Grundlagen der Elektrotechnik II

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1 Volesungsfolien Gundlagen de Elektotechnik II Lehstuhl fü Allgemeine Elektotechnik und Plasmatechnik Pof. D. P. Awakowicz Ruh Univesität Bochum SS 009

2 Die Volesung wid in Anlehnung an das Buch von Pof. D. Reinhold Pegla / Univ. Hagen gehalten: Reinhold Pegla, Gundlagen de Elektotechnik, Hüthig Velag Heidelbeg (49 ) altenativ zu empfehlen: Manfed Albach, Gundlagen de Elektotechnik, Peason Studium (9,95 )

3 Inhalt de Volesung Elektotechnik II im SS 009 (siehe auch R. Pegla, Gundlagen de Elektotechnik ) 5. Das magnetische Feld Volesungsfolien Teil I 5.9 De magnetische Keis 5.0 Anwendungen de magnetischen Kaftwikung 6. Die elektomagnetische Induktion 6. Induktionsvogänge 6. Das Induktionsgesetz 6.3 Das induziete elektische Feld 6.4 Beispiele zum Induktionsgesetz 6.5 Selbstinduktion und Gegeninduktion 6.6 Beechnung von Induktivitäten und Gegeninduktivitäten 6.7 Enegie im magnetischen Feld 6.8 Wibelstöme und Stomvedängung 6.9 Die Gundgleichungen des elektomagnetischen Feldes 8. Wechselstöme und Netzweke Volesungen Gundlagen de Infomationstechnik und Schaltungstheoie 8. De Tansfomato Volesungsfolien GdE II 3

4 5.9 De magnetische Keis Wi haben gesehen: Hochpemeable Stoffe fühen das magnetische Feld. Dahe weden sie auch magnetische Leite genannt. Wi wissen: Die magnetischen Feldlinien sind in sich geschlossen. Dahe muss zu vollständigen Fühung eine Anodnung aus magnetischen Leiten geschlossen sein: de magnetische Keis De magnetische Fluss Im Folgenden soll gezeigt weden, dass es eine skalae Göße gibt, magnetische Fluss genannt, die analog zum Stom I im Φ elektischen Keis innehalb eines magnetischen Leites konstant ist. Dazu wid ein magnetisches Leitestück (Bild 5.7) betachtet: Bild 5.7 Volesungsfolien GdE II 4

5 Diese Leitestück duchschneide eine geschlossene Fläche A. Links schneide de Leite aus A die Fläche A heaus, echts A. Wendet man nun den Gaußschen Satz auf die geschlossene Hüllfläche A an, so gilt: 0 A B da A B da + B A da, da da da und entgegengesetzt sind und da außehalb des magnetischen Leites das Feld venachlässigba ist. Daaus egibt sich: A B da B da const. Φ A m (5.55) die Definition des magnetischen Flusses und seine Konstanz innehalb eines magnetischen Leites (analog zum el. Stom). Fü die Einheit gilt: [ ] Vs Wb Tm Φ m Volesungsfolien GdE II 5

6 Wid die mag. Flussdichte in einzelnen Abschnitten als homogen betachtet, dann egibt Gl. (5.55): Φ m B A B A B, (5.56) 3A3 wobei die Flächen A i senkecht zu den Feldlinien de mag. Flussdichte B liegen müssen. Im Beispiel von Bild 5.8 sind die Flächen A i genügend weit von den Ändeungen des Queschnittes entfent. Bild 5.8 Mit Gl. (5.56) kann man die elative Göße de magnetischen Flussdichte B in jedem Queschnitt angeben. Damit ist B um so göße, je kleine de Queschnitt des magnetischen Leites ist. Volesungsfolien GdE II 6

7 B Im Gegensatz zu Flussdichte ist de Fluss φ eine skalae Göße. Das Vozeichen von φ ist abhängig von de Richtung de Flächennomalen zu Richtung von B. Die Zählichtung des Flusses gibt an, nach welche Seite de Queschnittsfläche die Flächenvektoen zeigen. De Fluss hat dann ein positives Vozeichen, wenn die Linien de mag. Flussdichte die Fläche in Richtung des Zählpfeiles duchstoßen Das Ohmsche Gesetz des magnetischen Keises Es liegt nahe, mit den obigen Gesetzmäßigkeiten, die analog zum elektischen Leite sind, den magnetischen Keis zu betachten (Bild 5.9). Bild 5.9 Die Queschnittfläche A sei längs des Leites konstant. De mittlee Keisumfang sei l m. Volesungsfolien GdE II 7

8 De Keisumfang sei wesentlich göße als die Queschnittabmessungen (z.b. Duchmesse). Mit R >> gilt: B konst. Damit wid: Φ m BA mit de gewählten Zählichtung von φ m in Richtung B. Ebenso kann B auch als Mittelwet de mag. Flussdichte übe den Queschnitt aufgefasst weden. Um die Flussdichte zu ezeugen, ist eine magn. Eegung nötig: H B µ µ 0 Diese wiedeum wid nach dem Duchflutungsgesetz duch einen Stom, genaue eine el. Duchflutung ezeugt: 0 I Θ H ds V m Hl m (*) Volesungsfolien GdE II 8

9 Die Integation von (*) ist längs eines mittleen Weges auszufühen, weil de Mittelwet von B etwa auf diesem mittleen Weg zu finden ist. Mit den obigen Gleichungen egibt sich: Θ 0 Φ (5.57) V m Rm m mit R m Θ Hlm lm (5.58) Φ µ H A µ µ A m µ 0 0 Da Gl. (5.57) fomal dem Ohmschen Gesetz URI entspicht, wid Gl. (5.58) als Ohmsches Gesetz des magnetischen Keises bezeichnet. Dabei ist R m de magnetische Widestand. Die Duchflutung Θ entspicht de Quellenspannung U und de magnetische Fluss φ m dem elektischen Stom I. Volesungsfolien GdE II 9

10 Mit diesen Analogien kann das Esatzschaltbild des magnetischen Keises (Bild 5.30) angegeben weden: Bild 5.30 Fü Stoffe mit vaiablem µ ist de magnetische Widestand R m nicht konstant, sonden eine Funktion de Eegung (siehe Hysteeseschleife) und damit eine Funktion von θ. Besteht de Keis aus Abschnitten unteschiedlichen Queschnitts, so hat jede Abschnitt eine zugehöige, unteschiedliche magn. Flussdichte B (Gl. (5.56)). Daaus folgt, dass auch die efodeliche magn. Eegung H in jedem Abschnitt unteschiedlich sein muss. Weitehin ist die Flussdichte auch noch abhängig von de jeweiligen eegungsabhängigen Pemeabilität µ 0 µ des Mateials des jeweiligen Abschnitts. Volesungsfolien GdE II 0

11 Die Randspannung ( gesamte magnetische Spannungsabfall) ehält man somit (im einfachen Keis) als Summe de magnetischen Spannungen de einzelnen Abschnitte: 0 V m H ds Hilmi i i V mi Damit wid Gl. (5.57) jetzt: 0 Θ V m Φ R, (5.59) wobei fü den magnetischen Widestand des jeweiligen Abschnitts gilt: m i mi R mi l µ mi iµ 0 A Die Gl. (5.59) entspicht de Kichhoffschen Maschenegel im einfachen elektischen Stomkeis. Volesungsfolien GdE II

12 Im Bild 5.3a ist ein einfache magnetische Keis mit unteschiedlichen Abschnitten eingezeichnet, in 5.3b das zugehöige Esatzschaltbild. Bild 5.3 a Bild 5.3 b Eisengeüste diese Fom kommen z.b. bei Tansfomatoen und Dosselspulen vo. Man bezeichnet die senkechten Teile als Schenkel, die waagechten als Joch. In Bild 5.3a sind jeweils die beiden Schenkel und die beiden Joche gleich. Dahe wuden diese im Esatzschaltbild 5.3 b zusammengefasst. Volesungsfolien GdE II

