Seminar Analysis und Geometrie Professor Dr. Martin Schmidt - Markus Knopf - Jörg Zentgraf. - Fixpunktsatz von Schauder -

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1 Unverstät Mannhem Fakultät für Mathematk und Informatk Lehrstuhl für Mathematk III Semnar Analyss und Geometre Professor Dr. Martn Schmdt - Markus Knopf - Jörg Zentgraf - Fxpunktsatz von Schauder - Ncole Scheble 3. Jun

2 Inhaltsverzechns 1 Enführung 1 2 Fxpunktsatz von Brouwer und sene Verallgemenerungen 1 3 Der Fxpunktsatz von Schauder Enschränkung von K auf K k Defnton ener Hlfsfunkton Bestmmung enes Fxpunktes von T Anwendung n der Wahrschenlchketstheore 8 Lteraturverzechns 11 1 Enführung Der Schaudersche Fxpunktsatz st ene Verallgemenerung des Brouwerschen Fxpunktsatzes. Deser Satz des polnschen Mathematkers Julusz Schauder ( ) besagt, dass ene stetge Funkton auf ener kompakten und konvexen Telmenge enes Banachraumes enen Fxpunkt bestzt. Es soll vor allem auf den Bewes deses Satzes engegangen werden, welcher durch enge Verallgemenerungen des Brouwerschen Fxpunktsatzes hergeletet wrd. Anschleßend begeben wr uns n das Gebet der Wahrschenlchketstheore und sehen uns an, we der Schaudersche Fxpunktsatz dort angewandt werden kann. Natürlch st des nur ene Anwendungsmöglchket von velen. Zunächst enmal ernnern wr uns an den Fxpunktsatz des norwegschen Mathematkers Lutzen E. J. Brouwer ( ). 2 Fxpunktsatz von Brouwer und sene Verallgemenerungen Satz 1 (Fxpunktsatz von Brouwer I). Se B B 1 (0) de abgeschlossene Enhetskugel des R n mt der eukldschen Norm 2. Se weterhn T : B B ene stetge Funkton. Dann exstert en x B, so dass T (x) x, d.h. T bestzt enen Fxpunkt. Um den Schauderschen Fxpunktsatz zu bewesen, müssen wr den Brouwerschen Fxpunktsatz en weng verallgemenern. Anstatt ener Enhetskugel, nehmen wr uns ene beschränkte und konvexe Telmenge des R n, wobe de Null m Inneren deser Telmenge legen soll. Damt erhalten wr folgende Verallgemenerung: Satz 2 (Fxpunktsatz von Brouwer II). Se K R n ene Telmenge des R n, de beschränkt und konvex st. Des Weteren soll gelten: 0 nt (K). Se T : K K. Dann exstert en x K, so dass T (x) x, d.h. T bestzt enen Fxpunkt. Der Vollständgket halber werden wr zusätzlch de Begrffe der Konvextät und der nneren Menge klären. Defnton 1 (Konvextät). Ene Telmenge enes eukldschen Raums heßt konvex, wenn für je zwe belebge Punkte, de zur Menge gehören, auch stets deren Verbndungsstrecke ganz n der Menge legt. 1

3 Defnton 2 (Inneres von K). Se X en topologscher Raum. Dann heßt x 0 nnerer Punkt von K, wenn es ene Umgebung U von x 0 gbt, wobe U K und offen n X st. Das Innere von K, bzw. de nnere Menge von K, nt(k), st de Menge, welche alle nneren Punkte von K benhaltet. Wr wollen desen Satz nun en weteres Mal verallgemenern, damt wr dese letzte Verallgemenerung des Brouwerschen Fxpunktsatzes später be dem Bewes des Fxpunktsatzes von Schauder anwenden können. Zunächst muss jedoch de Dmenson ener Menge geklärt werden: Defnton 3 (Dmenson ener Menge). Se X en Banachraum. M X ene Telmenge von X. Dann st de Dmenson ener Menge folgendermaßen defnert: dm(m) : dm(span(m - M)) wobe M - M {m 1 m 2 m 1, m 2 M}. Ist dm(m) <, so heßt M endlch-dmensonal. Satz 3 (Fxpunktsatz von Brouwer III). Se X en Banachraum. Se K X ene ncht leere Telmenge von X. K se endlch-dmensonal, beschränkt, abgeschlossen und konvex. Des Weteren se T : K K ene stetge Abbldung. Dann exstert en x K, so dass T (x) x, d.h. T bestzt enen Fxpunkt. 3 Der Fxpunktsatz von Schauder Nach desen dre verschedenen Versonen des Brouwerschen Fxpunktsatzes wenden wr uns nun drekt dem Fxpunktsatz von Schauder zu und werden denselben bewesen. Satz 4 (Fxpunktsatz von Schauder). Se (X, ) en Banachraum. K X ene Telmenge von X. K se kompakt und konvex. Se T : K K ene stetge Abbldung. Dann exstert en x K, so dass T (x) x, d.h. T bestzt enen Fxpunkt. Bewesdee: Aufgrund der Komplextät des Beweses, werden wr hn n folgende Punkte untertelen: 1. Enschränkung von K auf ene konvexe, abgeschlossene, beschränkte und endlch-dmensonale Menge K k 2. Defnton ener Hlfsfunkton 3. Bestmmung enes Fxpunktes von T Bevor wr mt dem Bewes begnnen, klären wr zunächst zwe wchtge Begrffe, de wr m Verlauf des Beweses benötgen. Dabe handelt es sch um de konvexe Hülle und um de Abstandsfunkton dst(, A). Defnton 4 (Konvexe Hülle). Se K X ene Telmenge des Vektorraumes X. De konvexe Hülle conv (K) bezechnet den Durchschntt aller konvexen Telmengen von X, de K umfassen. En Element der konvexen Hülle erfüllt Folgendes: α x conv (K), x K, α R +, α 1 2

