Original-Prüfungsaufgaben 2009

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1 Zentrale Prüfung 10 Finale Prüfungstraining NRW 2010 Original-Prüfungsaufgaben 2009 Prüfungsteil 1: Aufgabe 1 a) Bestimme den Inhalt der grauen Fläche. Beschreibe z. B. mithilfe der Abbildung, wie du vorgegangen bist. b) Eine Sekretärin benötigt für das Schreiben eines Textes 13 Minuten und schreibt dabei durchschnittlich 230 Zeichen pro Minute. Wie lange benötigt jemand für denselben Text, wenn er durchschnittlich 300 Zeichen pro Minute schreibt? Notiere deine Rechnung. c) Wie hoch ist die durchschnittliche Lebenserwartung von Menschen ungefähr? Kreuze an. o 60 Stunden o 600 Stunden o Stunden o Stunden o Stunden o Stunden d) Eine Firma verkauft Bürostühle in vier verschiedenen Farben. Im Januar 2009 wurden insgesamt 245 Bürostühle verkauft. Das Kreisdiagramm stellt die Anteile der verschiedenen Farben dar. Bestimme daraus die Anzahl der grünen Stühle so genau wie möglich. Notiere deine Rechnung. e) Für ihren Telefonanschluss hat Frau Gehring einen Vertrag zu folgenden Bedingungen abgeschlossen: Pro Monat zahlt sie eine Grundgebühr von 10,00 und für jedes Gespräch unabhängig von der Länge des Gesprächs einen festen Betrag. Im Monat April hat Frau Gehring 44 Gespräche geführt. Sie muss für den April insgesamt 16,60 bezahlen. Welchen festen Betrag musste sie für ein einzelnes Gespräch bezahlen? Notiere deine Rechnung. f) Nina bekommt eine positive Zahl mit einer Nachkommastelle genannt. Sie soll die Zahl verdoppeln und das Ergebnis auf eine ganze Zahl runden. Martin bekommt dieselbe Zahl genannt, soll aber anders rechnen: Er soll die Zahl zuerst auf eine ganze Zahl runden und diese anschließend verdoppeln. f1) Gib ein Beispiel an, bei dem Nina und Martin das gleiche Ergebnis erhalten. f2) Gib ein Beispiel an, bei dem Nina und Martin nicht das gleiche Ergebnis erhalten. f3) Wie groß kann die Differenz der Ergebnisse von Nina und Martin höchstens sein? f3) Kreuze an: o 0 o 1 o 2 o 3 1

2 Finale Prüfungstraining NRW 2010 Zentrale Prüfung 10 Prüfungsteil 2: Aufgabe 2 Die Geschwindigkeitsanzeige im Auto ( Tacho ) darf eine höhere Geschwindigkeit anzeigen, als wirklich gefahren wird. Die Vorschrift besagt: Der Tacho darf die tatsächliche Geschwindigkeit um 10 % zuzüglich 4 km h überschreiten. a) Welche Geschwindigkeit darf der Tacho höchstens anzeigen, wenn tatsächlich mit 50 km h gefahren wird? Notiere deine Rechnung. b) Ein Tacho hält die Vorschrift ein und zeigt 94 km h an. Wie groß ist die tatsächliche Geschwindigkeit mindestens? Notiere deine Rechnung. c) Anna, Mehmet und Jessica haben jeweils eine Formel aufgestellt, um die maximal zulässige Tacho- Anzeige a zu berechnen, wenn die tatsächliche Geschwindigkeit v beträgt: Anna: a = v + v : Mehmet: a = 1,1 v + 4 Jessica: a = v 1,04 Welche Formel ist falsch? Begründe. d) In einer Werkstatt werden Tachos überprüft. Die Prüfer wissen aus Erfahrung, dass 95 % aller Tachos in Ordnung ( ) sind. Heute müssen sie zwei Tachos überprüfen. d1) Stelle den Sachverhalt in einem Baumdiagramm dar. Trage an allen Zweigen die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten ein. d2) Wie wahrscheinlich ist es, dass beide Tachos in Ordnung sind? Notiere deine Rechnung. d3) Wie wahrscheinlich ist es, dass ein Tacho in Ordnung ist und der andere nicht? Notiere deine Rechnung. e) Morgen werden vier Tachos überprüft. Wie wahrscheinlich ist es, dass mindestens einer davon nicht in Ordnung ist? Notiere deine Rechnung. 2