13 Die Beechnung des magnetischen Flusses in einem Keis ist kompliziet, da die Widestände R m unteschiedlich von Φ m abhängen. Es ist wesentlich einfache, von eine gefodeten magnetischen Flussdichte auszugehen:. Da de magnetische Fluss im einfachen Keis übeall gleich ist, können bei gegebene Flussdichte in einem Abschnitt in den andeen Abschnitten i die zugehöigen magnetischen Flussdichten B i bestimmt weden.. Zu diesen veschiedenen Flussdichten B i wid aus de Magnetisieungskuve die notwendige Eegung H i abgelesen. 3. Aus den H i wid die magnetische Spannung V mi mittels de mittleen Länge l mi des jeweiligen Abschnitts beechnet. 4. Alle Spannungen weden zu Null aufsummiet, bzw. egibt die Summe de Quellenspannungen Θ i die Spannungsabfälle in den Wideständen R mi. 5. Ist Θ vogegeben, muss man sich iteativ mit dem gleichen Vefahen an Φ heanabeiten. Volesungsfolien GdE II 3

14 5.9.3 De vezweigte magnetische Keis Anhand eines Beispiels soll in Analogie zum elektischen Stomkeis ein vezweigte magnetische Keis beechnet weden. Das Eisengeüst in Bild 5.3 wid fü Dehstomtansfomatoen vewendet. Bild 5.3 Zunächst wid die Kichhoffsche Knotenegel fü Punkt A angewendet, wobei zufließende Stöme negativ gesetzt weden: Φ Φ + Φ 0 (5.60) 3 Die Kichhoffsche Maschenegel fü das linke Fenste egibt: Θ m + R Φ Rm3Φ 3 (5.6a) Volesungsfolien GdE II 4

15 und fü das echte Fenste: Θ Rm Φ + Rm 3Φ3 (5.6b) Die Widestände R mi sind längs de Wege i zwischen den Punkten A und B gesetzt. Dahe setzen sich R m und R m aus veschiedenen Abschnitten (Schenkel und Joche) zusammen. Die Gln. (5.60, 5.6a, b) stellen ein System von dei Gleichungen fü die dei Unbekannten Φ, Φ, Φ 3 da. In Bild 5.33 ist das zugehöige Esatzschaltbild gegeben. Bild 5.33 Die Zählpfeile fü die Flüsse entspechen denen aus Bild 5.3. Die Zählpfeile fü die Duchflutung müssen dann so gewählt weden, dass die zugehöigen Flüsse in die vogegebene Richtung getieben weden. Volesungsfolien GdE II 5

16 5.9.4 De magnetische Keis mit Luftspalt Wi haben gesehen: Näheungsweise können die Zusammenhänge auch auf Keise mit Luftspalt angewendet weden: Bild 5.34 a Bild 5.34 b Eine Anodnung gemäß Bild 5.34 b ist fü Elektomagnete und Elektomotoen wichtig. Da de magnetische Widestand von Luft seh viel göße ist als de von Eisen, laufen manche Feldlinien diekt von Schenkel zu Schenkel (Bild 5.34 b) und nicht duch den Luftspalt. Damit de Steufluss klein bleibt, muss de Luftspalt d klein sein gegen die Queschnittsabmessungen de Schenkel. In de Paxis nimmt man an, dass das Feld im Beeich des Spaltes homogen ist und außehalb nicht existiet. Volesungsfolien GdE II 6

17 Hat de Schenkel die Queschnittfläche A, wid de magnetische Widestand des Luftspaltes: R md l d µ µ A µ A 0 0 Diese liegt in Reihe mit den andeen Wideständen. Da im Luftspalt im Vegleich zum Eisen gilt: µ d << µ e, ist de Widestand des Spaltes viel göße als die Widestände de Eisenabschnitte. Damit wid kla, dass zu Eegung des Luftspaltes de gößte Teil de Duchflutung aufgewendet weden muss. In Bild 5.35 sind die Magnetisieungskuve des Eisens (Kuve, vgl. Bild 5.4 Neukuve ) sowie die Geadengleichung fü den Luftspalt (Kuve ) angegeben: B µ (*) 0H Volesungsfolien GdE II 7

18 Kuve 3, die Gesamtkuve, setzt sich aus den Kuven und zusammen: Fü eine benötigte Flussdichte B egibt sich mit Kuve de Spannungsabfall V E in den Eisenabschnitten. Mit Kuve und Gl. (*) ehält man fü die gleiche Flussdichte wie im Eisen einen seh viel gößeen Spannungsabfall im Luftspalt V L. Die Summe alle Spannungsabfälle egibt die notwendige Gesamtduchflutung Θ. Damit ist Kuve 3 so zu konstuieen, dass die Abszissenwete (x-achse) fü einen vogegebenen, fixen Odinatenwet (y- Achse) addiet weden. Dies nennt man Scheung: Bild 5.35 Volesungsfolien GdE II 8

19 5.9.5 Beechnung von Dauemagnetkeisen Bishe wude angenommen, dass die magnetischen Keise aus magnetisch weichem Mateial aufgebaut sind. Dahe musste die Eegung mit Spulen ezeugt weden. Jetzt sollen Dauemagnete zu Eegung des Keises dienen, wie es z.b. bei Lautspechen, elektischen Maschinen, Messgeäten, Sensoen ode Geneatoen de Fall ist. Zunächst soll noch einmal de Dauemagnet fü sich betachtet weden: Bild 5. e* Das Feld de magnetischen Flussdichte des Dauemagneten entspicht dem eine stomduchflossenen Spule. Volesungsfolien GdE II 9

20 Dahe können fü den Pemanentmagneten in Bild 5.36 a die Feldlinien de magnetischen Flussdichte eingezeichnet weden: Bild 5.36 a Bild 5.36 b Wichtig ist, dass im gesamten Raum auch eine magnetische Eegung H vohescht, obwohl keine Duchflutung, d.h. kein Eegungstom, vohanden ist. In Bild 5.36 b sind die Linien de magnetischen Eegung eingezeichnet. Im Außenaum des Dauemagneten stimmen sie mit den Linien de Flussdichte wegen B µ 0 H übeein. Volesungsfolien GdE II 0

21 Innehalb des Dauemagneten sind die Feldlinien de Eegung denen de Flussdichte entgegengesetzt. Denn bildet man: H ds Θ mit Θ 0 so ist das nu möglich, wenn die Feldlinien de Eegung gemäß Bild 5.36 b velaufen. D.h. de Beitag zum Integal im Außenaum muss duch einen entgegengesetzt gleich goßen Beitag innehalb des Magneten kompensiet weden. Im Bild 5.36 c sind fü einen Punkt im Außenaum (P) und einen Punkt im Innenaum (P) die Vektoen B, H, Mqualitativ eingezeichnet. Bild 5.36 c Volesungsfolien GdE II

22 Zu Einneung: In Abschnitt 5.8. wude hegeleitet, dass sich das Vektofeld de magnetischen Flussdichte beechnen lässt mit de magnetischen Eegung und de Magnetisieung: B 0 ( H + M ) µ (5.39)* Weitehin wude bespochen, dass die Eegung mit allen, nu nicht mit den scheinbaen Stömen I m veknüpft ist. D.h. H ist die äußee, vom Stoff unabhängige Göße, wähend M allein vom Stoff aufgebacht wid. Wichtig wa auch, dass in H ds Θ fü Θ nu die von außen aufgebachten Stöme, nicht abe die im Mateial auftetenden scheinbaen Stöme I M, beücksichtigt weden düfen. Volesungsfolien GdE II

23 Beispiel: einfache magnetische Keis mit Pemanentmagnet In einem einfachen magnetischen Keis (Bild 5.37), de von einem Pemanentmagneten eegt wid, soll die magnetische Flussdichte im Luftspalt beechnet weden. De Magnet ist gau eingezeichnet, die Polschuhe, deen magnetische Spannungsabfall gegenübe dem Luftspalt klein ist, sind mit P bezeichnet. Bild 5.37 De Spannungsabfall in P wid mit dem sog. Eisenfakto k E > beücksichtigt. Die Beite des Luftspaltes ist d. Volesungsfolien GdE II 3

