Inhaltsverzeichnis. Dozent: Andreas Nestke Lehrfach: Mathe 3 Thema: Wahrscheinlichkeitstheorie Datum: Autor: René Pecher

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1 Dozent: Andreas Nestke Lehrfach: Mathe 3 Thema: Wahrscheinlichkeitstheorie Datum: Autor: René Pecher Inhaltsverzeichnis 1 Permutation ohne Wiederholungen mit Wiederholungen Variation ohne Wiederholungen mit Wiederholungen Kombination ohne Wiederholungen mit Wiederholungen Ereignisse 2 5 Geschichte des Wahscheinlichkeits-Begriffs 2 6 Wahrscheinlichkeitsraum Rechenregeln Ω sei diskret Ω sei stetig Unvereinbarkeit Unabhängigkeit bedingte Wahrscheinlichkeit Multiplikationssatz Ereignisbäume 7 8 Zufalls-variablen, Verteilungsfunktion Diskrete Zufalls-variablen Stetige Zufalls-Variablen Symmetrische ZV Verteilungsparameter Erwartungswert E(X) = µ Varianz V (X) = σ Eigenschaften (Rechenregeln) Spezielle Zufalls-Variablen Diskrete Verteilung Stetige Verteilung

2 1 Permutation Ümsortierung der Elemente einer endlichen Menge, d.h. eine eineindeutige Abblidung der Mende auf sich. 1.1 ohne Wiederholungen Anzahl aller Permutationen mit n unterscheidbaren Elementen: n! 1.2 mit Wiederholungen Anzahl aller Permutationen mit n Elementen, n 1 ; n k nicht unterscheidbar: n! n 1! n k! 2 Variation Anordnung (Ziehung) von k der n der Elemente, welche nach der Reihenfolge (der Ziehung) angeordnet werden. 2.1 ohne Wiederholungen Keines der n Elemente darf mehrfach auftauchen. (Ziehung ohne Zurücklegen) Anzahl aller Variationen: n! (n k)! 2.2 mit Wiederholungen Jedes der n Elemente darf mehrfach auftauchen. (vor nächster Ziehung wird Zurücklegt) Anzahl aller Variationen: n k 3 Kombination Auswahl von k der n der Elemente ohne Berücksichtigung der Reihenfolge. 3.1 ohne Wiederholungen Keines der n Elemente darf mehrfach ( auftauchen. (Ziehung ohne Zurücklegen) Anzahl aller Kombinationen: n ) k = n! k! (n k)! 3.2 mit Wiederholungen Jedes der n Elemente darf mehrfach ( auftauchen. (vor nächster Ziehung wird Zurücklegt) Anzahl aller Kombinationen: n+k 1 ) k = (n+k 1)! k! (n k)! 1

3 4 Ereignisse Ω Ω Ω sicheres Ereignis unmögliches Ereignis A, B E(Ω) A B E(Ω) A B E(Ω) A \ B E(Ω) Ω \ A E(Ω) A und B treten gemeinsam ein A oder B ist eingetreten A ist eingetreten B nicht A ist nicht eingetreten E(Ω) muss abgeschlossen sein A B = A und B sind unvereinbar A B E(Ω) A impliziert B A zieht B nach sich Ω \ A = A Komplementäres Ereignis Wahrscheinlichkeit weist jedem Ergebnis eine Zahl, seine Wahrscheinlichkeit zu: P : E(Ω) R mit gewissen Eigenschaften. 5 Geschichte des Wahscheinlichkeits-Begriffs 1. Wahrscheinlichkeit als relative Häufigkeit: A Ω f n (A) = hn(a) n 2. Subjektive Wahrscheinlichkeit n P (A) 3. Laplace-Wahrscheinlichkeit; klassischer W-Begriff: Ω endlich alle Möglichkeiten sind gleich wahrscheinlich Dann: A Ω P (A) = A Ω = Anzahl der fuer A guenstigen Anzahl aller moeglichkeiten 4. Axiomatik der Wahrscheinlichkeits-Theorie 2