3 Zentrale Prüfung 10 Finale Prüfungstraining NRW 2010 Prüfungsteil 2: Aufgabe 3 In einem runden Turm befindet sich eine Wendeltreppe, die von ganz unten bis zur Aussichtsplattform ins Freie führt. Der Turm und die Treppe werden in den Skizzen vereinfacht dargestellt. Der Turm hat folgende Maße: Die Außenwand des Turmes ist 30 cm dick. Genau 12 Stufen ergeben zusammen eine vollständige Drehung (360 ). Jede Stufe ist 18 cm hoch; alle Stufen haben die gleichen Maße. Die Aussichtsplattform befindet sich 16,20 m über dem Boden des Erdgeschosses und wird von einem Geländer begrenzt. (Weitere Maße befinden sich in der oberen Skizze.) a) Wie viele Stufen hat die Treppe insgesamt? Notiere deine Rechnung. b) Herr Meyerbohm ist 2,02 m groß. Kann er auf der Treppe aufrecht stehen, ohne mit dem Kopf an die Stufe über sich zu stoßen? Notiere deine Rechnung. c) Betrachte nun die gesamte Trittfläche einer Stufe. c1) Konstruiere diese Trittfläche im Maßstab 1 : 10. Zeichne in deine Unterlagen. c2) Berechne den Inhalt der Trittfläche einer Stufe. d) Die Außenmauer des fensterlosen Turms soll gestrichen werden. Berechne den Inhalt der Fläche, die gestrichen werden soll. e) Am gestrichenen Turm soll ein Abflussrohr für Regenwasser befestigt werden. Dafür wird eine ausziehbare Leiter verwendet. Der untere Abstand der Leiter zum Turm beträgt dabei 1,50 m. Stelle eine Funktionsgleichung auf, mit der die Länge l der Leiter in Abhängigkeit von der Höhe h berechnet werden kann. 3

4 Finale Prüfungstraining NRW 2010 Zentrale Prüfung 10 Prüfungsteil 2: Aufgabe 4 Der Innenraum der Parabelkirche ist renoviert worden. Die Kirche wird so bezeichnet, weil in ihr eine Vielzahl parabelförmiger Bögen zu sehen ist. a) In einem geeigneten Koordinatensystem, dessen x- Achse auf dem Boden der Kirche verläuft, kann die in Bild 1 eingezeichnete Parabel näherungsweise durch die folgende Gleichung beschrieben werden: y = 0,2 x (Werte für x und y in Metern) a1) Wie hoch ist der Bogen, in den die Parabel gezeichnet wurde? a2) Zeichne das geeignete Koordinatensystem mit Einteilung der Achsen in Bild 1 ein. a3) Die Kirche ist symmetrisch gebaut worden. Zur Beleuchtung sind jeweils 5,50 m rechts und links der Mitte Lampen in den parabelförmigen Bögen aufgehängt worden (Bild 1). Die Unterkanten der Lampen befindet sich 5,50 m oberhalb des Bodens. Die Lampen selbst sind 1,20 m hoch. Wie lang ist beim Bogen aus Bild 1 das Drahtseil, mit dem die Lampe an der Decke befestigt ist? Notiere deine Rechnung. a4) In 25,50 m Höhe wurde ein Gerüst in diesem Bogen aufgebaut, um die Decke zu streichen (Bild 2). Wie