1 Übungsaufgaben zu Kapitel 1

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1 Übungsaufgaben zu Kapitel. Übungsaufgaben zu Abschnitt... Aufgabe. Untersuchen Sie die nachstehend definierten Folgen ( a k ) k und ( b k ) k auf Konvergenz und bestimmen Sie ggf. den jeweiligen Grenzwert: a) b) a k := bk := ( k k k ) k 2, k 2 + 3k k, ( k r=2 ( + ) ),k 2 ( 3 k r 3 + k)...2 Aufgabe. Sei ( a k ) k eine konvergente Folge von Vektoren des R n. Zeigen Sie, dass dann auch die arithmetischen Mittel bk := k ( a a k ) gegen den Grenzwert lim k a k = a konvergieren...3 Aufgabe. Zeigen Sie die folgenden Ungleichungen für Vektoren im R n : a) n x x x, b) x x 2 n x...4 Aufgabe. Zeigen Sie, dass durch x := max{ x j : j =,...,n}, x R n, eine Norm auf R n definiert ist.

2 ..5 Aufgabe. Es sei f : R n R p, x f( x), eine lineare Abbildung vom R n in den R p. Weiter sei R p eine Norm auf R p. Zeigen Sie: Definiert man für x R n x R n := f( x) R p, so ist R n genau dann eine Norm auf R n, wenn f injektiv ist..2 Übungsaufgaben zu Abschnitt.2.2. Aufgabe. Zeigen Sie: a) Die Vereinigung beliebig vieler offener Teilmengen des R n ist wieder offen. b) Der Durchschnitt endlich vieler abgeschlossener Teilmengen des R n ist wieder abgeschlossen. c) Die Aussage in b) wird falsch, wenn das Wort endlich durch beliebig ersetzt wird..2.2 Aufgabe. Es seien a, b R. Zeigen Sie, dass die folgenden Teilmengen des R 2 abgeschlossen sind: a) M := {(a,b)}, b) M 2 := {(x,y) R 2 : y = a x + b}, c) M 3 := {(x,y) R 2 : x y = a}. 2

3 .3 Übungsaufgaben zu Abschnitt.3.3. Aufgabe. Es seien m, n und k natürliche Zahlen, D R n, E R m und f : D R m, g : E R k Funktionen mit f(d) E. Zeigen Sie: Sind f und g stetig, so ist auch die Komposition g f : D R k, x g f( x) := g(f( x)), eine stetige Funktion..3.2 Aufgabe. Konvergieren die Funktionswerte f(x, y) der durch f(x,y) = x 2 + y 2 x 2 + y 2 + definierten Funktion f : R 2 \ {(0,0)} R für (x,y) (0,0)? Bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert..3.3 Aufgabe. Untersuchen Sie die folgenden Funktionen auf Stetigkeit: a) f : R 2 R f (x,y) := { (x y 2 ) 2 (x ) 2 +(y ), 2 falls (x,y) (,) 0, falls (x,y) = (,) b) f 2 : R 2 R f 2 (x,y) := { (x )2 (cos(y) ), (x ) 2 +y 2 falls (x,y) (,0) 0, falls (x,y) = (,0) c) f 3 : R 2 R f 3 (x,y) := { (x 2y 4) x 2+xy, falls xy 2 2, falls xy = 2 3

4 .3.4 Aufgabe. Untersuchen Sie die folgenden Funktionen auf Stetigkeit: a) f : R 2 R f (x,y) := { y y x, falls x y; 0, falls x = y. b) f 2 : R 2 R f 2 (x,y) := { xy 2 x 2 +y 4, falls (x,y) (0,0) 0, falls (x,y) = (0,0). c) f 3 : R 2 R 2 f 3 (x,y) := { (3y + 2,2x), falls (x,y) (0,0); (2,0), falls (x,y) = (0,0). d) f 4 : R 3 R f 4 (x,y,z) := { x 2 +y 2 +x 2 y 2 x 2 +y 2, falls (x,y,z) R 3, (x,y) (0,0);, falls (x,y,z) R 3, (x,y) = (0, Aufgabe. Welche der folgenden Matrizen ist positiv (semi)definit, indefinit, negativ (semi)definit? ( ) ( ) A =, B =, 0 ( ) ( 5 ) C =, D =