4 6 Wahrscheinlichkeitsraum Definition: Ein Wahrscheinlichkeitsraum ist ein Tripel [Ω, E(Ω), P ], wobei Ω die Menge aller möglichen Ausgänge eines Zufallsexperiments, E(Ω) eine Menge von Ereignissen und P : E(Ω) R eine Funktion ist mit 1. P (A) 0 für alle A E(Ω) 2. P (Ω) = 1 3. P (A B) = P (A) + P (B), falls A, B E(Ω) unvereinbar sind E(Ω) ist gleich P (Ω), falls Ω endlich oder abzählbar unendlich (diskret) ist, für überabzählbares Ω (stetig oder kontinuierlich) ist E(Ω) eine Familie von Teilmengen von Ω mit folgenden Eigenschalten: Ω E(Ω) A E(Ω) A = Ω \ A E(Ω) A i E(Ω), i N i=1 A i E(Ω) σ - Algebra Verschärfung von 3. (sigma - Algebra) A i E(Ω), A i A j = für i j (paarweise unvereinbar) Dann gilt P ( i=1 A i) = i=1 P (A) 3

5 6.1 Rechenregeln 1. P (A) = 1 P (A) A A = A (Ω \ A) = Ω und A (Ω \ A) = P (Ω) = 1 = P (A) + P (A) 2. P ( ) = 0 3. A 1, A 2,, A n E(Ω) mit A i A j = für i j P (A 1 A 2 A n ) = P (A 1 ) + P (A 2 ) + + P (A n ) 4. P (A \ B) = P (A) P (A B) A = (A \ B) (A B) (A \ B) (A B) = 5. P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) 6. A B P (A) P (B) B = (B \ A) A P (B) = P (B \ A) + P (A) Ω sei diskret {e i } Elementarereignis Ω = {e 1 } {e n }( ) P (Ω) = 1 = P P n (+ ) P ({e i }) = P i = 0 A Ω: A = {e i1,, e ik } P (A) = P i1 + + P ik 4

6 Spezialfall: Laplace-Experiment Ω = {e 1 } {e n } und p = p i mit i = 1,, n p = p i = 1 n und P (A) = A n Urnenmodell I N Kugeln, davon M rote alle übrigen schwarz, Ziehung von n Kugeln (gleichzeitig Laplace W.) ohne zurücklegen. M N und n N A Wahrscheinlichkeit um k rote Kugeln zu ziehen P (A) = (M k ) ( N M n k ) ( N n) Urnenmodell II N Kugeln, davon M rote alle übrigen schwarz, Ziehung von n Kugeln (gleichzeitig Laplace W.) mit zurücklegen. M N und n N ziehen A Wahrscheinlichkeit um beim 1. mal eine rote Kugeln zu P (A) = M N 0 k n B Wahrscheinlichkeit für k rote der n Kugeln P (B) = ( M N ) k ( ) 1 M n k ( N n k) 6.3 Ω sei stetig Alle Elementarereignisse sind gleich wahrscheinlich P ({e}) = 0! Beispiele: 1. Ω = R (Ω = s 1 ) P (A) Länge von A P (Bogen) Bogenlänge von = Bogenlaenge 2π 2. Tor Ω = [0; 3]x[0; 2] P (A) Fläche von A = F (A) 6 5

7 6.4 Unvereinbarkeit Unabhängigkeit [Ω, E(Ω), P ] 1. A, B E(Ω) A, B sind unvereinbar, falls A B = 2. A 1,, A n E(Ω) heißen paarweise unvereinbar, falls A i A j = für i j 3. A 1,, A n E(Ω) heißen Vollständig unvereinbar, falls für jedes k n A i1 A ik = für i r i s 6.5 bedingte Wahrscheinlichkeit Bedingte Wahrscheinlichkeit für A unter der Bedingung B. P (A B) = P (A B) P (B) P ( B) erfüllt die Axiome eines Wahrscheinlichkeitsmaßes für E(Ω), d.h.: 1. P (A B) 0 2. P (Ω B) = P (Ω B) P (B) = 1 3. A 1 A 2 = : P (A 1 A 2 B) = P (A 1 B) + P (A 2 B) 4. P (A 1 A 2 B) = P ((A 1 A 2 ) B) P (B) 6.6 Multiplikationssatz P (A B) = P (A B) P (B) = P ((A 1 B) (A 2 B)) P (B) = P (A 1 B)+P (A 2 B) P (B) A; B E(Ω) heißen unabhängig, falls eine der Folgenden Bedingungen erfüllt ist: 1. P (A B) = P (A B) 2. P (A) = P (A B) P (B) = P (B A) 3. P (A B) = P (A) P (B) Wenn A und B unabhängig sind MULTIPLIZIEREN sich die einzelnen Wahrscheinlichkeiten. P (A B C) = P (A) P (A B) P (C A B) 6

