Paare und Kartesische Produkte

Transkript

1 Paare und Kartesische Produkte Aufgabe 1. Stellen Sie das Tripel (a, b, c) als Paar und als Menge dar. Hinweis: Verwenden Sie Farben. Lösung von Aufgabe 1. (a, b, c) = ((a, b), c) Paar Darstellung (a, b) = { {a}, {a, b} } ((a, b), c) = ({ {a}, {a, b} }, c ) = { {{{a}, } } { {{a}, } } } {a, b}, {a, b}, c Mengen Darstellung Aufgabe 2. Berechnen Sie die Elemente folgender kartesischer Produkte. Prüfen Sie anhand der Formel A B = A B nach, dass Sie kein Element vergessen haben. Lösung von Aufgabe 2. {1, 2, 3} {4, 5} P ({1}) {2, 3} {1, {2}} { }. {1, 2, 3} {4, 5} = {(1, 4), (1, 5), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5)} 3 2 = 6 = 0 0 = 0 P ({1}) {2, 3} = {, {1} } {2, 3} = { (, 2), (, 3), ({1}, 2), ({1}, 3) } = 4 {1, {2}} { } = {(1, ), ({2}, )} Aufgabe 3. Berechnen Sie folgende n-fachen kartesische Produkte. Prüfen Sie anhand der Formel A n = A n nach, dass Sie kein Element vergessen haben. {1, 2, 3} 3 {0, 1} 4 P ({0, 1}) 2 1

2 Lösung von Aufgabe 3. {1, 2, 3} 3 = {(1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 1, 3), (1, 2, 1), (1, 2, 2), (1, 2, 3), (2, 1, 1),..., (3, 3, 3)} 3 3 = 27 {0, 1} 4 = {(0, 0, 0, 0), (0, 0, 0, 1), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 1, 1), (0, 1, 0, 0),..., (1, 1, 1, 1)} 2 4 = 16 P ({0, 1}) 2 = {, {0}, {1}, {0, 1} } 2 = { (, ), (, {0}), (, {1}), (, {1, 2}), (2 2 ) 2 = 4 2 = 16 ({0}, ), ({0}, {0}), ({0}, {1}), ({0}, {0, 1}), ({1}, ), ({1}, {0}), ({1}, {1}), ({1}, {0, 1}), ({0, 1}, ), ({0, 1}, {0}), ({0, 1}, {1}), ({0, 1}, {0, 1}) } Aufgabe 4. Wie viele Elemente hat die Menge ( P ({0, 1, 2}) ) 10? Hinweis: benutzen Sie einen Taschenrechner. Hat die Menge P ({0, 1, 2} 10 ) mehr, gleich viele oder weniger Elemente? Lösung von Aufgabe 4. was ziemlich viel ist... ( P ({0, 1, 2}) ) 10 = P ({0, 1, 2}) 10 = (2 3 ) 10 = 8 10 = {0, 1, 2} 10 = {0, 1, 2} 10 = 3 10 = (P ({0, 1, 2})) 10 ) = , Aufgabe 5. Begründen Sie, dass ( ) ( ) (1, 2), 3 1, (2, 3). Hinweis: Schreiben Sie die beiden Ausdrücke als Mengen und finden Sie ein Element, welches zwar in der einen Menge drin ist, aber nicht in der anderen. Geben Sie eine alternative Begründung, diesmal aber unter Verwendung der Tatsache, dass zwei Paare (a, b) und (x, y) genau dann gleich sind, wenn a = x und b = y. 2

3 Lösung von Aufgabe 5. Darstellung als Mengen: ( ) (1, 2), 3 ( ) 1, (2, 3) = = { } {(1, 2)}, {(1, 2), 3} { } {1}, {1, (2, 3)} Also ist z.b. aber {(1, 2)} {(1, 2)} ( ) (1, 2), 3 ( ) 1, (2, 3) Zwei Paare (a, b) und (x, y) sind genau dann gleich, wenn a = x und b = y. Da (1, 2) 1, ist ( ) ( ) (1, 2), 3 1, (2, 3). Aufgabe 6. Finden Sie ein paar Beispiele von Mengen A, B, C für die (A B) C A (B C). Gibt es auch Mengen A, B, C für die (A B) C = A (B C)? Lösung von Aufgabe 6. Für fast alle Mengen A, B, C gilt (A B) C A (B C). Also z.b. A, B, C = N, Z, Q, R oder {1,2,3}. Wenn (A B) C = A (B C) muß gelten A B = A und B C = C. Dies ist z.b. der Fall wenn A =, C = und B beliebig. Aufgabe 7. Beweisen Sie ausführlich, dass a b c a b c (a, b, c) = (a, b, c ) (a = a b = b c = c ). Sie dürfen im Beweis die in der Vorlesung gezeigte Formel für Paare verwenden. Lösung von Aufgabe 7. a b a b (a, b) = (a, b ) (a = a b = b ) 3

