34. Elektromagnetische Wellen

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1 Elektizitätslehe Elektomagnetische Wellen 3. Elektomagnetische Wellen 3.. Die MXWELLschen Gleichungen Die MXWELLschen Gleichungen sind die Diffeentialgleichungen, die die gesamte Elektodynamik bestimmen. Wi kennen sie paktisch schon, sie sollen hie nu noch einmal zusammengestellt weden. Zuvo noch eine Veallgemeineung: de Veschiebungsstom Wi laden einen Kondensato auf um den Stom heum baut sich ein Magnetfeld auf. Was ist jedoch im Kondensato-Innenaum? Zwischen den Platten existiet ein veändeliches elektisches Feld D &, um das heum sich ebenfalls ein Magnetfeld bildet. De Veschiebungsstom ε E& + P& ε ε E& D& I v () ist ebenso feldezeugend wie ein ichtige Stom (d.h. fließende Ladungen) Kommenta: Mit Mateie im Kondensato kann man sich I V soga als Bewegung de Polaisationsladungen vostellen. be eigentlich ist es die Tatsache, dass ein D & ein otieendes H -Feld ezeugt, so wie B & ein otieendes E -Feld schafft. Die folgende Gleichung muss also eweitet weden H d I Fläche j d (9- ) Kuve um H d j d + I ges duch d dt D d Veschiebungsstom () Dies ist die Integalfom des Duchflutungsgesetzes (. MXWELLsche Gleichung ). 6

2 Wie in <3..> bilden wi die diffeentielle Fom von Gl. () Elektizitätslehe Elektomagnetische Wellen & ot H D + j (3) Es waen Φ m B d Fläche (9-3) und Φ & m E d (3- ) geschl. Kuve Duch Gleichsetzen ehält man K E d d dt B d () Gl. () ist das Induktionsgesetz (. MXWELLsche Gleichung ). Seine diffeentielle Fom kennen wi schon & ot E B (3-8) Die sogenannte 3. MXWELLsche Gleichung in integale und diffeentielle Fom lautet D d div D Qges ρ (5- ) (5) (5- ) (6) Die analogen usdücke fü das Magnetfeld lauten bekanntlich B d div B (9- ) (9- ) Diese beiden Gleichungen dücken die Tatsache aus, dass keine magnetischen Ladungen existieen Die Gleichungen (), (3), (), (3-8), (5), (6), (9 - ) und (9 - ) sind die MXWELLschen Gleichungen. In den Gl. (5 - ) und (5 - ) stand lediglich E ε D 7

3 3.. Elektomagnetische Wellen: Einfühung Elektizitätslehe Elektomagnetische Wellen In <3..> haben wi bei de Heleitung de LENZschen Regel gesehen:... dass ein veändeliche Magnetfluss nach dem Induktionsgesetz (Gl. (3 - )) in einem Leiteing einen Stom hevouft, de ein Magnetfeld besitzt, das seine Entstehungsusache entgegengesetzt ist. (X) & Nun zeigen uns die MXWELLschen Gleichungen, dass D (ein zeitlich veändeliches elektisches Feld) völlig äquivalent zu einem ichtigen (Leitungs-) Stom ist (Gl. () bzw. (3)), d.h., die oben dagestellte Feldanodnung (X) bildet sich auch ohne Leite Kommenta: & Entscheidend ist, dass D ist, denn dies ist äquivalent zu j. Wenn zufällig B const. ist, ist D und es gibt kein sekundäes Magnetfeld. & & Wenn abe z.b. B (t) eine sin- ode cos-funktion folgt, sind alle aufeinandefolgenden bleitungen wiede sin-/cos-funktionen und dahe nie konstant. wie beispielhaft in de bbildung dagestellt, egibt sich in unendliche Folge: veändeliches magnetisches Feld B & daum otieendes elektisches Feld daum otieendes magnetisches Feld, usw. Dies ist eine elektomagnetische Welle 3.3. Ebene Elektomagnetische Wellen uch fü die elektomagnetischen Wellen gilt das in <6.> Gesagte, also: Eine Welle ist die äumliche usbeitung eines Schwingungszustandes. Die allgemeine (eindimensionale) mathematische Fom lautet y(x, t) f (x vph t) f ( ) (6- ) Diese ussage gilt so nu fü den Fall ohne Leiteing, mit Leiteing existiet wegen des fließenden Stomes natülich ein sekundäes Magnetfeld 8