8 7 Ereignisbäume Nur für Mehrstufige Zufallsexperimente anwendbar. An den Zweigen steht die bedingbte Wahrscheinlichkeit dafür das das Ereignis am Ende des Zweigs eintritt. Pfadregeln: 1. Multiplikationsregel: Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis am Ende eines Pfades ist das Produkt der Wahrscheinlichkeiten der Zweige die zu diesem Ereignis führen. 2. Additionsregel: Die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Pfade, längs derer es erreicht werden kann. 8 Zufalls-variablen, Verteilungsfunktion 8.1 Diskrete Zufalls-variablen [Ω, E(Ω), P ], X : Ω R ZV X heißt diskret, falls X nur endlich oder abzählbar unendlich viele Werte annimmt. Dann ist X durch seine Verteilung bestimmt also die Werte x 1, x 2,, x n (, ) und die Wahrscheinlichkeiten p i = P (X = x i ) = P ({e Ω X(e) = x i }) > 0 X { (x i ; p i )} mit i = 1, 2,, n(, ) P (X x) = F X (x) P (X > x) = 1 P (X x) = 1 F X (x) a < b: P (a < X b) = P ({X b} \ {x a}) = P (X b) P (X a) = F X (b) F X (a) P (a X b) = P ({a < X b} {X = a}) = F X (b) F X (a) + P (X = a) P (X = a) = F X (a) F X (a) mit F X (a) = linksseitigen GW von F X in a { 0,falls a keine Sprungstelle von F X ist. P (X = a) = sprunghöhe,falls a Sprungstelle von F X ist. 7

9 8.2 Stetige Zufalls-Variablen [Ω, E(Ω), P ], X : Ω R ZV X heißt stetig, falls X eine Dichte (funktion) f hat, d.h. eine Funktion f : R R mit 1. f(x) 0 für alle x, 2. + f(x)dx = 1 und 3. P (X x) = F X (x) = x f(t)dt x f(t)dt = F X(x) F X (x) = f(x) gilt. c < x: x f(t)dt = x f(t)dt c f(t)dt = F c X(x) F X (c) F X(x) c Folgerung: X stetig P (X = x) = 0 für alle x R. P (a X b) = P (a < X b) = P (a X < b) = P (a < X < b) = F X (b) F X (a) 8.3 Symmetrische ZV Die Zufalls-Variable X heißt symmterisch zu c R, falls für alle x R P (X c x) = P (X c + x) gilt. P (X c x) = F X (c x) P (X c + x) = 1 P (X < c + x) = 1 P (X c + x) = 1 F X (c + x) F X (c x) = 1 F X (c + x) Rotations symmetrisch um (c; F X (c)). Folgerung: Ist die ZV X stetig und symmetrisch zu c, dann gilt für ihre Dichte f(c x) = f(c + x), der Graph geht also unter Spiegelung an der Geraden x = c in sich über. c = 0 f gerade 8.4 Verteilungsparameter entsprechen dem arithmetischen Mittel der Statistik Erwartungswert E(X) = µ X diskret, d.h. durch {(x i ; p i )} beschrieben µ = E(X) = i p i x i X stetig µ = E(X) = + x f(x)dx 8