5 .4 Übungsaufgaben zu Abschnitt.4.4. Aufgabe. Vorgegeben sei die Abbildung f : R 2 R, (x,y) f(x,y) := e x2 ( 2 + x 2 + y 2 ). a) Zeigen Sie, dass f (total) differenzierbar ist. b) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangentialebene an den Graphen der Funktion f im Punkt (2,0). c) Bestimmen Sie für alle (x,y) R 2 die Richtungsableitung f v (x,y) = v f(x,y) von f in Richtung des Vektors v := 2 (,). d) Bestimmen Sie im Punkt (x 0,y 0 ) := (,2) die Richtung des steilsten Anstiegs von f, d.h. bestimmen Sie diejenige Richtung v 0 R 2, v 0 2 =, für die gilt: { } f f (,2) = v0 f(,2) = max v 0 v (,2) : v R2, v 2 =..4.2 Aufgabe. Vorgegeben sei die Abbildung f : R 2 R, (x,y) f(x,y) := e x (x 2 + y 2 2 x). a) Bestimmen Sie im Punkt (x 0,y 0 ) = (,2) die Richtungsableitung von f in Richtung des Vektors v 0 := (0, ). a) Bestimmen Sie im Punkt (x 0,y 0 ) := (,2) die Richtung des steilsten Anstiegs von f, d.h. bestimmen Sie diejenige Richtung v R 2, v 2 =, für die gilt: { f f (,2) = v (,2) = max v v (,2) } v R 2, v 2 =..4.3 Aufgabe. Vorgegeben sei die Funktion f : R 2 R, (x,y) f(x,y) := xsin( x + y ). 5

6 a) Ist die Funktion f im Punkt (,0) partiell nach y differenzierbar? Falls ja, geben Sie den Wert der partiellen Ableitung in diesem Punkt an. b) Zeigen Sie, dass f im Punkt (0,0) (total) differenzierbar ist und geben Sie den Gradienten der Funktion in diesem Punkt an..5 Übungsaufgaben zu Abschnitt.5.5. Aufgabe. Bestimmen Sie die Taylorpolynome T ( x;f; a) und T 2 ( x;f; a) zum Entwicklungspunkt a = (2,0) der Abbildung f : R 2 R, (x,y) f(x,y) := e x2 ( 2 + x 2 + y 2 )..6 Übungsaufgaben zu Abschnitt.6.6. Aufgabe. Untersuchen Sie die Funktion f : R 2 R, (x,y) f(x,y) := e x (x 2 + y 2 2 x) auf lokale Extrema (vgl. Aufgabe.4.2)..6.2 Aufgabe. Vorgegeben sei die Funktion f : R 2 R, (x,y) f(x,y) := x y e x y + ( x) 2. a) Bestimmen Sie alle stationären Punkte von f. b) Untersuchen Sie die Funktion f in den stationären Punkten und geben Sie jeweils an, ob ein lokales Maximum, ein lokales Minimum oder ein Sattelpunkt vorliegt. c) Bestimmen Sie die Taylorpolynome T ( x,f, a) und T 2 ( x,f, a) zum Entwicklungspunkt a = ( 2,0). 6

7 .6.3 Aufgabe. Vorgegeben sei die Funktion f : [,] [,] R, (x,y) f(x,y) := cos(x 2 + y 2 ). a) Wie lautet die Gleichung der Tangentialebene im Punkt ( 2, 2 ) an den Graphen von f? b) Bestimmen Sie die stationären Punkte von f im offenen Quadrat (,) (,). c) Geben Sie alle lokalen und globalen Extremstellen der Funktion f auf dem gesamten Definitionsbereich [, ] [, ] an. d) Welches der folgenden sechs Bilder stellt den Graphen von f dar? Bild Bild Bild 3 Bild 4 7

8 Bild 5 Bild 6.7 Übungsaufgaben zu Abschnitt.7.7. Aufgabe. Gegeben seien die Abbildungen f : R 3 R 3, (r,ϑ,ϕ) f(r,ϑ,ϕ) := (r sin ϑ cos ϕ,r sin ϑ sin ϕ,r cos ϑ). und g : R 3 R, (y,y 2,y 3 ) g(y,y 2,y 3 ) := ( 2 y2 + 2 y2 2 + ) 2 y2 3.. Bestimmen Sie die jeweiligen Jacobi-Matrizen J f (r,ϑ,ϕ) und J g (y,y 2,y 3 ) der Abbildungen f und g. 2. Berechnen Sie mit Hilfe der allgemeinen Kettenregel die Ableitung der Komposition (Hintereinanderausführung) g f : R 3 R, (r,ϑ,ϕ) (g f)(r,ϑ,ϕ) = g(f(r,ϑ,ϕ)) der Funktionen g und f. 8