4 Defnton 5 (dst(, A)). Se (X, d) en metrscher Raum. A X ene Telmenge von X und p X en Punkt n X. Dann st der Abstand enes Punktes zu ener Telmenge folgendermaßen defnert: dst(p, A) : nf {d(p,a)} [0, ). a A Im nachhergen Bewes benötgen wr dst(, A) für de Defnton der Hlfsfunkton. Wr werden dabe benutzen, dass dst(, A) stetg st: Proposton 1. dst(, A) st stetg. Bewes. Wr zegen de folgende Glechung und damt de Lpschtzstetgket von dst(, A). Daraus folgt dann automatsch, dass dst(, A) auch stetg st. Betrachte für en a A und für alle x, y X dst(y, a) dst(x, a) d(x, y) nf a A d(y, a) d(y, x) + d(x, a) nf d(y, a) d(y, x) + nf d(x, a) a A a A Def. dst(y, A) d(x, y) + dst(x, A) dst(y, A) dst(x, A) d(x, y) (1) nf a A d(x, a) d(x, y) + d(y, a) nf d(x, a) d(x, y) + nf d(y, a) a A a A Def. dst(x, A) d(x, y) + dst(y, A) dst(x, A) dst(y, A) d(x, y) (2) aus (1), (2) und der Egenschaft des Betrags folgt de Behauptung. 3.1 Enschränkung von K auf K k Zur Ernnerung: (X, ) st en Banachraum und K ene kompakte und konvexe Telmenge desselben. Damt wr den Brouwerschen Fxpunktsatz anwenden können, müssen wr versuchen K so enzuschränken, dass K konvex, abgeschlossen, beschränkt und endlch-dmensonal st. Dazu wrd K mt glechartgen Kugeln überdeckt für de Folgendes gelten soll: k N, k > 0 belebg N N(k) N Anzahl der Kugeln, de benötgt werden um K zu überdecken B : B 1, x K, 1,..., N Kugeln mt Kugelmttelpunkten x und Radus 1 k k 3

5 Dabe soll k so groß sen, dass zur Überdeckung der Menge K mndestens zwe Kugeln notwendg snd. Um de Kugelmttelpunkte x wrd de konvexe Hülle K k : conv({x 1,..., x N }) gelegt. K k st ene Enschränkung von K. Damt wr später den Brouwerschen Fxpunktsatz III anwenden können, werden wr m Folgenden bewesen, dass K k konvex, abgeschlossen, beschränkt und endlch-dmensonal st. Lemma 1. K k st beschränkt. Bewes. Betrachte en Element der konvexen Hülle: x Def. Konst. - UG α x max x } {{ } 1 Def. α α x α >0 max α x x < α max x Lemma 2. K k st endlch-dmensonal. Bewes. Betrachte: a, b K k belebg a α x, b Subtrakton der beden Elemente ergbt: β x a b (α β ) x { N } span {a b} span (α β ) x da N endlch st, erhalten wr en endlches Erzeugendensystem dm (span {K k K k }) <. 4

