Varaze De verchedee Atele der erklärte Varaze eem multple Regreomodell lät ch ahad ee VeDagramm verachaulche. Dae wrd vo ztadarderte Varale augegage d.h. de Varaz jeder Varale t : E r A + C A C B r B + C X X R. A + B + C Ma eachte, da de Fläche C cht al der Tel der Varaz vo terpretert werde darf, der vo X ud X gemeam oder redudat gechätzt wrd! E t durchau möglch, da C ee egatve Wert ammt, Varaze köe jedoch emal egatv e. Multple Regreo 4 Bepel Wrtz & Nachtgall, 00, S. 768 Regreoglechug: Fte Gewcht Lugevolume Modell: Gewcht.5 R² Fte Lugevolume tadarderte Regreokoeffzete 7