breit kann die Arbeitsfläche des Gerüstes höchstens sein? Notiere deine Rechnung b) Die mit der Renovierung beauftragte Firma schickt dem Bauherrn eine Rechnung über Der Bauherr vereinbart mit der Firma, dass er den Rechnungsbetrag auch deutlich später bezahlen darf. Bis zur Zahlung wird der Rechnungsbetrag allerdings monatlich mit 0,75 % verzinst. b1) Wie viel müsste der Bauherr nach einem Monat zahlen, wie viel nach zwei Monaten? Notiere deine Rechnung. b2) Wie viel müsste der Bauherr nach einem halben Jahr zahlen? Notiere deine Rechnung. b3) Gib eine Funktionsgleichung an, mit der berechnet werden kann, wie viel der Bauherr nach x Monaten zahlen müsste. 4

5 Lösungen Zentrale Prüfung 10 Finale Prüfungstraining NRW 2010 Lösungen zu den Original-Prüfungsaufgaben 2009 Prüfungsteil 1 Aufgabe 1 a) Idee: Zerlegen und Ergänzen Der Flächeninhalt beträgt ungefähr 13 cm 2. (Hier sind Abweichungen von 1,5 cm 2 zulässig. Beim Ausdrucken kann es zu möglichen Verzerrungen kommen, die zu anderen Ergebnissen führen können.) Es sind verschiedene Strategien möglich, zum Beispiel: c) Entscheidung für Stunden Z. B. kann man ausgehend von einem Schätzwert, z. B. 70 Jahre, näherungsweise mit 365 Tagen und 24 Stunden pro Tag rechnen und erhält: 70 Jahre = Stunden = Stunden. Oder man rechnet z. B. den größten der gegebenen Werte in Jahre um: : (365 24) 684,9. Dies ist offensichtlich um den Faktor 10 zu groß, also ergibt sich ebenso als richtige Antwort. Zerlegt man die Figur entlang einer Strecke AB, so ergänzt die dunkelgraue Fläche die Restfläche zu einem Rechteck, der Flächeninhalt ergibt sich als Produkt der Seitenlängen. Eine weitere Möglichkeit ist die Zerlegung in zwei Parallelogramme, auch hier ergänzen die dunkelgrauen Flächen wieder die fehlenden Teilflächen. Die Flächeninhalte der beiden Parallelogramme ergeben sich als Produkt aus Grundseite und Höhe. b) Bei durchschnittlich 300 Zeichen pro Minute benötigt man ungefähr 10 Minuten. Mögliche Rechenwege sind u. a.: i) Der Text enthält Zeichen, das sind 2990 Zeichen. Bei 300 Zeichen pro Minute benötigt man also 2990 : 300 min 10 min. ii) In der unbekannten Zeit x sollen bei 300 Zeichen pro Minute genauso viel Text geschrieben werden wie in 13 Minuten bei 230 Zeichen pro Minute: _ x 300 = ; x = d) 70 Stühle sind grün (Aufgrund von akzeptierten Messungenauigkeiten von ± 3 bei der Winkelmessung sind Angaben von 68 bis 72 Stühlen möglich). Aus der Grafik ist der Anteil der grünen Stühle zu bestimmen. Dazu misst man den Winkel des zugehörigen Kreissausschnitts und erhält 103 (Messungenauigkeiten von ± 3 werden akzeptiert). Damit beträgt der Anteil der grünen _ Stühle an der Gesamtzahl von 245 Stühlen, _ das sind Stühle. e) Für jedes Gespräch muss sie 0,15 bezahlen. Der Gesamtbetrag von 16,60 setzt sich zusammen aus dem Grundbetrag von 10 und 44-mal dem unbekannten Betrag x für ein Einzelgespräch, also gilt: x = 16,60 ; x = (16,60 10 ) : 44 = 0,15 Man kann hier natürlich auch schrittweise vorgehen: Subtrahiert man von dem Gesamtbetrag die Grundgebühr, so erhält man den Betrag für die Gesprächsgebühren: 16,60 10 = 6,60. Der Betrag für eines der 44 Gespräche ist also 6,60 : 44 = 0,15. f) Die Ziffern vor dem Komma werden bei Nina und Martin gleich verarbeitet, die Betrachtung ist also unabhängig davon. Die Ergebnisse zu f1) und f2) erhält man schnell durch systematisches Probieren: 5