6 Außerdem glt: () K k st konvex, da K k de konvexe Hülle bezechnet. () K k st abgeschlossen: Dadurch, dass de Kugelmttelpunkte en endlches Erzeugendensystem blden, folgt automatsch, dass K k abgeschlossen st. Mt desen ver Aussagen, haben wr nun K auf K k engeschränkt, so dass wr später den Brouwerschen Fxpunktsatz anwenden können. Der erste Tel des Beweses st also abgeschlossen, womt wr nun zum zweten Tel übergehen: 3.2 Defnton ener Hlfsfunkton Betrachte nun de Funkton J k : K K k, defnert durch J k (x) : dst(x, K B ) x dst(x, K B ) Damt dese Hlfsfunkton angewandt werden kann, muss se wohldefnert sen. Das bedeutet, dass der Nenner ncht Null werden darf. Des folgt sofort aus der Bedngung, dass mndestens zwe offene (!) Kugeln für de Überdeckung verwendet werden. Es wrd deutlch, dass der Nenner ncht Null werden kann, wel x zwar mmer n ener Kugel, aber ne n allen Kugeln legt. Das Zel besteht weterhn darn, den Brouwerschen Fxpunktsatz III anzuwenden. Deshalb müssen wr noch zegen, dass J k (x) ene stetge Selbstabbldung st. Wr wssen berets, dass de Abstandsfunkton dst(, A) stetg st. Wel Kompostonen stetger Abbldungen wederum stetg snd, wssen wr also auch, dass J k (x) stetg st. Lemma 3. J k bldet nach K k ab. Bewes. J k (x) : z.z. dst(x, K B ) x dst(x, K B ) ( ) dst(x, K B ) x dst(x, K B ) ( ) dst(x, K B ) dst(x, K x B ) } {{ } α ( ) dst(x, K B ) dst(x, K B ) ( ) dst(x, K B ) dst(x, K B ) α 1 J k (x) K k! 1 n dst(x, K B ) dst(x, K B ) 1 5

7 Egentlch haben wr nun den zweten Tel des Beweses abgeschlossen. Im weteren Verlauf deser Ausarbetung benötgen wr ene enfache Unglechung, welche wr nun schon m Voraus bewesen werden: Proposton 2. J k (x) x 1 k x K. Bewes. J k (x) x - UG x x 1 k x B ( dst(x, K B ) ) x N dst(x, K x B ) >0 { }} { dst(x, K B ) (x x) dst(x, K B ) } {{ } >0 dst(x, K B ) x x dst(x, K B ) x B dst(x, K B ) x x x B dst(x, K B ) x B dst(x, K B ) 1 k x B dst(x, K B ) 1 k x B dst(x, K B ) x B dst(x, K B ) 1 k 3.3 Bestmmung enes Fxpunktes von T Wr wollen ene stetge Selbstabbldung fnden, welche von K k nach K k abbldet, damt wr den Brouwerschen Fxpunktsatz anwenden können: S k : K k K T K J k K k x (J k T )(x) J k (T (x)) Wr wssen berets, dass de beden Funktonen J k und T stetg snd. Wel Kompostonen stetger Abbldungen wederum stetg snd, st auch de Funkton S k stetg. Es snd somt alle Voraussetzungen erfüllt um den Schauderschen Fxpunktsatz anwenden zu können: 6

8 S k bestzt enen Fxpunkt f k K k S k (f k ) f k (J k T )(f k ) f k Idee Wenn k größer gewählt wrd, wrd der Radus der Kugeln klener, d.h. es werden mehr Kugeln zum Überdecken von K benötgt. Wr erhalten also ene Fxpunktfolge von N nach K: k f k K k K Wr wssen, dass K kompakt, n desem Raum sogar folgenkompakt st. Jede Folge n enem metrschen Raum X, welcher folgenkompakt st, bestzt ene n X konvergente Telfolge. In unserem Fall wssen wr also: d.h. es glt f k bestzt ene konvergente Telfolge (f kj ) j N mt Grenzwert f K, lm f k j f K. j Wr können nun den letzten Tel des Beweses führen. Proposton 3. f st en Fxpunkt von T. Bewes. fkj T (f kj ) Skj (f kj ) T (f kj ) (J kj T )(f kj ) T (f kj ) J T (f ) T (f kj kj kj ) 1 } {{ } } {{ } k j x x Im letzten Schrtt wrd de zuvor bewesene Proposton 2 verwendet. Daraus folgern wr nun: lm (Jkj T )(f kj ) T (f kj ) 1 lm( ) k j lm(jkj T )(f kj ) lm(t (f kj )) 0 f lm(t (f kj )) 0 Def. Norm f lm(t (f kj )) Stetgket f T (lm(f kj )) f T (f) Der Schaudersche Fxpunktsatz st bewesen! 7