24 Das Duchflutungsgesetz egibt: H l H l k 0 (5.6) E E + L L E mit H E und H L dem Betag de Eegung im Eisen und im Luftspalt. Wid in (5.6) H L B L /µ 0 und l L d gesetzt, dann folgt fü B L : B L H l d k E E µ 0 (*) E Venachlässigt man den Steufluss, dann ist im einfachen Keis Φ L Φ E und damit gilt: B A B A (5.63) L L E E Wid nun (*) eingesetzt in (5.63), ehält man: B E µ le A k d A 0 E E L H E mx (5.64) Volesungsfolien GdE II 4

25 Gl (5.64) ist eine Geadengleichung mit negative Steigung m. Jetzt ist jedoch gleichzeitig B E eine nichtlineae Funktion in Abhängigkeit von H E, deen Zusammenhang übe die jeweilige Magnetisieungskuve gegeben ist. Um dieses Gleichungssystem bestehend aus beiden Funktionen lösen zu können, muss hie ein gaphische Weg gewählt weden (Bild 5.38). Bild 5.38 Die Lösung ist de Schnittpunkt beide Funktionen (siehe Bild 5.38). Volesungsfolien GdE II 5

26 Gl. (5.63) umgefomt egibt: B B L E A A E L Wid dies mit Gl. (*) multipliziet, ehält man: B A E H l E E BE AL ke d µ 0 L Nach B L umgefomt egibt sich: B L 0 µ le A k d A E E L ( B H ) E E (5.65) Daaus folgt, dass eine goße Flussdichte im Luftspalt ein goßes Podukt aus B E und H E efodet. Andeeseits kann, wenn dieses Podukt seh goß ist, das Volumen des Pemanentmagneten (V E A E l E ) zum Eeichen eine bestimmten Flussdichte klein gewählt weden. Weitehin sieht man, dass die Eisenveluste de Polschuhe ebenso wie die Dicke des Luftspaltes geing zu halten sind. Volesungsfolien GdE II 6

27 5.0 Anwendungen de magnetischen Kaftwikung 5.0. De Hall-Effekt Zu Einneung: Magnetische Felde bewiken eine Kaft auf bewegte Ladungen, d.h. die Ladungstäge weden abgelenkt. Betachtet wid ein Kupfesteifen in Bild 5.39, duch den ein Stom I fließe. Senkecht zum Steifen hesche ein homogenes magnetisches Feld B. Bild 5.39 Wi wissen: im metallischen Leite sind die Täge des Stomes die negativ geladenen Elektonen. Diese haben eine Diftgeschwindigkeit v d, die de Stomichtung entgegengesetzt ist. Auf die Elektonen wikt dann eine Kaft: F ev d B (5.)* Volesungsfolien GdE II 7

28 Diese steht senkecht auf v d und auf B und bewikt einen Elektonenübeschuss auf de Seite b und einen Elektonenmangel auf de Seite a. Daduch wid que zum Stom ein elektisches Feld E aufgebaut, das diese Ladungstennung entgegenwikt. Dieses Feld zeigt von a nach b (d.h. von + nach -). Auf diese Weise entsteht ein Gleichgewichtszustand zwischen de elektischen Kaft und de magnetischen Kaft: ee e( v B) d Damit wid das elektische Feld von a nach b: E v B, (5.66) d das zwischen den beiden Seiten eine Spannung zu Folge hat: U ab b a E ds Bd ( vd ei ) (5.67) mit dem Einheitsvekto e I in I-Richtung. Volesungsfolien GdE II 8

29 Da im Falle negative Ladungstäge und entgegengesetzt d I sind, wid U ab in Gl. (5.67) positiv. Im Falle positive Ladungstäge wid U ab negativ. Diese Effekt wude 879 von dem ameikanischen Physike E.H. Hall entdeckt und heißt dahe Hall-Effekt. Die Spannung U ab bezeichnet man somit als Hall-Spannung. Wid Gl. (5.67) eweitet um die Ladung q, die Ladungstägedichte po Volumen n und die Dicke des Steifens t, dann egibt sich: v e n qt J I Uab Bd vd Bd t B nqt nqt nqt R H BI t (5.69) mit R H nq, wobei fü die Stomdichte J gilt: J vd nqvd mit q ± e ρ (5.68) Volesungsfolien GdE II 9

30 Anwendung des Hall-Effekts: Bestimmung de Ladungstägedichte Aus Gl. (5.67) ehält man bei bekannte Flussdichte B und gemessene Hallspannung U diekt die Diftgeschwindigkeit de Ladungstäge v d. Mit Gl. (5.68) und de Messung de Stomdichte kann daaus die Ladungstägedichte emittelt weden. Ebenso kann mittels eine Stommessung und aus Gl. (5.69) die Dichte bestimmt weden. Tabelle 5. zeigt einen deutlichen Unteschied zwischen beechneten (je Atom ein Elekton) und gemessenen Dichteweten fü einwetige Metalle. Metall n aus Hall-Messung n beechnet in 0 cm -3 in 0 cm -3 Natium.5.6 Cäsium Kupfe Silbe Gold Tab. 5. Diese Diskepanz lässt sich nu mittels de Quantenmechanik beheben, die den Hall-Effekt auch in Halbleiten bauchba bescheibt. Volesungsfolien GdE II 30

31 Bei Halbleiten ist die Hall-Spannung viel göße als in Metallen, da die Ladungstägedichte n viel kleine ist. In Indiumasenid und Indiumantimonid ehält man bei I A eine Spannung von 0. V je 0. T. Diese Mateialien vewendet man zu Hestellung von Hall- Geneatoen: Anschlüsse fü den Steuestom + Anschlüsse fü die Hall-Spannung. Gleichzeitig müssen diese Plättchen seh dünn sein (t klein!). Dahe vewendet man dünne Schichten (einige µm) auf einen Täge (Substat) aufgetagen und mit Keamik ode Gießhaz eingefasst. Hall-Geneatoen weden zum Messen magnetische Felde und zum Steuen vewendet. Widestandsehöhung Im Hall-Plättchen ehält man eine duch das angelegte magnetische Feld hevogeufene Widestandsehöhung fü den Steuestom I (Bild 5.40). Auch diese wid zum Ausmessen magnetische Felde vewendet. Bild 5.40 Volesungsfolien GdE II 3

32 5.0. Das Dehspulmessinstument Beim sog. Dehspulmessinstument wid die Kaftwikung des magnetischen Feldes auf einen stomduchflossenen Leite ausgenutzt (Bild 5.4). Bild 5.4 Die Anodnung besteht aus den zwei Polen eines Pemanentmagneten, einem Zylinde aus Weicheisen und eine dehba gelageten Spule im Spalt zwischen Magnetpolen und Eisenzylinde. De Stom wid de dehbaen Spule übe zwei planae Spialfeden zugefüht, die so befestigt sind, dass die Spule in eine bestimmte Lage, de Ruhelage, gehalten wid. Aus Bild 5.4 und den bisheigen Übelegungen geht hevo, dass im Spalt, also im Beeich de Dehspule, das B-Feld adial veläuft. Damit steht es auf den Wicklungen de Spule senkecht. Volesungsfolien GdE II 3

33 Zu Einneung: Fü das Dehmoment auf eine stomduchflossene Spule de Fläche A (Flächennomale n ), de Windungszahl N, die vom Stom I duchflossen weden und dem Magnetfeld B ausgesetzt ist, gilt: T ANI ( n B) (5.0)* Dahe kann jetzt fü das Dehmoment, das auf die Spule ausgeübt wid, geschieben weden: T ANI B Spule (5.70) Die oben ewähnten Spialfeden üben ein Gegenmoment aus, das linea popotional zum Auslenkwinkel α ist: Fede konst. α T (5.7) Volesungsfolien GdE II 33