4 Elektizitätslehe Elektomagnetische Wellen lso sind x und t übe vekoppelt. Es ist keine Peiodizität nötig (z.b. Stoßwelle) Besondes wichtig sind hamonische Wellen (sin- ode cos-funktionen) Eine ebene hamonische elektomagnetische Welle hat also folgende Gestalt E E sin( ωt k x) k... Wellenzahl (7) mit k π λ Zu Einneung: Es gilt auch v Ph ω k (6- ) Wi übelegen uns jetzt an Hand de MXWELLschen Gleichungen die Gundeigenschaften de elektomagnetische Wellen:.) Elektomagnetische Wellen sind tansvesal, d.h. die Felde sind senkecht zu usbeitungsichtung oientiet. S... Vekto in usbeitungsichtung ( H ist hie die zweckmäßigee Bescheibung fü das Magnetfeld) Dass es eine Longitudinalwelle ist, lässt sich ausschließen. Eine solche Welle (unten) hätte Quellen und Senken: Da es abe Quellen/Senken fü E bzw. D ( Ladungen) im leeen Raum nicht gibt und fü B bzw. H übehaupt nicht gibt, kann es sich nicht um Longitudinalwellen handeln 9

5 Elektizitätslehe Elektomagnetische Wellen.) Elektisches und magnetisches Feld stehen senkecht aufeinande. Wi betachten eine Leiteschleife (Fläche, Randkuve K) im Feld eine elektomagnetischen Welle, die um die usbeitungsichtung de elektomagnetischen Welle dehba gelaget ist. us de Kenntnis, dass E, D imme zu S stehen müssen, folgt sofot, dass dies auch fü E &, D & gelten muss. In de gezeichneten Dastellung ist D & d max. Lt. Gl. () muss damit auch H d max. K sein, d.h. H bzw. B liegen in de Leiteschleifenebene, also senkecht zu E, D 3.) Elektisches und magnetisches Feld sind in Phase, d.h. Maxima, Minima und Nullduchgänge befinden sich an gleiche Stelle. Wi betachten wiede die beeits vewendete Leiteschleife, deen Lage jetzt jedoch entlang de usbeitungsichtung de elektomagnetischen Welle vaiiet wid.

6 Elektizitätslehe Elektomagnetische Wellen In de gezeichneten Stellung fängt die Leiteschleife D & d max. ein, da D & am Punkt (3) maximal wid Lt. Gl. () muss damit auch wiede H d max. K sein, d.h. H muss bei () und () ein Maximum haben, so wie D.) usbeitungsgeschwindigkeit: Wi betachten Gl. () fü die Leiteschleife in de unte 3.) dagestellten Position zum Zeitpunkt t : H d K D & d & D d D d D b dx b 3 λ λ ε ε E& dx us Gl. (7) wid E& ω E cos( ωt k x) Dies nun fü eine Momentaufnahme bei t betachtet egibt E& ω E cos( k x) ω E cos(k x) Mit diesem Egebnis nimmt das Duchflutungsgesetz folgende Fom an H d K 3 λ b ε ε ω E cos kx dx bh λ Nach Lösen de Integale egibt sich 3 bh b ε ε ω E (sin π sin π) k - Hiebei wude ausgenutzt, dass die cos-funktion eine geade Funktion ist.

