Übungen für Woche 10
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- Gottlob Gerhardt
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1 Übungen für Woche 10 Martin Rubey 12. Januar 2011 Die folgenden Übungen sollen den Umgang mit Backtracking und kombinatorischen Spezies näherbringen. Genaue Hinweise gibt es erst auf Seite 5. Zur Erinnerung: in Sage kann man Backtracking wie folgt nutzen: I = TransitiveIdeal(f, [x1,x2,x3]); [i for i in I] Dabei ist f die Nachfolgerfunktion, die für ein gegebenes Element eine Liste von Nachfolgern produziert, und [x1,x2,x3] sind die Wurzeln, bei denen Backtracking gestartet wird. In den folgenden Aufgaben wird die Wurzel immer ein einzelnes Element sein, und zwar die leere Menge. 1. Erzeuge mittels Backtracking alle Teilmengen von {0, 1, 2, 3}. Schreibe also eine Funktion all children, sodaß I = TransitiveIdeal(all_children, [Set([])]); [i for i in I] alle 16 Teilmengen liefert. all children(m) soll also die Liste der Teilmengen von {0, 1, 2, 3} liefern, die M und ein weiteres Element enthalten. Backtracking beginnt hier bei einer einzigen Wurzel, nämlich der leeren Menge Set([]). Testfälle: all children(set([])) liefert [{0},{1},{2},{3}] all children(set([0,1,2,3])) liefert [] all children(set([0,2])) liefert [{0,1,2},{0,2,3}] Hinweise: Set([1]) ist die Menge, die nur aus dem Element 1 besteht. Mit + kann man die Vereinigungsmenge von Mengen bilden. 1
2 2. Schreibe eine Variante der Funktion all children namens gcd children, sodaß I = TransitiveIdeal(gcd_children, [Set([])]) [i for i in I] alle Teilmengen von {2, 3,..., 8} liefert, die größten gemeinsamen Teiler ungleich eins haben. gcd children(m) soll also die Liste der Teilmengen von {2, 3,..., 8} liefern, die M und ein weiteres Element enthalten, das nicht teilerfremd zu den Elementen in M ist. Den größten gemeinsamen Teiler einer Menge M erhält man mit gcd(m). Testfälle: gcd children(set([])) liefert [{2},{3},{4},{5},{6},{7},{8}] gcd children(set([3])) liefert [{3,6}] gcd children(set([2,4])) liefert [{2,4,6},{2,4,8}] Bemerkung: dies ist sicherlich nicht der beste Weg die gewünschten Mengen zu erhalten, aber einer, bei dem man nur wenig denken muß. 3. In dieser und der folgenden Aufgabe geht es darum festzustellen, auf wie viele Arten man acht Damen auf einem Schachbrett plazieren kann, sodaß sich die Damen nicht gegenseitig attackieren. Eine Dame können wir dabei als Paar (Zeile, Spalte) codieren. Schreibe eine Funktion attacking queen, sodaß attacking queen(q1, Q2) genau dann true liefert, wenn Q1 und Q2 in der gleichen Zeile, oder Spalte, oder Diagonale, dh. Spalte Zeile, oder Antidiagonale, dh. Spalte + Zeile stehen. Ansonsten soll die Funktion false liefern. 4. Um die Anzahl der möglichen Plazierungen herauszufinden kann man mit dem leeren Schachbrett beginnen, und nach und nach mittels Backtracking nicht-attackierende Damen plazieren. Eine Hilfsfunktion any attacking queen(q, M) soll dabei feststellen, ob eine Dame Q zu 2
3 einer schon bestehenden Menge von Damen M hinzugefügt werden darf oder nicht. Erzeuge dann eine Liste mit allen solchen Plazierungen, und wähle dann die aus, bei denen tatsächlich acht Damen plaziert wurden. (Zur Erinnerung: mit [i for i in I if...] kann man Elemente aus I auswählen. Die Größe einer Menge erhält man mit der Methode cardinality(). 5. Erzeuge mit kombinatorischen Spezies alle syntaktisch korrekten Klammerungen des Products : sage: X = species.singletonspecies() sage: D = species.combinatorialspecies() sage: D.define(...) sage: D.isotypes([1]).list() [1] [1*2] sage: D.isotypes([1,2,3]).list() [1*(2*3), (1*2)*3] sage: D.isotypes([1,2,3,4]).list() [1*(2*(3*4)), 1*((2*3)*4), (1*2)*(3*4), (1*(2*3))*4, ((1*2)*3)*4] Die definierende Gleichung ergibt sich daraus, daß eine Klammerung von mindestens zwei Elementen als Paar ( ) von zwei Klammerungen geschrieben werden kann. Beispielsweise entspricht (1 (2 3)) (4 5) dem Paar, das aus den Klammerungen (1 (2 3)) und (4 5) besteht. Warnung: Wenn Du ein Spezies mit D.define(...) definiert hast, und diese Definition aber nochmal ändern willst, mußt Du zuerst den Wert von D wieder löschen, am einfachsten mit D = species.combinatorialspecies(). Also: sage: D.define(X+D) FEHLERMELDUNG sage: D.define(X+X*D) []!!! das ist das "falsche" Resultat!!! 3
4 sage: D = species.combinatorialspecies() sage: D.define(X+X*D) [1*2]!!! jetzt ist es richtig!!! 4
5 Hinweise zu den Aufgaben: 1. Die Funktion children könnte ungefähr so aussehen: def all_children(m): sei die Liste l zunächst leer für alle e in 0 bis 3: wenn e nicht in der Menge M ist bilde den Nachkommen M + {e} erweitere die Liste l um die Menge M + {e} gib die Liste l zurück 2. ersetze in der vorigen Funktion die Zeile durch wenn e nicht in der Menge M ist wenn e nicht in der Menge M ist und gcd M > 1 4. Hier der Code für die Hilfsfunktion: def any_attacking_queen(q, M): for Q2 in M: if attacking_queen(q, Q2): return true return false 5
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