34 Eine Gleichgewichtslage (α) stellt sich ein, wenn beide Momente gleich sind: NIAB konst. α Damit gilt fü den Gleichgewichtsausschlag: N AB α I K I (5.7) konst. D.h. de Ausschlag ist diekt popotional zum Stom I. Soll ein bestimmte Messbeeich gespeizt weden ( Zoom ), dann kann de Luftspalt entspechend vaiiet weden. Die magnetische Flussdichte ist dot göße, wo de Luftspalt kleine ist. Baufomen Fü den Eisenkeis sind veschiedene Baufomen üblich: Bild 5.4 a Bild 5.4 b Volesungsfolien GdE II 34

35 Die helleen Beeiche (Abschnitte) sind Pemanentmagnete, die übigen Teile bestehen aus Weicheisen. Wie bekannt, ist die Güte de Magneten bestimmt duch die Koezitivfeldstäke H c und die Remanenzflussdichte B. Ist H c goß, kann de Magnet kuz gewählt weden. Ist B goß, kann de Queschnitt klein sein. De Keis 5.4 a besteht aus Chom- und Wolfamstählen (lang gesteckte Baufom), de Keis 5.4 b wid aus Kobaltstahl hegestellt. Bei hochkoezitiven Stählen wählt man eine einfache Fom, da die Hestellung schwieig ist (Bild 5.4 c). Bild 5.4 c Bild 5.4 d Seh hochwetige Dauemagnete mit goßem B ehält man duch Sinten von Al-Ni-Co Pulve, d.h. duch Pessen mit hohe Tempeatu und hohem Duck. Neueste Foschungen elauben auch die Abscheidung von hochwetigen, seh dünnen Magnetschichten aus Plasmen. Volesungsfolien GdE II 35

36 Aufgund de extem feinen (mit Plasmen hegestellten) Könung weden seh homogene magnetische Felde eeicht. Baufom 5.4 d und e sind Beispiele fü seh kompakte Ausfühungen, die eine geinge magnetische Steuung aufweisen und dahe unempfindlich gegen äußee Magnetfelde sind. Bild 5.4 e Bild 5.4 e zeigt ein sog. Kenmagnetmesswek, das in seh kleinen Baufomen ehältlich ist. Da mittleweile duchweg elektonische Stom- und Spannungsmessgeäte vewendet weden, soll hie nicht weite auf die Dehspulmessgeäte eingegangen weden. Weitee Infomationen sind in R. Pegla, Gundlagen de Elektotechnik aufgefüht. Volesungsfolien GdE II 36

37 5.0.3 Elektoakustische Wandle Elektoakustische Wandle fomen elektische Enegie in Schallenegie (Lautspeche) um und umgekeht (Mikophon). In Bild 5.44 ist ein elektodynamische Wandle (Lautspeche) gezeigt: Diese besteht aus eine tichtefömigen Memban, die im Mittelbeeich eine leichte Tauchspule tägt. Diese bewegt sich im ingfömigen Luftspalt eines Eisenkens. Duch einen Pemanentmagneten wid in diesem Keis die Flussdichte B ezeugt. Bild 5.44 Die Spule habe den Duchmesse d, die Windungszahl N, befinde sich im Magnetfeld B und wede vom Stom i duchflossen, dann wid auf sie die Kaft F ausgeübt: F dπ NBi (5.75) Volesungsfolien GdE II 37

38 Zu Einneung: Die längenbezogene Kaft auf einen stomduchflossenen Daht: df I(dl B) (5.7)* De Stom i in Gl. (5.75) ist zeitlich veändelich, die andeen Gößen seien hie konstant. Damit efolgt die Kaftwikung popotional zum Stom. Im nächsten Kapitel wid gezeigt, dass diese Vogang auch umkehba ist. D.h. duch Bewegung de Memban wid ein Stom induziet Das Zykloton Als letztes Beispiel fü die Anwendung magnetische Kaftwikung soll das sog. Zykloton bespochen weden. Dieses dient de Beschleunigung geladene Teilchen auf hohe Enegien, die fü Kenzetümmeungsvesuche benötigt weden. Duchläuft ein Teilchen mit de Ladung e (,6 0-9 As) die Potentialdiffeenz U, so nimmt es die Enegie eu auf. Diese ist in Fom kinetische Enegie vohanden: mv eu Volesungsfolien GdE II 38

39 Um deatige Beschleunigungsstecken fü geladene Teilchen nicht seh lang weden zu lassen, wude das Zykloton entwickelt, das in eine Keisbahn den Teilchen potionsweise Enegie zufüht (Bild 5.45). Bild 5.45 Das Zykloton besteht in de Mitte aus eine Ionenquelle I, in de z.b. Deuteium-Moleküle (D : schwee Wassestoff) mit hochenegetischen Elektonen (00 ev) beschossen weden: + D + e D+ D + e (*) Die chemische Symbolgleichung (*) ist ein Beispiel (von meheen) de Ionenezeugung, wobei hie die sog. dissoziative Ionisation gezeigt ist. Dissoziation bezeichnet die Zelegung eines Moleküls in mehee Teile, Ionisation das Heausschlagen eines gebundenen Elektons vom Atom ode Molekül. Fü obigen Pozess ist eine Stoßenegie von etwa 6 ev notwendig. Volesungsfolien GdE II 39

40 Die so entstandenen positiven Ionen (es gibt auch negative) teten duch eine kleine Öffnung in das Zykloton ein. Dot weden sie duch die HF-Spannung U HF beschleunigt und duch das senkechte Magnetfeld auf eine Keisbahn gelenkt. Die HF-Spannung liegt zwischen zwei halben Metalldosen, den sog. Duanten D und D. Zwischen diesen hescht das HF-Feld, innehalb de Duanten hescht kein Feld. Die ganze Appaatu befindet sich im Hochvakuum (0-6 mba). Titt nun ein D + aus de Quelle aus, so wid es zum negativen Duanten, z.b. D beschleunigt. Dann fliegt es auf eine Keisbahn und titt aus D aus. In diesem Moment wid D positiv und D negativ, d.h. es wid eneut beschleunigt und titt in D ein. De zugehöige Radius de Keisbahn lautet: mv F m qvb ω (5., 5.)* Damit egibt sich fü den Radius: mv (5.76) qb Volesungsfolien GdE II 40

41 Das Ion duchfliegt in den Duanten die Halbkeisbahn de Länge π mit de Bahngeschwindigkeit v. Dahe betägt die Zeit fü einen Halbumlauf bis es wiede zum Spalt gelangt: t 0 π v mπ eb (**) Bei jedem neuen Eintitt in den nachfolgenden Duanten wid die Geschwindigkeit göße, entspechend wid auch de Bahnadius v göße (Gl. (5.76)). Damit bleibt jedoch die Umlaufdaue konstant. Diese hängt gemäß (**) nu von de Masse, de Ladung und dem Magnetfeld ab. Damit das Ion im ichtigen Takt von de Hochfequenz beschleunigt wid, benötigt diese die Peiodendaue T gleich de vollen Umlaufzeit t 0 : T t 0 π m eb (5.77a) bzw. die Fequenz: f eb, (5.77b) T π m die fü B T im Megahetz-Beeich liegt. Volesungsfolien GdE II 4

42 Die Gesamtbahn ist eine Spiale (Bild 5.45). Gelangt das Ion in die Nähe des Deflektos A, de ein negatives Potential hat, dann velässt das Ion tangential die Keisbahn mit de Enegie: E mv mω R Diese hängt somit vom Radius R des Zyklotons ab. Da mit zunehmende Geschwindigkeit die Masse zunimmt, wid fü seh goße Geschwindigkeiten die Umlaufzeit göße (Gl. (5.77a)). In diesem Fall ist die Synchonisation zu HF-Spannung nicht meh gegeben. Volesungsfolien GdE II 4