4 Zu zeigen a b c a b c (a, b, c) = (a, b, c ) (a = a b = b c = c ). Seien a, b, c, a, b, c beliebig aber fest. (a, b, c) = (a, b, c ) (a = a b = b c = c ). (a, b, c) = (a, b, c ). a = a b = b c = c. Definition von Tripel. Annahme ((a, b), c) = ((a, b ), c ). Aus der bewiesenen Eigenschaft von Paaren folgt (a, b) = (a, b ) und c = c. Nochmalige Anwendung der Eigenschaft für Paar ergibt a = a und b = b und c = c. Aufgabe 8. Beweisen Sie unter Verwendung der in der Vorlesung gezeigten Beweisschritte, dass Lösung von Aufgabe 8. A B ( A B = B A (A = B A = B = ) ). Elimination der Allquantoren. Seien A, B beliebig aber fest. A B = B A (A = B A = B = ). A B = B A. A = B A = B =. Die zu zeigende Formel kann man aussagenlogisch umformen: A = B A = B = (A = B = ) A = B (A = B = ) A = B (A B ) A = B. 4

5 A, B. A = B. A B und B A. Nachfolgend der Beweis von A B, der Beweis von B A ist analog. u (u A u B). Sei u beliebig aber fest. u A u B. u A. u B. Da laut Annahme B, existiert ein v B und damit Da A B = B A folgt und damit u B. (u, v) A B. (u, v) B A, Aufgabe 9. Es mag offensichtlich erscheinen, dass aus folgt, dass Genauso offensichtlich ist, dass aus folgt, dass (a, b) A B a A und b B. a + b N a N und b N. Nur dass die zweite Aussage falsch ist ein Gegenbeispiel ist a = 1 und b = 2. Beweisen Sie daher die erste Aussage ausführlich, indem Sie die in der Vorlesung gezeigten Eigenschaften von Paaren sowie die exakte Definition A B = {x a b x = (a, b) a A b B} verwenden. Lesen Sie dazu das Kapitel über Beweistechniken im Skript durch. 5

6 Lösung von Aufgabe 9. A B a b (a, b) A B (a A b B). Seien A, B, a, b beliebig aber fest. (a, b) A B (a A b B). (a, b) A B. a A b B. Definition von A B. Annahme (a, b) {x u v x = (u, v) u A v B}. Aus der Annahme folgt u v (a, b) = (u, v) u A v B. Seien u, v so dass (a, b) = (u, v) u A v B. Da (a, b) = (u, v) folgt aus den Eigenschaften von Paaren a = u b = v. Aus u A und v B folgt damit a A und b B. Aufgabe 10. Beweisen Sie ausführlich, dass a b u v (a, b) = (u, v) (a = u b = v). Hinweis: Schauen Sie sich nochmal den Beweis von M (Paar(M)!a!b M = (a, b)) an, den wir in der Vorlesung besprochen haben. Lösung von Aufgabe 10. a b u v (a, b) = (u, v) (a = u b = v). 6

7 Seien a, b, u, v beliebig aber fest. (a, b) = (u, v) (a = 0 b = v). (a, b) = (u, v). a = u b = v. Definition von Paar. Annahme: {{a}, {a, b}} = {{u}, {u, v}}. Definition der Mengengleichheit. Annahme: {{a}, {a, b}} {{u}, {u, v}} {{u}, {u, v}} {{a}, {a, b}}. Definition Teilmengenbeziehung. Annahmme: Aus folgt {a} = {u} und damit a = u. {a} {{u}, {u, v}} {a, b} {{u}, {u, v}} {u} {{a}, {a, b}} {u, v} {{a}, {a, b}}. {a} {{u}, {u, v}} Fall 1. Annahme a = b. Aus a = u und folgt {{a}, {a, b}} = {{u}, {u, v}}. {{u}} = {{u}, {u, v}} und damit u = v. Somit ist a = b = u = v und insbesondere b = v. Fall 2: Annahme a b. Aus folgt dann {a, b} {{u}, {u, v}} {a, b} = {u, v} und insbesondere b = u oder b = v. Da b = u nicht sein kann weil a = u und a b angenommen wurde, folgt b = v. 7