7 Elektizitätslehe Elektomagnetische Wellen Wi lassen das Minuszeichen weg, da es uns nu um die Betäge geht und vewenden die Beziehung k v ω so dass sich unse Egebnis scheiben lässt als H ε ε v E (8) nalog folgt aus Gl. () (. MXWELLschen Gleichung) E µ µ v Η (9) Gleichsetzen und umstellen von Gl. (8) und (9) liefet v εε µµ () fü die Phasengeschwindigkeit de elektomagnetische Welle in einem Medium (ε, µ). Im Vakuum (ε µ ) folgt aus Gl. () v Vakuum c ε µ (9-9) 3.. Enegiedichte und Enegiestömung Fü eine elektische ode magnetische Felde wa die Enegiedichte w elekt E D ε ε E (8-6) bzw. w magn B H µ µ H (3-3) Im elektomagnetischen Wellenfeld ist w w elekt. + w magn. ( ε ε E + µ µ H ) () Damit hätten wi jetzt Gl. (9-9) ichtig hegeleitet

8 Elektizitätslehe Elektomagnetische Wellen Umstellung von Gl. (8) und (9) nach v und Gleichsetzung liefet H E E εε E v H µµ ε ε µ µ H () Wenn Gl. () fü die mplituden E, H gilt, gilt sie auch fü E(t) lt. Gl. (7) sowie fü H(t). Zu Enegiedichte lt. Gl. () tagen magnetisches und elektisches Feld je zu Hälfte bei: w ( ε ε E + µ µ H ) ε ε E µ µ H ( ) Zu Bescheibung de Enegiestömung vewendet man die Enegiestomdichte S S w v Enegiedichte usbeitungsgeschwindigkeit Wenn wi hie Gl. () und ( ) einsetzen, folgt S ε ε εε E E εε µµ µµ (3) us Gl. () folgt nach Umstellung H εε E µµ deshalb kann Gl. (3) auch geschieben weden als S w v E H In Vektoscheibweise (die Enegiestomdichte hat Betag und Richtung) ausgedückt: S E H S wid auch als Poynting-Vekto bezeichnet. Stahlungsduck: Die Enegiedichte w hat die Dimension [Enegie] [Kaft] [Weg] [Kaft] [ w] [Duck] [Volumen] [Volumen] [Fläche] Dies kann tatsächlich als Duck intepetiet weden. () (5) 3

9 Elektizitätslehe Elektomagnetische Wellen Kommenta: De Stahlungsduck ist eine allgemeine Eigenschaft fü jede Welle, da jede Welle Impuls tanspotiet (Schallwellen, etc.) Natülich spielt die Richtung eine Rolle, deshalb wid e besse als Enegiestomdichte/usbeitungsgeschwindigkeit ausgedückt, z.b. S v. Dies hat auch den Betag w, abe die Duckichtung ist übe S mit enthalten. De Stahlungsduck ist im llgemeinen geing, abe e vehindet den Kollaps im Innen von Stenen (duch Gavitation) ode beeinflusst die Bahn kleinee Satelliten De Dipoloszillato Bei einem elektischen Schwingkeis (vgl. <33..>) ist das Magnetfeld auf das Spuleninnee beschänkt, das elektische Feld auf den Plattenzwischenaum beschänkt: Fü die usbildung eines otieenden E -Feldes um B & bzw. eines otieenden H -Feldes um D & ist kein Platz Bei wenige idealen Bauteilen geht dies abe uße den OHMschen Velusten teten nun auch bstahlungsveluste auf: Weitee Veeinfachung:

10 Elektizitätslehe Elektomagnetische Wellen De gesteckte Daht kann duch Einkopplung elektomagnetische Schwingungen mit ω ω (Resonanzfequenz) zu einem elektischen Oszillato (elektische Dipol mit zeitlich veändelichem Dipolmoment) gemacht weden. Wi schauen uns nun das Schwingen eines solchen Dipols an. t Pinzipdastellung Spannungsveteilung Stomveteilung T T 3 T Fü t T stellt sich de gleiche Zustand ein wie bei t. Es hescht also ein ständiges Pendeln zwischen den Extemen: a) maximale ufladung de Enden: p max. ; U max.; I, und b) keine ufladung de Stabenden: p U ; I max. Kommenta: zu Stom-Veteilung De Stom I ist an den Enden imme Null, da ja (in völlige nalogie zu stehenden mechanische Welle) dot Schluss ist. Eigenfequenz: Man ekennt aus den bbildungen (wiede analog den mechanischen Wellen), dass gilt λ l 5

