Zweite Prüfung zur Vorlesung

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1 Prof O Scherzer P Elbau, L Mindrinos Numerische Mathematik Fakultät für Mathematik Universität Wien 4 Oktober 23 Zweite Prüfung zur Vorlesung Numerische Mathematik Erlaubte Hilfsmittel: Schriftliche Unterlagen nach Belieben Prüfungsdauer: 2 Minuten Bitte schreiben Sie dokumentenecht und versehen jedes Blatt mit Ihrem Namen Alle Antworten sind zu begründen Die Beispiele werden alle gleich gewichtet Wir betrachten das lineare Gleichungssystem Ax = b und das gestörte Gleichungssystem A x = b + b mit [ ] [ ] [ ] α 2 A =, α R, b = und b = (a) Zeigen Sie, dass cond, (A) = cond, (A), wobei A die gegebene Matrix (b) Schätzen Sie über die Konditionszahl von A alle möglichen Werte für α, so dass x x x 8 gilt (a) Wir bestimmen Dann A =, A = [ ] α und auch cond (A) = A A = ( + α )( + α ) = ( + α ) 2 cond (A) = A A = ( + α )( + α ) = ( + α ) 2

2 (b) Wir wissen, dass x x x cond (A) b b Wir lösen die Ungleichung cond (A) b b 8 ( + α ) 2 4 Dann bekommen wir 3 α α [, ] 2

3 2 Wir approximieren ein Integral im Intervall [, ] mit der Quadraturformel f(x)dx Q[f] := αf() + βf () + γf() Bestimmen Sie α, β, γ R so, dass Q[f] exakt ist für alle Polynome vom Grad kleiner oder gleich 2 Wegen der Linearität des Integrals testen wir die Exaktheit der Quadraturformel für jedes Monom x n, n =,, 2 Die Quadraturformel hat genau Exaktheitsgrad n, wenn sie für Polynome mit Grad kleiner oder gleich n exakt Somit haben wir die folgenden Gleichungen dx = Q[] = α + β + γ xdx = Q[x] 2 = α + β + γ x 2 dx = Q[x 2 ] 3 = α + β + γ Dann ist α + γ = β + γ = /2 γ = /3 Die Lösung dieses Gleichungssystems lautet (α, β, γ) = ( 2 3, 6, 3 ) 3

4 3 Wir betrachten das durch das Runge-Kutta Tableau γ γ β β, β [ 2, ], γ [ 2, ], definierte zweistufige Runge-Kutta-Verfahren Φ h zur Lösung des Anfangswertproblems mit der Schrittweite h > y (t) = y(t), t >, y() = Bestimmen Sie diejenigen Schrittweiten h >, für welche die dadurch definierte Folge (y (h) i ) i=, y (h) gegen null konvergiert i = Φ h (y (h) i ), y(h) =, i N, Setzen wir das angegebene Tableau in die Formel des Runge-Kutta-Verfahrens, y i+ = y i + h η i,j = y i + h 2 b j f(t i + c j h, η i,j ), j= 2 a jk f(t i + c j h, η i,k ), k= ein, so bekommen wir die Gleichungen η i, = y i, η i,2 = ( hγ)y i, y i+ = ( h( β) hβ( hγ))y i = ( h + h 2 βγ)y i Die Folge konvergiert somit genau dann gegen null, wenn h + h 2 βγ < Dies ist äquivalent zu h 2 βγ h < und h 2 βγ h + 2 > Die erste Bedingung liefert h (, βγ ), und die zweite Bedingung ist automatisch erfüllt, da wegen βγ 4 ( h 2 βγ h + 2 = βγ h ) βγ 4βγ Somit konvergiert die Folge genau für h (, βγ ) gegen null 4

5 4 Sei f : [, ] R eine zweimal stetig differenzierbare Funktion und s : [, ] R ein interpolierender kubischer Spline von f mit der Eigenschaft s () = f () und s () = f () (a) Zeigen Sie, daß (b) Folgern Sie daraus die Abschätzung (f (x) s (x))s (x) dx = (s (x)) 2 dx (f (x)) 2 dx (a) Bezeichnen wir mit (x i ) l i= die Punkte des Gitters auf dem s definiert ist und setzen g = f s, so bekommen wir mit partiellem Integrieren: xi g (x)s (x) dx = g (x)s (x) dx i= x i [ = g (x i )s (x i ) g (x i )s (x i ) i= xi x i g (x)s (x) dx Nun bleiben von der Summation der erstem beiden Terme nur die Randterme g ()s () g ()s () übrig, und weil s (x) = (s ) i auf jedem Teilintervall (x i, x i ) konstant ist, können wir die Integrale direkt auswerten Wir erhalten somit g (x)s (x) dx = g ()s () g ()s () (s ) i (g(x i ) g(x i )) =, da nach Annahme g () = g () = und g(x i ) = für alle i =,, l gilt (b) Anwenden von Cauchy-Schwarz auf die Gleichheit aus Teil (a) liefert direkt (s (x)) 2 dx = i= [ f (x)s (x) dx (f (x)) 2 dx ] (s (x)) 2 dx Quadrieren der Ungleichung und Dividieren durch (s (x)) 2 dx liefert uns nun direkt die Behauptung ] 2 5