9 4 Anwendung n der Wahrschenlchketstheore Somt haben wr nun den Schauderschen Fxpunktsatz mthlfe enger Verallgemenerungen des Brouwerschen Fxpunktsatzes bewesen. Es stellt sch de Frage n welcher Hnscht sch deser Satz n den verschedenen Berechen der Mathematk anwenden lässt. In desem Kaptel werden wr en Anwendungsbespel deses Satzes für de Wahrschenlchketstheore zegen. Defnton 6 (Reguläre Markovketten). Reguläre Markovketten snd Markovketten, für de en k N exstert, so dass man von jedem Zustand n jeden anderen n genau k Schrtten kommen kann. Satz 5. Für reguläre Markovketten exstert genau ene statonäre Vertelung, welche sch be jeder Startvertelung enstellt. D.h. für de Elemente P j der Übergangsmatrx ener regulären Markovkette glt: lm k P j(k) α α > 0; α 1 α (α 1,..., α n ) : statonäre Vertelung Der Bewes des vorhergen Satzes über de statonäre Vertelung st mthlfe des Schauderschen Fxpunktsatzes relatv länglch, deshalb werden wr hn en weng auftelen und zudem auch nur den ersten Tel bewesen. Der gesamte Bewes würde den Rahmen deser Ausarbetung sprengen - außerdem soll deser Bewes nur enen klenen Enblck n de Anwendung geben. Auftelung des Beweses 1. Exstenz von Fxpunkten 2. Endeutgket von Fxpunkten 3. Konvergenz der Fxpunkte be Regulartät 1. Exstenz von Fxpunkten Lemma 4. Se A ene (n n)-übergangsmatrx und de Zelensumme betrage jewels 1. Das heßt: alle Enträge A j 0, j {1,..., n} n j1 A j 1 {1,..., n} 1 Se weter R n e.. 1 Dann glt: Ae e. 8

10 Bewes. De Zelensumme von A beträgt 1. Aufgrund der Regeln der Matrxmultplkaton erhalten wr be der Multplkaton von A mt e weder e. Deses Lemma brauchen wr um glech den ersten Tel, de Exstenz von Fxpunkten zu bewesen. Satz 6 (Exstenz von Fxpunkten). Se A ene (n n)- Übergangsmatrx und F : R n R n gegeben durch F (p) tr p tr A. Se K R n de Menge aller Zustandsvertelungen: { } K p R n : p 0 für alle 1 n; p 1 Dann bestzt F enen Fxpunkt p K. Bewes. Der Bewes deses Satzes untertelt sch n mehrere Punkte. () K st konvex: Seen p, q K und se S de Verbndungsstrecke von p nach q: Es glt: S {tp + (1 t)q : 0 t 1} t 0, 1 t 0, p 0, q 0. S K K konvex Ln. t tp + (1 t)q n tp + (1 t) Def. t + (1 t) 1 () K st kompakt: ( nach Hene/Borel: abgeschlossen und beschränkt) K st beschränkt: Se p K p p e p e p e max e p } {{ } 1 q p max e max e < 9

11 K st abgeschlossen: Betrachte: (p m ) m N Folge n K, sodass m : p m 0 1,..., n. Se: p m 1, p lm m, m p lm m m. Zu zegen: p K Aus p m 0 folgt lm m p m p 0 p lm p m m lm m p m lm m 1 1 p K K st abgeschlossen. K st abgeschlossen und beschränkt, also kompakt. Wr überprüfen nun, ob F selbstabbldend st, erst dann können wr den Schauderschen Fxpunktsatz anwenden. Im glechen Schrtt zegen wr dann, dass F enen Fxpunkt bestzt und bewesen damt Satz 6 über de Exstenz von Fxpunkten. () f st selbstabbldend. Wr blden das Skalarprodukt von F (p) und e : F (p), e Def. F (p) tr e Def. (p tr A)e Ass. (p tr )(Ae ) Ae e (p tr )(e ) Def. p 1 F (p), e F (p) tr e n F (p) 1 F (p) K, für p K F (K) K Alle Voraussetzungen für den Fxpunktsatz von Schauder snd erfüllt. Es exstert en p K, so dass F (p) p, d.h F bestzt enen Fxpunkt. Zum vollständgen Bewes des Satzes 5 gehört es dazu, de Endeutgket und de Konvergenz der Fxpunkte nachzuwesen. Dese beden Bewese erfolgen (n Anlehnung an de Bachelorarbet von J. Tené) über de Egenwerte und Egenvektoren der zugehörgen Übergangsmatrx. Be näherem Interesse wrd auf das anschleßende Lteraturverzechns verwesen. 10

12 Lteratur [1] Peters, Jörg ; Schmtz, Stephan (1999): De Fxpunktsätze von Brouwer und Schauder. Funktonalanalyss Semnar. [2] Tené, Jula (2008): Monopoly und Markovketten. Bachelorarbet m Fach Mathematk an der Ruhr-Unverstät n Bonn. 11