43 6 Die elektomagnetische Induktion Die voausgegangenen Kapitel zeigen, dass ein Zusammenhang zwischen elektischen und magnetischen Felden besteht: Das magnetische Feld wid von elektischen Stömen hevogeufen, und ein magnetisches Feld übt Käfte auf bewegte elektische Ladungen und elektische Stöme aus. Doch de Zusammenhang geht noch weite: im Jahe 83 entdeckte Michael Faaday (englische Physike), dass auch sich ändende magnetische Felde in de Lage sind, elektische Felde hevozuufen. Dies wa eine de wesentlichen Entdeckungen de Elektotechnik mit weit eichenden Folgen fü alle Beeiche (Enegietechnik, Nachichtentechnik, HF-Technik). 6. Induktionsvogänge 6.. Bewegungsinduktion. Vesuch Zwischen den Polen eines Hufeisenmagneten ist ein elektische Leitestab an dünnen, nichtleitenden Fäden aufgehängt (Bild 6.). Die Enden des Leitestabes sind mit einem hochohmigen Spannungsmesse übe dünne, leitende Dähte vebunden. Auf diese Weise kann de Leitestab im Magnetfeld pendeln. Volesungsfolien GdE II 43

44 Solange sich de Leitestab im Magnetfeld nicht bewegt, zeigt das Messgeät nichts an. Bild 6. Wid de Stab ausgelenkt und pendelt, zeigt das Messgeät einen Stom bzw. eine Spannung an, die von de Pendelichtung abhängt. De Vogang wid als elektomagnetische Induktion und de Stom als Induktionsstom bzw. die Spannung als Induktionsspannung bezeichnet. Das gleiche Egebnis ehält man, wenn man den Stab festhält und den Magneten bewegt. Bewegt man den Stab in Richtung des magnetischen Feldes, passiet nichts. Volesungsfolien GdE II 44

45 Resultat:.Die elative Bewegung zwischen Magnetfeld und Stab ist entscheidend..die Richtungen von Feld und Bewegung zueinande spielen ebenfalls eine Rolle. Ekläung Die Efahungen können mit den bekannten Gesetzmäßigkeiten gedeutet weden, die beeits beim Hall-Effekt vewendet wuden (vgl. 5.0.). Da mit dem Leitestab die Elektonen bewegt weden, übt das Magnetfeld auf diese eine Kaft aus: F q v B (6.) Diese Kaft wikt in Richtung de Stabachse in Bild 6., woduch die Elektonen in diese Richtung veschoben weden. Da es sich hie um einen geschlossenen Stomkeis handelt (im Falle de Stommessung) fließt ein Stom duch den Stab und die Dähte zum Messgeät. Volesungsfolien GdE II 45

46 Zu Beechnung de induzieten Spannung soll de Stab die Länge l besitzen und gemäß Bild 6. im homogenen Magnetfeld B angeodnet sein. Bild 6. Wid de Stab nun mit de Geschwindigkeit v bewegt, weden die Elektonen zum unteen Ende b bewegt. Am obeen Ende a entsteht ein Elektonenmangel. Daduch egibt sich ein elektisches Feld E zwischen a und b, das auf die Elektonen eine Gegenkaft ausübt: E v B (6.) Die an den Enden a und b induziete Spannung lautet dann: b a u E dl lvb ab (6.3) Volesungsfolien GdE II 46

47 6.. Tansfomationsinduktion. Vesuch Im zweiten Vesuch befindet sich eine Dahtschleife, die an einen Spannungsmesse angeschlossen ist, im magnetischen Feld eine Spule (Bild 6.3). Ist de Stomkeis de Spule in Bild 6.3 geschlossen, fließt in de Spule ein Stom, de ein stationäes Magnetfeld ezeugt, welches die Dahtschleife duchsetzt. Im eingeschwungenen Zustand und bei festgehaltene Dahtschleife passiet nichts. Wid die Dahtschleife im stationäen Feld bewegt, zeigt de Spannungsmesse einen Ausschlag. Bild 6.3 Volesungsfolien GdE II 47

48 Nun wid die Dahtschleife festgehalten und de Stom duch die Spule veändet z.b. duch Öffnen und Schließen des Schaltes: Daduch beginnt ein Stom duch die Spule zu fließen (bzw. höt auf zu fließen, je nach Anfangszustand), de eine Ändeung des Magnetfeldes auch im Beeich de Dahtschleife hevouft. Am Spannungsmesse stellt man fest, dass duch die zeitliche Ändeung, d.h. solange sich das Magnetfeld auf- ode abbaut, in de Dahtschleife eine Spannung induziet wid. Wid das Feld aufgebaut, zeigt de Spannungsmesse ein andees Vozeichen de gemessenen Spannung an als wähend des Feldabbaus. Zunächst soll heausgefunden weden, wie sich die Oientieung de Dahtschleife auf die Spannung auswikt. Dazu wid Bild 6.4 betachtet. Bild 6.4 Volesungsfolien GdE II 48

49 Zunächst bingt man die Dahtschleife in ein homogenes Feld und veändet den Winkel α zwischen de Feldichtung und de Achse de Dahtschleife (Bild 6.4). Man stellt fest, dass die induziete Spannung am gößten ist, wenn α gleich Null ist. Mit wachsendem α nimmt die induziete Spannung gemäß cos(α) ab. Fü α 90 wid die Fläche de Dahtschleife nicht meh duchsetzt. Dahe wid keine Spannung induziet. Daaus schließen wi: Es kommt auf den die Dahtschleife duchsetzenden magnetischen Fluss Φ an. Damit egibt sich die Flussegel von Faaday: Die in eine Dahtschleife induziete Spannung ist gleich de zeitlichen Ändeung des duch sie hinduchtetenden magnetischen Flusses Lenzsche Regel Zu Bestimmung de Richtung de induzieten Stöme und Spannungen soll nun eine Regel aufgestellt weden, die von Lenz (Lenz, Heinich, , baltische Physike) angegeben wude. Volesungsfolien GdE II 49

50 De induziete Stom fließt in eine solche Richtung, dass e duch sein Feld de Flussändeung, duch die e entsteht, entgegenwikt. D.h. die Dahtschleife baut mittels des induzieten Stomes ein Gegenfeld auf, das bestebt ist, seinen Zustand aufechtzuehalten. De induziete Stom ezeugt in de Dahtschleife aufgund ihes Widestandes Wämeenegie. Diese muss von außen aufgebacht weden, z.b. duch mechanische Enegie. Dazu ein Beispiel: In Bild 6.5 wid ein Stabmagnet mit seinem Nodpol auf einen leitfähigen Dahting zu bewegt. Das Feld des Pemanentmagneten duchsetzt in zunehmendem Maße den Ring. Bild 6.5 Volesungsfolien GdE II 50

51 Duch diese Bewegung nimmt de magnetische Fluss im Ring zu. Wegen de Lenzschen Regel muss nun im Ring ein Stom induziet weden, de de Feldzunahme in de vogegebenen Richtung entgegenwikt (Bild 6.5). Damit hat de Ring den in Bild 6.5 gezeigten Nod- bzw. Südpol. Enegiesatz: Da sich gleichnamige Pole abstoßen, muss zu Bewegung des Pemanentmagneten eine Kaft und damit mechanische Enegie aufgebacht weden. Diese Enegie entspicht dejenigen, die in Fom vom Wäme (Ohmschen Veluste ) im Ring ezeugt wid. Aus diesem Gund de Enegieehaltung ist bei diesem Beispiel die entgegengesetzte Stomichtung im Ring nicht möglich, da dann Nod- und Südpol des Rings vetauscht wüden und de Pemanentmagnet in den Ring hineingezogen wüde. Damit wüde de Magnet mech. Enegie gewinnen, gleichzeitig wüde Wäme ezeugt weden Pepetuum mobile! Bild 6.6 Volesungsfolien GdE II 5

52 In Bild 6.6 ist zu den Gegenkäften ein Demonstationsvesuch gezeigt: Ein leitende Ring liegt auf einem Elektomagneten (Spule mit Eisenken). Schaltet man den Stom des Elektomagneten ein, spingt de Ring aufgund de Gegenkaft, die de induziete Stom ezeugt, nach oben. 6. Das Induktionsgesetz Vesuch zeigte die Bewegungsspannung, Vesuch die Tansfomationsspannung. Es soll in einem Modellvesuch gezeigt weden, dass beide duch die gleiche Gesetzmäßigkeit beschieben weden können: In Bild 6.7 duchsetzt ein homogenes, konstantes magnetisches Feld senkecht eine Teilfläche eine Dahtschleife. Die Fläche de Dahtschleife wid duch einen leitenden Stab veändet, de auf zwei leitenden Gleitschienen aufliegt. Bild 6.7 Volesungsfolien GdE II 5