6 Finale Prüfungstraining NRW 2010 Zentrale Prüfung 10 Lösungen f1) Wähle als Zahl 1,1; dann erhält Nina 2 1,1 = 2,2 2 Martin 1,1 1; Die beiden Ergebnisse sind gleich. f2) 1,2 führt ebenfalls zu gleichen Ergebnissen, also wähle 1,3; dann erhält Nina 2 1,3 = 2,6 3 Martin 1,3 1; 2 1 = 2 Die beiden Ergebnisse sind nicht gleich. f3) Die Differenz beträgt höchstens 1, dies erkennt man schnell, wenn man die Tabelle (in Gedanken) weiterführt: Zahl Nina Martin 2 runden runden 2 1,1 2, ,2 2, ,3 2, ,4 2, ,5 3, ,6 3, ,7 3, ,8 3, ,9 3, Prüfungsteil 2 Aufgabe 2 a) Der Tacho darf höchstens 59 km h anzeigen. Er darf 10 % mehr anzeigen als die tatsächliche Geschwindigkeit, also 50 km _ h = 5 km h, zusätzlich 4 km h, insgesamt also 50 km h + 5 km h + 4 km h = 59 km h. Oder kurz notiert: 50 km h 1,1 + 4 km h = 59 km b) Die tatsächliche Geschwindigkeit beträgt mindestens 81,8 km h. Strategie: Rückwärtsrechnen. 94 km h sind zunächst um die addierten 4 km h zu verringern, die sich ergebenden 90 km h könnten jetzt 110 % der tatsächlichen Geschwindigkeit sein. Diese betrug also mindestens 90 km _ h ,8 km h. Oder kurz notiert: (90 km h 4 km h ) : 1,1 81,8 km h. h. c) Jessicas Formel ist falsch. Die Multiplikation mit 1,04 ergibt einen Wert für die Tacho-Anzeige, der nur 4 % über der gefahrenen Geschwindigkeit liegt (1,04 = = _ 100 _ _ = 1 + _ ). Dadurch überflüssig, aber zur eigenen Sicherheit sinnvoll: Annas Formel ist richtig, der Term v : 10 ergibt gerade die zu addierenden 10 %, auch Mehmets Formel ist richtig, hier bewirkt der Faktor 1,1 wie in obigen Kurzschreibweisen, dass 110 % und damit die Erhöhung um 10 % der tatsächlichen Geschwindigkeit in der Formel berücksichtigt werden. d) d1) Dem Text entnimmt man, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Tacho in Ordnung ( ) ist, 0,95 betragen soll. Demzufolge beträgt die Wahrscheinlichkeit für das Gegenereignis 0,05. Da zwei Tachos überprüft werden, ist ein zweistufiges Baumdiagramm zu zeichnen. 0,95 0,05 Tacho 1 Tacho 2 0,95 0,05 0,95 0,05 (*) (*) d2) Der Fall, dass beide Tachos in Ordnung sind, wird im obigen Baumdiagramm durch den oberen Pfad ( ) beschrieben. Die zugehörige Wahrscheinlichkeit berechnet sich durch Multiplikation der Einzelwahrscheinlichkeiten entlang des Pfades: 0,95 0,95 = 0,9025 d3) Ein Tacho ist in Ordnung und der andere nicht. wird in dem Baumdiagramm durch die zwei mit (*) gekennzeichneten Pfade wiedergegeben. Es sind also zunächst die Wahrscheinlichkeiten der beiden einzelnen Pfade (durch Multiplikation) zu bestimmen und die Ergebnisse zu addieren. 0,95 0,05 + 0,05 0,95 = 0,095 Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Tacho in Ordnung ist und der andere nicht, beträgt 0,095. 6