8 Aufgabe 11. Nennen Sie jeweils zwei Elemente der Mengen und berechnen Sie dann die Menge P (N 2 ) und ( P (N) ) 2 P (N 2 ) ( P (N) ) 2. Lösung von Aufgabe 11. Elemente von P (N 2 ):, {(1, 1), (2, 5)}. Elemente von P (N) 2 : Es gilt (, ), ({1, 2, 3}, N). P (N 2 ) P (N) 2 =. Aufgabe 12. Welche der folgenden Aussagen ist wahr? Geben Sie einen ausführlichen Beweis oder finden Sie ein Gegenbeispiel. Q 2 \ N 2 (Q \ N) 2 Q 2 \ N 2 (Q \ N) 2 Lösung von Aufgabe 12. Die Aussage Q 2 \ N 2 (Q \ N) 2 ist falsch. Ein Gegenbeispiel ist (1/2, 3) Q 2 \ N 2 (1/2, 3) (Q \ N) 2. Die Aussage Q 2 \ N 2 (Q \ N) 2 ist wahr. Der Beweis ist wie folgt. Q 2 \ N 2 (Q \ N) 2. Definition der Teilmengenbeziehung. x x (Q \ N) 2 x Q 2 \ N 2. Sei x beliebig aber fest. x (Q \ N) 2 x Q 2 \ N 2. 8

9 x (Q \ N) 2. x Q 2 \ N 2. Definition kartesisches Produkt. Annahme x {z a, b (Q \ N) z = (a, b)} a, b (Q \ N) x = (a, b). Seien a, b (Q \ N) so dass x = (a, b). Definition Mengendifferenz. Annahme: a Q, b Q, a N, b N. (a, b) Q 2 (a, b) N 2. Da a, b Q folgt (a, b) Q 2. Da a, b N folgt (a, b) N 2. Aufgabe 13. Beweisen Sie ausführlich, dass für alle Mengen A, B, C gilt (A B) C (A C) (B C). Hinweis: Die beiden Mengen sind sogar gleich, gefordert ist hier aber nur der Beweis einer Teilmengenbeziehung. Lösung von Aufgabe 13. A, B, C (A B) C (A C) (B C). Seien A, B, C beliebig aber fest. (A B) C (A C) (B C). x x (A B) C x (A C) (B C). Sei x beliebig aber fest. Annahme x (A B) C. x (A C) (B C). 9

10 u, v x = (u, v) u (A B) v C. Seien u, v so dass x = (u, v) u (A B) v C. (u A u B) v C. (u A v C) (u B v C). (u, v) (A C) (u, v) (B C). (u, v) A C B C. Da x = (u, v) ist dies die zu zeigende Aussage. Aufgabe 14. Beweisen Sie ausführlich: Für alle Mengen A, B, C, D gilt (A B) (C D) = (A C) (B D). Lösung von Aufgabe 14. A, B, C, D (A B) (C D) = (A C) (B D) Seien A, B, C, D beliebig aber fest. (A B) (C D) = (A C) (B D) Definition der Mengengleichheit. (A B) (C D) (A C) (B D) (A C) (B D) (A B) (C D) Teil 1. (A B) (C D) (A C) (B D). x x (A B) (C D) x (A C) (B D). 10

11 Sei x beliebig aber fest. Annahme: x (A B) (C D). x (A C) (B D). Definition Schnittmenge. Annahme: x (A B) x (C D). Definition Kartesisches Produkt. Annahme: x 1, x 2 x 1 A x 2 B x = (x 1, x 2 ) y 1, y 2 y 1 C y 2 D x = (y 1, y 2 ). Seien x 1, x 2, y 1, y 2 so dass x 1 A, x 2 B, y 1 C, y 2 D, x = (x 1, x 2 ), x = (y 1, y 2 ). Da (x 1, x 2 ) = (y 1, y 2 ) gilt x 1 = y 1 und x 2 = y 2. Annahme: x 1 A, x 1 C, x 2 B, x 2 D, x = (x 1, x 2 ). Definition der Schnittmenge. Annahme: x 1 A C, x 2 B D. Definition Kartesisches Produkt. Annahme: (x 1, x 2 ) (A C) (B D). Da x = (x 1, x 2 ) gilt somit x (A C) (B D). Teil 2. (A C) (B D) (A B) (C D) x x (A C) (B D) x (A B) (C D). 11

12 Sei x beliebig aber fest. Annahme: x (A C) (B D). x (A B) (C D). Definition Kartesisches Produkt. Annahme: x 1, x 2 x 1 A C x 2 B D x = (x 1, x 2 ). Seien x 1, x 2 so dass x 1 A C x 2 B D x = (x 1, x 2 ). Definition Schnittmenge. Annahme: x 1 A, x 1 C, x 2 B, x 2 D. Definition Kartesisches Produkt. Annahme: (x 1, x 2 ) A B, (x 1, x 2 ) C D. Definition Schnittmenge. Annahme: (x 1, x 2 ) (A B) (C D). Da x = (x 1, x 2 ) folgt x (A B) (C D). Aufgabe 15. Sei A = {1, 2, (1, 2), ((1, 2), 1), (2, (2, 1))} Nennen Sie alle Elemente der Menge A (A A). Lösung von Aufgabe 15. A (A A) = {(1, 2), ((1, 2), 1)} Aufgabe 16. Sei A = {1, (1, 1)} Nennen Sie alle Elemente der Menge (A A) \ A. Lösung von Aufgabe 16. (A A) \ A = {(1, (1, 1)), ((1, 1), 1), ((1, 1), (1, 1))} 12