53 Wid de Metallstab mit de Geschwindigkeit v gezogen, wiken auf die im Stab enthaltenen Ladungstäge die Käfte gemäß Gl. (6.) entlang de entlang de Stabachse. Die im Stab ezeugte Spannung ist gleich de Spannung u 0, solange de Stom i in de Schleife klein ist. Klein heißt, dass das duch i ezeugte Magnetfeld sowie de Spannungsabfall in de Schleife venachlässigba sind. Idealeweise ist de Spannungsmesse so hochohmig, dass i gegen Null geht. Die induziete Spannung u 0 wikt nun als Quellenspannung. Die Flussändeung de Dahtschleife mit de Zeit egibt sich zu: d Φ BdA Bl vdt (*) Wi einnen uns an Gl. (6.3): b uab u0 E dl a l v B und vegleichen diese mit Gl. (*). Daaus folgt: dφ dt l v B u (6.4) 0 Volesungsfolien GdE II 53

54 Damit ehält man das Induktionsgesetz: u 0 dφ dt Die induziete Quellenspannung ist gleich de mit ih veketteten Flussändeung po Zeiteinheit. Das Egebnis ist unabhängig von de Fom de Leiteschleife und de Bewegung im Magnetfeld. Dieses Egebnis, das aus de Bewegungsinduktion hegeleitet wude, entspicht de Flussegel von Faaday, die aus de Tansfomationsinduktion emittelt wude. In Bild 6.8 ist die Zuodnung von induziete Quellenspannung, Stomichtung und Flussändeung gezeigt. Bild 6.8 Volesungsfolien GdE II 54

55 Die Richtungen de Gößen dφ, u 0 und i gehen unmittelba aus de Lenzschen Regel hevo. Wid die Richtung von u 0 ode dφ vetauscht, muss Gl. (6.4) mit einem Minuszeichen vesehen weden. Noch mal zuück zum Unteschied zwischen Bewegungs- und Tansfomationsinduktion: Die Bewegungsinduktion kann diekt aus de Kaftwikung auf bewegte elektische Ladungen (Elektonen) im Magnetfeld vestanden weden. Wie abe ist die Kaftwikung im Falle de Tansfomationsinduktion zu vestehen? Betachtet man zunächst die Summe alle möglichen Käfte auf elektische Ladungen, die duch die Loentz-Beziehung (Gl. (5.4)) gegeben ist: F q (5.4)* ( E + v B) und bedenkt man, dass im Falle de Tansfomationsinduktion nichts bewegt wid, d.h. v 0 gilt, dann folgt daaus, dass die Kaftwikung in diesem Fall dem elektischen Feld E zuzuscheiben ist. Daaus wiedeum folgt die Ekenntnis, dass imme dann, wenn ein sich zeitlich veändendes magnetisches Feld voliegt, ein elektisches Feld induziet wid. Dieses teibt dann die Ladungstäge im Stomkeis. Volesungsfolien GdE II 55

56 Um diesen Zusammenhang veständliche zu machen, wid in Bild 6.9 ein keiszylindisches magnetisches Feld betachtet, das aus de Zeichenebene senkecht austitt und innehalb de gestichelten Fläche homogen ist. Dieses Feld möge in diesem Gebiet in gleiche Weise zeitlich zunehmen. Bild 6.9 In diesem Feld befinde sich eine konzentische Dahtschleife. Da das B-Feld zunimmt, ist die Flussändeung dφ ebenfalls aus de Zeichenebene heaus geichtet. Die Dahtschleife (Radius ) habe an eine Stelle eine kleine Öffnung (klein gegen die gesamte Schleifenlänge). Dahe kann an diese die induziete Spannung u 0 gemessen weden. Schließt man an die Klemmen übe die gestichelt gezeichneten Dähte einen Widestand an, ehält man nach de Lenzschen Regel den Stom i. Volesungsfolien GdE II 56

57 Die Ladungsbewegung efolgt duch das induziete elektische Feld E i. Ohne Daht im Magnetfeld ist aus Symmetiegünden die induziete elektische Feldstäke längs des Keises (Radius ) übeall gleich goß und stets tangential geichtet. Duch den Dahting wid dieses keissymmetische elektische Feld veändet, da innehalb eines elektischen Leites kein elektisches Feld hescht. D.h. duch die Ladungsbewegung aufgund des induzieten elektischen Feldes weden an einem Schleifenende positive, am andeen negative Ladungen angehäuft. Dahe baut sich solange ein Gegenfeld auf, bis das Gesamtfeld im Leite zu Null gewoden ist. Aus diesem Gunde vebleibt nu noch zwischen den nahe benachbaten Dahtenden ein elektisches Feld. Die Spannung zwischen den Dahtenden ehält man duch Integation de induzieten Feldstäke: u0 E dl, (*) wobei nu de Spalt zwischen den Dahtenden einen Beitag liefet. In (*) entspicht die Richtung von dl de de induzieten Feldstäke. Volesungsfolien GdE II 57

58 Deht man das Wegelement um, d.h. fü die Quellenspannung: dl ds, dann egibt sich u 0 d s E (6.5) Die Integation efolgt entlang des nahezu geschlossenen Weges auf de Dahtschleife, bevo diese in das Magnetfeld gegeben wid. Setzt man fü u 0 das Induktionsgesetz gemäß Gl (6.4) ein: E ds dφ dt (6.6) und scheibt anstelle von Φ das Flächenintegal de magnetischen Flussdichte, dann ehält man: C d E d s B da (6.7) dt A das Induktionsgesetz in allgemeine Fom. Volesungsfolien GdE II 58

59 Bemekungen zu Gl. (6.7) Allgemeines Induktionsgesetz : Auf de linken Seite ist die Integation längs des Randes C de Fläche A auszufühen. Auf de echten Seite ist de Fluss duch genau diese Fläche A zu beechnen. Die Umlaufichtung fü das Linienintegal und die Richtung de Flächenvektoen sind mit eine Rechtsschaube veknüpft. Dahe wude ds in Gl. (6.5) entgegen dl gewählt. Gl. (6.7) gilt fü beliebige, zeitlich sich ändende ode konstante magnetische Felde. A ist eine beliebige Fläche, C die zugehöige Randkuve. Diese Gleichung gilt auch fü die Anodnung mit Daht. Die Feldstäke E auf de linken Seite ist dann die Gesamtfeldstäke. Da diese im Daht Null ist, tägt nu de Wegabschnitt zwischen den Dahtenden zum Integal bei. Damit das Integal den Wet u 0 egibt, muss die Feldstäke zwischen den Dahtenden entspechend göße sein als ohne Daht. Volesungsfolien GdE II 59

60 Bei uhenden Medien können auf de echten Seite von Gl. (6.7) Integation und Diffeentiation vetauscht weden: C db E d s da (6.8) dt Damit haben wi nun neben dem Duchflutungsgesetz A C H s A J da d (5.8)* eine zweite Gleichung, die das elektische und magnetische Feld miteinande veknüpft. 6.3 Das induziete elektische Feld Es wude gezeigt, das zeitlich veändeliche magnetische Felde ein elektisches Feld zu Folge haben, das jedoch nicht von Ladungstägen ausgeht. Das Linienintegal entlang eines geschlossenen Weges übe dieses elektische Feld wid nicht zu Null, da die Feldlinien in sich geschlossen sind. Volesungsfolien GdE II 60

61 Damit gilt: Das duch ein zeitlich veändetes magnetisches Feld hevogeufene elektische Feld ist ein Wibelfeld. Beispiel: Betachtet man Bild 6.9, wo die Linien de induzieten Feldstäke konzentische Keise bilden. De Betag de Feldstäke ist in jedem Punkt eine geschlossenen Feldlinie gleich. De Betag ist jedoch eine Funktion von. Die Abhängigkeit von wid mit Gl. (6.8) beechnet. Fü < 0 ist db/dt innehalb des Keises übeall gleich: db Eπ π dt & damit: E B fü, d.h. die Feldstäke nimmt mit wachsendem zu. Fü > 0 liefet nu de Beeich innehalb des Keises mit 0 einen Beitag zum Integal de echten Seite: 0 Eπ B& π 0 Volesungsfolien GdE II 6