11 Elektizitätslehe Elektomagnetische Wellen Damit folgt aus de bekannten Beziehung c ν λ dass c ν l, und nach Umstellung egibt sich ν c l (6) Beispiel: Wi betachten einen Dipolstab mit l 3 m. Mit Gl. (6) ehält man ν m s 3 m MHz s Untesuchen wi nun die Feldabstahlung Wenn ein Dipol duch Ladungstennung neu entsteht, entsteht auch sein Dipolfeld. Es kann nicht sofot übeall sein, sonden beitet sich vom Dipol mit Lichtgeschwindigkeit aus. bei T + dt beginnt die E -Feld-usbeitung bei T ist die geade losgeschickte Feldstäke maximal bei 3 T dt höt die usbeitung auf bei 3 T + dt beginnt die E -Feld-usbeitung in de Gegenichtung Diese Vogang lässt sich schwieig vostellen, denn es heschen a) ein zeitlich veändeliches Dipolmoment p (t) und b) eine endliche usbeitungsgeschwindigkeit. nalog fluktuiet das H -Feld mit de Stomstäke: bei + dt beginnt die H -Feld-usbeitung bei bei bei T ist die geade losgeschickte Feldstäke maximal T dt höt die bstahlung auf T + dt beginnt die H -Feld-usbeitung in de Gegenichtung 6

12 Elektizitätslehe Elektomagnetische Wellen Veanschaulichung: Wi betachten die Feldstäke in de Mittelebene bei t T + t Richtchaakteistik eines Dipols: Die maximale Emission efolgt senkecht zum Dipol und ist otationssymmetisch. Ein magnetische Dipol ist ein mit HF beschickte Stoming. ({}, S. 3} 7

13 Elektizitätslehe Elektomagnetische Wellen Die Feldlinien von H entspechen denen des E -Feldes des elektischen Dipols und umgekeht. uch die Richtchaakteistik, etc. sind völlig gleich. Es besteht eine begiffliche Schwieigkeit: Die Fluktuation des Keisstomes und damit von H ist veständlich. Fü das elektische Feld E gibt es abe im Fall des magnetischen Dipols eine solche gegenständliche Feldquelle nicht. Es sind eben eigentlich imme nu die MXWELLschen Gleichungen, mit den otieenden Felden 3.6. Wellengleichung Elektomagnetische Wellen sind spezielle Lösungen de MXWELLschen Gleichungen. Wi wollen die völlige innee Einheit alle ten von Wellen deutlich machen. Die D LEMBERTsche Wellengleichung (eindimensional) wa lt. <6..> x y v Ph y (6-6 ) Damals wa y die uslenkung bei eine mechanischen Welle. Die elektomagnetischen Wellen müssen natülich eine völlig analogen Gleichung gehochen. Wi scheiben das Induktionsgesetz in diffeentielle Fom unte Vewendung des Nabla-Opeatos i + j + k x y z wobei i, j und k die Einheitsvektoen in x-, y- und z-richtung sind. B ot E E (3-8) nwendung von auf beiden Seiten egibt ( E) B Mathematische Umfomung liefet ( E) E ( B) ot B ρ div E (im feien Raum) (7) ε 8

14 Elektizitätslehe Elektomagnetische Wellen Bekanntlich ist & ot H D + j (3) Wenn wi die dei dain enthaltenen Gößen esetzen mit H B, µ D & & ε E und j (letztees, weil de Raum lee ist), dann folgt aus Gl. (3) ot B µ ε & E (8) Gl. (8) nach de Zeit t abgeleitet egibt ot B µ ε E (wegen Gl. (9-9) c (9) Mit Gl. (9) können wi Gl. (7) scheiben als E c E (a) bzw. in Komponentenscheibweise E x E + y E + z E c E (b) Dies ist die D LEMBERTsche Wellengleichung fü das elektische Feld E, völlig analog zu Gl. (6-6). Genauso kann man fü das magnetische Feld B heleiten B c B () Wi wollen uns hie jedoch die Komponentendastellung schenken. 9

15 Elektizitätslehe Elektomagnetische Wellen Kommenta: Eigentlich eicht Gl. () ode Gl. (), weil E B und D H übe die MXWELLschen Gleichungen miteinande veknüpft sind