7 Lösungen Zentrale Prüfung 10 Finale Prüfungstraining NRW 2010 e) Idee: Übergang zur Gegenwahrscheinlichkeit Mindestens einer ist nicht in Ordnung umfasst alle Fälle, in denen auch nur ein Tacho nicht in Ordnung ist. Damit bleibt nur ein Fall übrig, in dem alle vier Tachos in Ordnung sind. Die Wahrscheinlichkeit dafür beträgt bei vier Tachos 0,95 0,95 0,95 0,95 = 0,95 4 0,815. Da die Summe aller Wahrscheinlichkeiten 1 ist, beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von vier geprüften Tachos mindestens einer nicht in Ordnung ist, 1 0,95 4 0,185. c) c1) Die angegebenen Maße sind auf den Maßstab 1 : 10 umzurechnen. Der innere Radius beträgt r i = 1 cm, die Hälfte des Durchmessers des Kerns, der äußere beträgt r a = 9 cm (8 + 1). Der Mittelpunktswinkel beträgt bei 12 Stufen 30 (360 : 12). Aufgabe 3 Für die Bearbeitung dieser Aufgabe ist es besonders wichtig, dass man die jeweilige Situation erfasst und sich aus den vielfältigen Angaben in Text und Skizze die jeweils sinnvollen auswählt. a) Jede Stufe hat eine Höhe von 18 cm, insgesamt ist eine Höhe von 16,20 m zu überwinden. Dazu benötigt man (unter der Voraussetzung, dass die oberste Stufe in der Höhe der Aussichtsplattform ist) 90 Stufen: 16,20 m : 0,18 m = 90. b) Da 12 Stufen eine vollständige Drehung ergeben, befindet sich genau über der 1. Stufe die 13. Stufe. Zwischen der Oberseite der 1. Stufe und der Unterseite der 13. Stufe beträgt der Freiraum elfmal die Stufenhöhe (vgl. die Abwicklung in untenstehender Zeichnung). Damit ist zwischen zwei Stufen, die sich direkt übereinander befinden cm = 198 cm Platz. Dies genügt nicht, damit der 202 cm große Herr Meyerbohm aufrecht stehen kann. c2) Entsprechend der obigen Zeichnung ergibt sich die Trittfläche einer Stufe aus einem großen Kreisausschnitt; von dessen Flächeninhalt ist der des kleinen Kreisausschnitts zu subtrahieren. Da der Mittelpunktswinkel 30 beträgt, handelt es sich um ein Zwölftel der jeweiligen Kreisfläche. A g = 1 12 π (90 cm)2 = 2120,57 cm 2 A k = 1 12 π (10 cm)2 = 26,17 cm 2 A = A g A k = 2 094,39 cm cm 2 Die Trittfläche ist ca groß. d) Bei der Außenfläche des Turmes handelt es sich um die Mantelfläche eines Zylinders. Zu bestimmen sind also die Höhe des Zylinders und der Radius der Grundfläche. Die Höhe kann als Höhe der Aussichtsplattform mit h = 16,2 m angenommen werden. Der Radius der Grundfläche setzt sich zusammen aus dem Radius des Kerns (10 cm), der Breite der Stufen (80 cm) und der Dicke der Außenwand (30 cm). Für die Mantelfläche ergibt sich (vgl. Formelsammlung): M = u h = 2 π r h = 2 π (0,1 m + 0,8 m + 0,3 m) 16,2 m = 38,88 πm m 2 5 Punkte 7