62 Damit wid: E 0 B& fü > (*) 0 Die Richtungen de Feldstäkevektoen sind in Bild 6.9 angegeben. Sie sind entgegengesetzt zu Richtung des Wegelements ds. Aus (*) geht hevo, dass im Außenbeeich die Feldstäke wiede abnimmt. In Bild 6.0 ist die Abhängigkeit de Feldstäke im Innen- und Außenbeeich dagestellt. E 0 B& 0 Bild 6.0 Volesungsfolien GdE II 6

63 6.4 Beispiele zum Induktionsgesetz 6.4. Die induziete Spannung in eine Spule Betachtet man in Bild 6. eine Spule mit N Windungen, so kann man sich diese als eine Hinteeinandeschaltung von N Dahtschleifen wie z.b. in Bild 6.9 vostellen. Bild 6. Will man die Spannung u 0 beechnen, so muss im Pinzip die induziete Feldstäke jede Schleife (d.h. jede Wicklung) entlang diese integiet weden. Da in de obigen Anodnung alle Windungen mit de selben Flussändeung dφ vekettet sind, also in jede Schleife die gleiche Spannung induziet wid, egibt sich die Gesamtspannung duch Aufsummieen de Spannungen de einzelnen Schleifen: u dφ N dt 0 (6.9) Volesungsfolien GdE II 63

64 Gl. (6.9) entspicht de N-fachen Anwendung von Gl. (6.4). Anstelle von Gl. (6.9) scheibt man auch: u dψ dt 0 (6.0) Ψ NΦ wobei man unte den gesamten, mit allen Dahtschleifen veketteten Fluss vesteht. Sind die Flüsse duch die einzelnen Windungen unteschiedlich, gilt: Ψ N i Φ i (6.) Wie beeits fühe bespochen, gelten Gln. (6.9) und (6.0) unabhängig davon, ob es sich um Bewegungs- ode Tansfomationsinduktion handelt. Volesungsfolien GdE II 64

65 6.4. Gleichmäßig otieende Spule im konstanten Magnetfeld Zu Ezeugung eine sinusfömigen Spannung ist die Spulenanodnung in Bild 6. gegeben. Die Spule ist entlang de Spulenachse dehba gelaget. Die Dahtenden de Spule sind mit Schleifingen vebunden, auf denen Schleifkontakte laufen. Wenn sich die Spule deht, dehen sich die Schleifinge, übe die die stehenden Schleifkontakte die induziete Spannung abgeifen können. Bild 6. Volesungsfolien GdE II 65

66 Die Spule befindet sich in einem homogenen ( äumlich konstanten), stationäen ( zeitlich konstanten) Magnetfeld. Die Spule wid mit konstante Winkelgeschwindigkeit ω (z.b. von einem Moto) gedeht. Aufgund des Zusammenhangs α ωt mit ω konst. wächst de Dehwinkel α linea mit de Zeit. Zum Zeitpunkt t 0 möge das Feld die Spulenfläche A senkecht duchsetzen. Fü t 0 gilt: Φ ( t 0) Φ BA (6.) max Deht sich die Spule um den Winkel α weite, veinget sich de Fluss mit Φ( t) BAcosα Φmax cosωt, (6.3) da die effektive Fläche de Spule, die mit dem Feld vekettet ist, um den Kosinus des Dehwinkels abgenommen hat. Volesungsfolien GdE II 66

67 De Velauf Φ(t) ist in Bild 6.3 als Funktion des Dehwinkels ωt bzw. (weil ω konstant ist) de Zeit t gezeigt. Bild 6.3 T Nach eine halben Umdehung ist de Vekto de Spulenfläche A dem Feld entgegengesetzt. Deshalb hat Φ zum Zeitpunkt t T/ den negativen Wet -Φ max. Nach eine vollen Umdehung t T befindet sich die Spule wiede in ihe Ausgangslage, d.h. Φ hat wiede den Wet BA. De Velauf des Flusses wiedeholt sich peiodisch mit de Peiodendaue T. Mit Gl. (6.9) ehält man die in de Spule induziete Quellenspannung: u dφ N dt 0 NΦ max ωsinωt Volesungsfolien GdE II 67

68 ode zusammengefasst: u 0 U max sin t mit ω U max NωΦ max (6.4) De Velauf de induzieten Spannung ist ebenfalls in Bild 6.3 eingetagen. Beide Veläufe sind sinus-fömig. Die Maxima sind um die Daue eine Vietelpeiode veschoben. Man spicht von Phasenveschiebung um π/. De Velauf hat in de Technik eine goße Bedeutung: Alle Geneatoen hohe Leistung liefen Quellenspannungen diese Fom. Den Wechsel zwischen zwei gleich goßen, entgegengesetzten Maxima (Amplitude) bezeichnet man als Wechselspannung (ode Wechselstom). Hie handelt es sich speziell um sinus-fömigen Wechselstom. Volesungsfolien GdE II 68

69 6.4.3 Dahtschleife im veändelichen inhomogenen Magnetfeld Als Beispiel fü ein inhomogenes Magnetfeld wid ein stomduchflossene geade Leite vewendet, in dessen Magnetfeld eine echteckige Dahtschleife liegt. Beide liegen in eine gemeinsamen Ebene. Bild 6.4 De Leite ist von Wechselstom duchflossen: i( t) Imax cosωt Volesungsfolien GdE II 69

70 Die zeitliche Ändeung des Stomes soll langsam efolgen, d. h. in jedem Moment soll das zugehöige Magnetfeld dem momentanen (Gleich-) Stomwet des Wechselstoms entspechen. Dies wid mit quasistationä bezeichnet. Wie aus Abschnitt 5.5 und Gl. (5.0) bekannt, wid die Dahtschleife von einem ingfömigen, in sich geschlossenen Magnetfeld um den Leite senkecht duchsetzt. Im Abstand vom Leite betägt die Flussdichte: µ 0 B(, t) i( t) π Die Zählichtung fü den Fluss zeige in Bild 6.4 in die Blattebene hinein. Das Flächenelement da bd, duch das ein Teil des Flusses dingt, eingesetzt: µ 0b i( t) B( )da d π Den gesamten Fluss ehält man duch Integation von bis : µ Φ B( )da π A 0b i( t) µ 0b i( t) d ln π (6.5) Volesungsfolien GdE II 70

71 Bei bekanntem Fluss kann nun auch die induziete Spannung beechnet weden: u 0 dφ dt µ 0b ln( ) π di( t) dt Wid i(t) I max cosωt diffeenziet, ehält man schließlich: u µ 0bω Imax ln( ) sinωt (6.6) π 0 An diesem Beispiel soll nochmals die Vozeichenegel fü die induziete Spannung veanschaulicht weden: Das Feld de magnetischen Flussdichte sowie de Fluss duch die Dahtschleife sind bei positivem i (d.h. in Richtung des eingezeichneten Pfeils) in die Blattebene hinein geichtet. Dies ist z.b. in de esten Vietelpeiode de Fall. In de esten Vietelpeiode nimmt jedoch de Fluss in die Blattebene ab. Damit ist ein aus de Blattebene heausweisendes dφ wiksam. Da in diesem Zeitintevall in Bild 6.4 dφ und u 0 nicht gemäß Bild 6.8 zugeodnet sind, ist das aktuelle u 0 negativ. Die Übeeinstimmung mit de Lenzschen Regel lässt sich leicht nachpüfen. Volesungsfolien GdE II 7