13 Aufgabe 17. Nennen Sie alle Elemente der Menge (2, 3) (3, 2) Ist diese Menge wieder ein Paar? Hinweis: Stellen Sie die Paare zunächst als Mengen dar. Lösung von Aufgabe 17. Die Menge ist kein Paar. (2, 3) (3, 2) = { {2}, {2, 3} } { {3}, {3, 2} } = { {2}, {3}, {2, 3} }. Aufgabe 18. Das Tripel (a, b, c) wurde in der Vorlesung definiert durch (a, b, c) = ( (a, b), c ). Alternativ hätte man auch versuchen können, die Definition von Paaren (a, b) = { {a}, {a, b} } direkt zu verallgemeinern auf (a, b, c) = { {a}, {a, b}, {a, b, c} }. Zeigen Sie, dass wenn man Tripel auf diese Weise definiert hätte, gelten würde dass (1, 2, 2) = (1, 2, 1) (1, 1, 1) = (1, 1). Wieso ist dies mit der richtigen Definition von Tripeln nicht der Fall? Lösung von Aufgabe 18. Mit der Definition (a, b, c) = { {a}, {a, b}, {a, b, c} } gilt (1, 2, 2) = { {1}, {1, 2}, {1, 2, 2} } = { {1}, {1, 2}, {1, 2} } = { {1}, {1, 2} } (1, 2, 1) = { {1}, {1, 2}, {1, 2, 1} } = { {1}, {1, 2}, {1, 2} } = { {1}, {1, 2} }, 13

14 d.h. es handelt sich in beiden Fällen um die selbe Menge. Weiterhin gilt (1, 1, 1) = { {1}, {1, 1}, {1, 1, 1} } = { {1} } (1, 1) = { {1}, {1, 1} } = { {1} }, d.h. es handelt sich wiederum um die selbe Menge. Mit der richtigen Definition von Tripeln gilt (1, 2, 2) = ( (1, 2), 2 ) (1, 2, 1) = ( (1, 2), 1 ). Die beiden Paare unterscheiden sich in der zweiten Komponente und sind daher nicht gleich. Weiterhin gilt (1, 1, 1) = ( (1, 1), 1 ) (1, 1). Die beiden Paare unterscheiden sich in der ersten Komponente und sind daher nicht gleich. Aufgabe 19. Sei A = {0, 1} und B = {0, 1, 2}. Nennen Sie alle Elemente folgender Mengen: Lösung von Aufgabe 19. A 2 B 2 \ A 2 A 2 = {(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)} B 2 \ A 2 = {(0, 2), (1, 2), (2, 2), (2, 1), (2, 0)} Aufgabe 20. Berechnen Sie N Q N 2 \ N Lösung von Aufgabe 20. N Q = N N 2 \ N = N 2 Aufgabe 21. Berechnen Sie die Menge (A \ B) C für A = {2, 5, 7} B = {1, 2, 7, 8} C = {2, 3, 8} 14

15 Lösung von Aufgabe 21. A \ B = {5} (A \ B) C = {(5, 2), (5, 3), (5, 8)} Aufgabe 22. Berechnen Sie das kartesische Produkt Lösung von Aufgabe 22. {1, } {(2, 3)}. {1, } {(2, 3)} = {( 1, (2, 3) ), (, (2, 3) )} Aufgabe 23. Sei A = {1, 2}. Berechnen Sie die Potenzmenge P (A) und die Menge P (A) A. Lösung von Aufgabe 23. Aufgabe 24. Sei P (A) = {, {1}, {2}, {1, 2} } P (A) A = { (, 1), ({1}, 1), ({2}, 1), ({1, 2}, 1), (, 2), ({1}, 2), ({2}, 2), ({1, 2}, 2) } A = (R \ {0}) 2 B = R 2 \ {(0, 0)}. Ist dann A = B, A B, B A oder keins von allem? Begründen Sie Ihre Antwort mit zwei Sätzen. Lösung von Aufgabe 24. Es gilt A B. Jedes Element von A ist auch Element von B, d.h. A B. Es gilt aber z.b. (1, 0) B aber (1, 0) A, d.h. A B. 15