9 .8 Übungsaufgaben zu Abschnitt.8.8. Aufgabe. Vorgegeben sei die Funktion g : R 3 R, (x,y,z) g(x,y,z) := x + y + 2z cos(x + y + z ). a) Zeigen Sie, dass es eine Umgebung U = U((,0)) des Punktes (,0) und eine differenzierbare Funktion z : U R, (x,y) z(x,y) gibt, so dass g(x,y,z(x,y)) = 0 gilt. b) Berechnen Sie von dieser implizit definierten Funktion z die partiellen Ableitungen z x (x,y) und z y (x,y) im Punkt (,0). c) Für die zweiten partiellen Ableitungen z xx (x,y) und z yy (x,y) im Punkt (,0) gilt z xx (,0) = 8 und z yy (,0) = 8. Berechnen Sie die partiellen Ableitungen z xy (x,y) und z yx (x,y) der Funktion z im Punkt (,0). d) Geben Sie das Taylorpolynom zweiter Ordnung T 2 ((x,y);z;(,0)) der Funktion z zum Entwicklungspunkt (,0) an..8.2 Aufgabe. Gegeben sei die Abbildung g : R 2 R, (x,y) g(x,y) := x 4 + y 4 + xy 2 2x 2 y 2. a) Zeigen Sie, dass es eine in einer Umgebung U(0) von x 0 := 0 durch die Gleichung g(x, y) = 0 und die Bedingung y(0) = implizit definierte differenzierbare Funktion y : U(0) R, (x,y) y(x) gibt. b) Berechnen Sie die Ableitung der Funktion y an der Stelle x 0 = 0. 9

10 .9 Übungaufgaben zu Abschnitt.9.9. Aufgabe. Vorgegeben sei die Funktion g : R 2 R, (x,y) g(x,y) := 6y (x 2 + y 2 ) 2. a) Zeigen Sie, dass die Funktion g(x,y) keine stationären Punkte (x 0,y 0 ) besitzt, für die g(x 0,y 0 ) = 0 gilt. b) Maximieren Sie die Funktion f : R 2 R, (x,y) f(x,y) := e x, unter der Nebenbedingung g(x, y) = 0. b) Begründen Sie, dass obige Aufgabe lösbar ist. Sie können ohne Beweis verwenden, dass die Menge M := {(x,y) R 2 : g(x,y) = 0} abgeschlossen und beschränkt ist. b2) Stellen Sie die Lagrangefunktion (x,y,λ) F(x,y,λ) auf und bestimmen Sie die stationären Punkte von F(x,y,λ). b3) Lösen Sie die obige Maximierungsaufgabe..9.2 Aufgabe. Minimieren Sie die Funktion unter der Nebenbedingung f : R 3 R, (x,y,z) f(x,y,z) := 2z + 6y g(x,y,z) := x 2 e z + y 2 + z 2 0 = 0. a) Begründen Sie, dass obige Aufgabe lösbar ist. Sie können ohne Beweis verwenden, dass die Menge abgeschlossen und beschränkt ist. M := {(x,y,z) R 3 : g(x,y,z) = 0} b) Stellen Sie die Lagrangefunktion (x,y,λ) F(x,y,z,λ) auf und bestimmen Sie die stationären Punkte von F(x,y,z,λ). 0

11 c) Lösen Sie die obige Minimierungsaufgabe..9.3 Aufgabe. Für x i > 0 (i =,2,3,4,5) sei durch f( x) := x x 2 x 3 x 4 x 5 ( x = (x,...,x 5 )) eine Nutzenfunktion f gegeben. Bestimmen Sie alle lokalen Maxima von f unter den beiden Nebenbedingungen 3x + x 2 = 200 und 2x 3 + x 4 + 3x 5 = Aufgabe. Bestimmen Sie die Extrema der Funktion f(x,y) = + yx 2 auf der Einheitskreisscheibe S = { (x,y) R 2 : x 2 + y 2 }.