72 6.4.4 Das Balowsche Rad als Ausnahme von de Flussegel Wie bespochen, gilt die Flussegel unabhängig davon, wie die Flussändeung zustande kommt. Zu Ekläung wuden zwei unteschiedliche physikalische Phänomene, die Kaftwikung eines Magnetfeldes auf bewegte Ladungen und das mit de Ändeung des Magnetfeldes veknüpfte elektische Feld, heangezogen. Alledings: die Flussegel stellt eine Zusammenfassung da, nicht ein übegeodnetes Gundpinzip! Es gibt Fälle, bei denen muss die einzelne Gesetzmäßigkeit heangezogen weden, da die Flussegel nicht geift. Dazu ein Beispiel: Betachtet wid das sog. Balowsche Rad in Bild 6.5. Bild 6.5 Balow, P., , englische Mathematike und Optike Volesungsfolien GdE II 7

73 Dieses stellt eine leitende Keisscheibe da, die auf eine Achse dehba gelaget ist. Senkecht zu Scheibenebene wikt ein konstantes magnetisches Feld. Auf de Achse und am Umfang de Scheibe sind Schleifkontakte angebacht. Die Scheibe wid mit de Winkelgeschwindigkeit ω gedeht. Da das Magnetfeld zeitlich konstant ist und auch ein gedachte Stompfad, de die Schleifkontakte übe das sich dehende Rad hinduch vebindet, zeitlich konstant ist, ist die Flussändeung, die fü die Spannungsinduktion in Fage kommt, gleich Null. Betachtet man abe die Bewegungsinduktion fü den Teil de Scheibe zwischen den beiden Schleifkontakten, d.h. den Weg des Stomes duch die Scheibe, dann wid diese mit de Winkelgeschwindigkeit ω bewegt. Dahe efahen die dot befindlichen Ladungstäge eine Kaftwikung, die fü positive Ladungstäge vom Radinneen nach außen zeigt: F q v B, wobei v ω. Da v und B senkecht stehen, gilt ( Kaft po Ladung ): F q ω B Volesungsfolien GdE II 73

74 Bei homogenem Magnetfeld egibt sich fü die induziete Spannung ( Abeit po Ladung ): u 0 R B d BR (6.7) ω ω 0 mit dem Radius R de Scheibe und dem Mittelpunkt 0 fü eine seh dünne Achse ( << R), auf de die Scheibe gelaget ist. Schätzt man die Spannung ab fü B T, R 5 cm, ω π f, f50 s -, dann ehält man: Vs U0 π 50 0,5 m 3,53V m s Diese Anodnung liefet eine geinge Spannung, wobei die Stomstäke eheblich sein kann. Volesungsfolien GdE II 74

75 Missveständliche Fomulieung: Spannungen weden induziet, wenn bewegte Leite Magnetfeldlinien schneiden In Bild 6.6 wid eine Dahtschleife in einem homogenen Feld bewegt. In diesem Beispiel weden Feldlinien duch die Leite geschnitten, dennoch wid keine Spannung ezeugt, da sich die an beiden Längsseiten induzieten Spannungen gegenseitig aufheben. Auch die Flussändeung in de Schleife ist gleich Null. Bild 6.6 Volesungsfolien GdE II 75

76 6.5 Selbstinduktion und Gegeninduktion 6.5. Selbstinduktion Bishe wude bei allen Übelegungen das Eigenmagnetfeld des induzieten Stomes venachlässigt. Jetzt soll eine Dahtschleife von einem zeitlich veändelichen Stom duchflossen weden, wobei kein äußees Magnetfeld vohanden sein soll. Diese Stom ezeugt ein zeitlich veändeliches Magnetfeld und dieses duchsetzt wiedeum die Dahtschleife selbst. Die Stomändeung soll genügend langsam (quasistatisch) efolgen, so dass stets de Momentanwet des Stomes zu Beechnung des Magnetfeldes heangezogen weden kann. Im Bild 6.7 ist eine Dahtschleife mit Stomquelle gezeigt. Bild 6.7 Volesungsfolien GdE II 76

77 De Stom i ezeugt nun den Fluss Φ. Die Stomändeung di bewikt die Flussändeung dφ in de eingezeichneten Richtung. Duch dφ wid eine Spannung u L induziet, die selbstinduktive Spannung genannt wid. Die Zuodnung von u L und dφ entspicht Bild 6.8, dahe kann auch Gl. (6.4) vewendet weden: u dφ dt L (6.8) Befindet sich kein magnetisches (d.h. nichtlineaes) Mateial im Feld, ist de Fluss Φ popotional dem Stom i: Φ Li (6.9) mit de Popotionalitätskonstante L. Damit wid aus de induzieten Spannung: di u L, (6.0) dt wobei die Göße L Selbstinduktivitätskoeffizient ode küze Induktivität genannt wid. Volesungsfolien GdE II 77

78 Die Induktivität L ist nu von de Geometie de Dahtanodnung abhängig und ist analog zu Kapazität im elektischen Feld eine integale Göße des magnetischen Feldes. Aus Gl. (6.0) egeben sich folgende Einheiten: dt di s A Vs A [ L] [ u] V H Fü N dicht nebeneinande liegende Windungen gilt: und u dφ N dt L (6.) NΦ Li (6.) Schaltsymbole fü Induktivitäten bzw. Spulen sind: z.b. 5 µh ode mh Volesungsfolien GdE II 78

79 6.5. Gegeninduktion In Bild 6.8 sind zwei getennte Dahtschleifen bzw. Spulen gegeben, wobei jede Windung eine Spule mit demselben Fluss vekettet ist. Zunächst soll nu duch die Spule ein Stom i fließen (Bild 6.8a): Bild 6.8a Ein Teil des von ihm hevogeufenen Feldes duchsetzt die Spule, ein andee Teil nicht. De Fluss duch Spule sei Φ, de Teilfluss duch die Spule sei Φ. Ändet sich de Stom i, egeben sich gemäß Gl. (6.) folgende Spannungen: u u N N dφ dt dφ dt (spich:in ""von"") (spich:in ""von"") Volesungsfolien GdE II 79

80 Die Spannung u entsteht duch Selbstinduktion, u duch Gegeninduktion: In Spule wid eine Spannung induziet, wobei die Flussändeung duch Spule hevogeufen wid. Im zweiten Fall möge nu in Spule ein Stom i fließen (Bild 6.8b). Bild 6.8b Aus den mit i veknüpften Flüssen entstehen in Spule duch Gegeninduktion und in Spule duch Selbstinduktion folgende Spannungen: u u N N dφ dt dφ dt Volesungsfolien GdE II 80

81 Fließen duch beide Spulen Stöme, dann übelagen sich deen Felde und die Flüsse linea. Damit gilt fü die Spannungen: u u u u + u + u N N dφ dt dφ dt + N + N dφ dt dφ dt (6.3) In Gl. (6.3) sind die Flüsse Φ und Φ dem Stom i popotional, d.h. sie weden duch diesen hevogeufen. Die Flüsse Φ und Φ sind dem Stom i popotional. Damit kann man scheiben: NΦ NΦ L L i i NΦ NΦ L L i i (6.4) Volesungsfolien GdE II 8

82 Damit kann Gl. (6.3) umgeschieben weden: u u L L di dt di dt + L + L di dt di dt (6.5) Die Koeffizienten L und L sind die Selbstinduktionskoeffizienten ode Induktivitäten de Spulen und, L und L sind die Gegeninduktionskoeffizienten ode Gegeninduktivitäten, fü die gilt: L L, (6.6) M was noch gezeigt weden muss. Sind meh als zwei Spulen vohanden (in Deiphasensystemen z.b. 3), können die Gln. (6.3) und (6.5) poblemlos eweitet weden. Volesungsfolien GdE II 8

83 6.6 Beechnung von Induktivitäten und Gegeninduktivitäten 6.6. Allgemeines Vefahen --> siehe Elektische und magnetische Felde (Pof. Binkmann) 6.6. Beechnung de Induktivität aus dem magnetischen Fluss Fü einige einfache Fälle sollen nun die Induktionskoeffizienten mittels Gl. (6.4) bestimmt weden. Die Vogehensweise besteht dain, mittels: L i N Φ (*) jj j j jj die Selbstinduktivität de Spule j zu bestimmen und mittels: L i N Φ (**) jk k j jk deen Gegeninduktivität zu Leiteanodnung k zu emitteln. Volesungsfolien GdE II 83