10 8.4.2 Varianz V (X) = σ X diskret σ = V (X) = E(X 2 ) (E(X)) 2 = E((X E(X)) 2 ) X stetig σ = V (X) = + (x µ)2 f(x)dx = + (X E(X))2 f(x)dx Eigenschaften (Rechenregeln) g(x) = b x + a 1. E(g(x)) = b E(X) + a 2. X symmetrisch zu c R = E(X) = c 3. zentrieren von X : X µ x (µ x = E(X)) = E(X µ x ) = 0 4. V (g(x)) = b 2 V (X) 5. Standardisieren von X : Z = X µx mit µ x = E(X) und = V (X) > 0 ( ) 1 = E(Z) = E X µx = 1 E(X) µx = 0 ( ) 1 = Z(Z) = V X µx = 1 V (X) = 1 σx 2 6. Tschebyscheff-Ungleichung (grobe Abschätzung) P ( X µ x ε) 1 σ2 x ε 2 P ( X µ x ε) σ2 x ε 2 ε = λ : λ = 1; 2; 3 P ( X µ x λ ) 1 λ 2 λ = 2 P ( µ x 2 X µ x + 2 ) Bereich λ = 3 P ( µ x 3 X µ x + 3 ) Bereich 9

11 8.5 Spezielle Zufalls-Variablen Diskrete Verteilung [Ω, E(Ω), P ] A E(Ω) mit P (A) = Π > 0 Bernoulli - Experiment es wird n mal unabhängig ausgeführt. X gibt an wie oft A eingetreten ist. Werte von X: 0; 1; 2; 3; ; n p i = P (X = i) = ( ) n i Πi (1 Π) n i Binomial Verteilung mit n N 0 < Π < 1 X B(n; Π) µ x = E(X) = n Π; σ 2 x = V (X) = n Π (1 Π) für sehr große n und sehr kleine Π: Faustregel: Π 0, 1; n 50 und n Π 9 B(n; Π) P o (µ) X P o (µ) P o (µ) = P (X = i) = e µ µi i! mit µ = n Π E(X) = µ = V (X) Bernoulli - Experiment X gibt die Anzahl der Wiederholungen an bis A erstmalig eingetreten ist. Werte von X: N p i = P (X = i) = Π (1 Π) i 1 X G(Π) heißt Geometrische Verteilung E(X) = 1 1 Π ; V (X) = Π Π 2 Hypergeometrische Verteilung Modell: Urne mit N Kugeln, 0 < M < N rote, Rest schwarz, es werden n Kugeln ohne zurücklegen gezogen. X = Anzahl der roten unter n gezogenen Kugeln. Werte von X: 0; 1; 2; 3; ; n mit i M; n i N M p i = P (X = i) = (M i ) ( N M n i ) ( N n) E(X) = n M N V (X) = n M N (1 M N ) N n N 1 10

12 8.5.2 Stetige Verteilung Rechteck- oder Gleichverteilung: Exp.: zufällige Wahl einer Zahl im Intervall [α; β], α < β 0, x < α 1 Dichte f(x) =, α x β β 2 0, x β Verteilungfunktion F (x) = 0, x α x f(t)dt = x α, α < x < β β α 1, x β P (a X b) = b b a f(x)dx = a β α Exponentialverteilung: Seltenes Ereignis wird mit der Poission-Verteilung beschrieben. Dann ist die Zeit, die bis zum nächsten Eintreten dieses Ereignisses vergeht- die Wartezeit-exponential-Verteilt. { 0, x < 0 Dichte f(x) = λ e λx, x 0 Verteilungfunktion F (x) = x f(t)dt = x 0 λ e λt dt = [ e λt] x 0 = 1 e λx = E(X) = 1 λ ; V (X) = 1 λ 2 Satz: Die Exponentialverteilung hat kein Gedächtnis ; d.h. P (X > s + t X > t) = P (X > s) für alle s, t. { 0, x < 0 1 e λx, x 0 Normalverteilung: ϕ µ,σ 2(x) = 1 2π σ e (x µ)2 2σ 2 Φ µ,σ 2(x) = x infty ϕ µ,σ 2(t)dt (Gaus-Verteilung) tabeliert für µ = σ 2 = 1 11