8 Finale Prüfungstraining NRW 2010 Zentrale Prüfung 10 Lösungen e) Nimmt man an, dass der Turm senkrecht steht, liegt am Fuß des Turmes ein rechter Winkel vor. Damit kann der Satz des Pythagoras angewandt werden und mit den Bezeichnungen der Skizze, h für die Höhe der Leiter und l für die Länge der Leiter, ergibt sich l 2 = h 2 + (1,5 m) 2. Da l positiv ist, gilt l = _ h 2 (+ 1,5 m) 2. Als Funktionsgleichung für l in Abhängigkeit von h schreibt man dann l(h) = _ h 2 + (1,5 m) 2. Aufgabe 4 a) a1) Der höchste Punkt ist der Scheitelpunkt der Parabel. Im allgemeinen Fall mit y = a (x + b) 2 + c bewirkt der Parameter b eine Verschiebung der Parabel in Richtung der x-achse. Da hier b = 0 gilt, liegt der Scheitelpunkt auf der y-achse, den größten Funktionswert erhält man also, wenn man für x null einsetzt: y s = 0, = 28. Der Bogen ist also 28 m hoch. a2) Nach a1) kennt man die Koordinaten des Scheitelpunktes S(0 28). Für die Nullstellen löst man die Gleichung 0,2x = 0; 0,2x 2 = 28; x 2 = 140; x 11,8 bzw. x 11,8. Man zeichnet das Koordinatensystem wie unten ein und misst die Längen der Strecken OS und ON. Die Länge für eine Maßeinheit auf der jeweiligen Achse erhält man durch OS _ 28 bzw. ON 11,8. Die Art und Weise der Skalierung sollte dann der im Unterricht üblichen entsprechen. Zum Beispiel: a3) Im Koordinatensystem befinden sich die Lampen symmetrisch zur y-achse, die Unterkante U in einer Höhe von 5,5 m, die Oberkante L der Lampe in einer Höhe von 5,5 m + 1,2 m = 6,7 m. Die Deckenhöhe erhält man als Funktionswert an der Stelle 5,5 zu 0,2 (5,5 m) m = 21,95 m. Damit muss das Seil 21,95 m 6,7 m, also 15,25 m, lang sein. a4) Zeichnet man in den Graphen eine Parallele zur x-achse in einem Abstand von 25,5 Einheiten (siehe Abbildung zu a3)), so erkennt man, dass zur Lösung der Aufgabe die Schnittstellen dieser Parallelen mit dem Funktionsgraphen bestimmt werden müssen, also die Stellen, an denen der Funktionswert 25,5 ist. 0,2 x = 25,5 0,2 x 2 = 2,5 x 2 = 12,5 x = 12,5 oder 12,5 Die Arbeitsfläche kann also maximal 2 12,5, das sind etwa 7,07 m, breit sein. b) b1) Der Rechnungsbetrag von ist monatlich mit 0,75 % zu verzinsen. Nach dem _ ersten Monat sind also , = 300 Zinsen zu zahlen, insgesamt also Nach dem zweiten Monat sind zusätzlich _ , = 302,25 Zinsen zu zahlen, also insgesamt 40602,25. Schneller ist die Berechnung mit dem Zinsfaktor _ 1 + 0, = 1,0075: 1. Monat: ,0075 = Monat: ,0075 = 40602,25. b2) Man kann die Rechnung aus b1) bis zum 6. Monat fortsetzen. Deutlich schneller ist die Übertragung der Zinseszinsformel (siehe Formelsammlung, K n = K 0 q n ): , = 41834,0894. Nach einem halben Jahr muss der Bauherr 41834,09 bezahlen. 8

9 Lösungen Zentrale Prüfung 10 Finale Prüfungstraining NRW 2010 b3) Wie schon in b2) angegeben, berechnet man dies mit der Zinseszinsformel. Für jeden weiteren Monat muss man den bis dahin fälligen Rechnungsbetrag mit dem Zinsfaktor multiplizieren. Als Funktion notiert man z. B. K(x) = ,0075 x, wobei x hier für die Anzahl der Monate steht. Übersicht über die Punkteverteilung Prüfungsteil 1: Aufgabe 1 21 Prüfungsteil 2: Aufgabe 2 20 Prüfungsteil 2: Aufgabe 3 22 Prüfungsteil 2: Aufgabe 4 21 Umgang mit Maßeinheiten 3 Darstellungsleistung 6 Gesamt 93 Notentabelle Note Punkte sehr gut gut befriedigend ausreichend mangelhaft ungenügend 0 16 Bildquellen Es ist leider nicht gelungen, die Rechteinhaber zu erreichen. Ansprüche der Rechteinhaber werden selbstverständlich im Rahmen der üblichen Konditionen abgegolten. 9