D-ERDW, D-HEST, D-USYS Mathematik II FS 15 Dr. Ana Cannas. Lösungen zu Serie 8. F n ds = (0 + 0) dx dy = 0. (1 ( 1)) dx dy = 2

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1 D-EDW, D-HET, D-UY Mathematik II F Dr. Ana annas Lösungen zu erie 8. a) Wir berechnen den Fluss von F mittels Green F n ds + ) dx dy und die Zirkulation F T ds )) dx dy wobei Vol ) den Flächeninhalt des Gebietes bezeichnet. b) Der Fluss von F ist und die Zirkulation F T ds c) Der Fluss von F ist F n ds und die Zirkulation d) Der Fluss von F ist und die Zirkulation F T ds F n ds dx dy Vol ) πa, + ) dx dy dx dy Vol ) πa. + 3)) dx dy Vol ) πa F T ds F n ds ˆ π ˆ a dx dy. xy + xy) dx dy y x )) dx dy x + y ) dx dy [ ] r r a r dr dθ π a π.

2 . a) Der Fluss von F ist und die Zirkulation + ) dx dy Vol Quadrat) )) dx dy. b) Für das Integrationsbegiet, das vom Dreieck umrandet wird, gilt offenbar x 3 und y x, da y unter der Diagonale liegt. Der Fluss von F ist x + y) dx dy ˆ 3 ˆ 3 Die Zirkulation von F ist x y) wie oben. y x) dx dy [ ] y x xy dx x dx x3 3 3 ˆ 3 ˆ x ˆ 3 9. x y) dx dy 9, y x) dy dx ) x x dy }{{} x c) Offenbar gilt für das Integrationsgebiet, das von der Kurve umrandet wird, Dann ist der Fluss von F y + )) dx dy x, x y x. ˆ ˆ x ˆ ˆ [ ] y x y ) dx dy x y dx x x ) [ x x x + x dx 3 x 3 x ] + x3 3

3 Die Zirkulation von F ist x + y)) dx dy ˆ ˆ x ˆ ˆ [ x y) dy dx y xy y ] x x x x x x x x + x 3 + x ) dx [ 3 x 3 x x x3 3 + x + x ] dx d) Offenbar gilt für das Integrationsgebiet, das von der Kurve umrandet wird Dann ist der Fluss von F 3x y + x ) dx dy x, x x y x. ˆ ˆ x ˆ ˆ ˆ [ x9 x x 3x y + ) x dy dx [ x y 3 + x y ] x x x dy x + x x x x) 3 x x x) x 8 + 3x 7 7 ) x6 + 3x dx ] 9 + 3x8 8 x7 + x6 [x 6 x x 8 x + )] ) 6 9. ) dy Die Zirkulation ist x 3 y x 3 y ) dx dy. 3. a) Man verwendet eine der beiden Formen des atzes von Green beide liefern hier dasselbe esultat). Dann ist hier M y und N x und ist das Gebiet, welches vom Dreieck umrandet wird x, y x + 3

4 und somit y dx + x dy ) dx dy x y) dx dy ˆ ˆ x+ ˆ x y) dy dx ˆ ) x x + ) + x dx ˆ 3x + x ) + ). ] x+ [xy y dy [ x 3 dx + x x ] b) Das Integrationsgebiet ist offenbar die Kreisscheibe, die vom angegebenen Kreis umrandet wird. Dann sind M 6y + x und N y + y und mit dem atz von Green 6y + x) dx + y + x) dy 6) dx dy Vol Kreis mit adius r ) π 6π.. a) Da die Ebene im Inneren eines Zylinders liegt, verwenden wir Zylinderkoordinaten ar, θ) r cos θ, r sin θ, r sin θ), mit θ π und r. Dabei haben wir verwendet, dass die Punkte auf der Ebene y + z liegen und somit insbesondere z y r sin θ mit den entsprechenden Koordinaten. Dann ist cos θ r sin θ a r r, θ) a θ r, θ) sin θ r cos θ sin θ r cos θ r sin θ cos θ + r sin θ cos θ r sin θ + r cos θ r cos θ + r sin θ r r

5 und somit das Flächenelement dσ dσ a r r, θ) a θ r, θ) r + r r. Dann ist der Flächeninhalt von ˆ π ˆ dσ r dr dθ π [r ] π. b) Wir parametrisieren die Fläche wie folgt ar, θ) r cos θ, r sin θ, r) mit θ π und r 3. Hierbei haben wir verwendet, dass ein Punkt auf dem Kegelstumpf z x + y erfüllt und somit ist z r in parametrisierten Koordinaten. Desweiteren ist z 6 und somit r 6 also r 3. Für das Flächenelement dσ berechnen wir a r r, θ) a θ r, θ) cos θ, sin θ, ) r sin θ, r cos θ, ) r cos θ r sin θ θ und somit dσ a r r, θ) a θ r, θ) Dann ist der Flächeninhalt von ˆ π ˆ 3 [ r dσ r dr dθ π c) Wir parametrisieren die Fläche als r cos θ + r sin θ + r r. ] 3 au, θ) cos θ, sin θ, u), π 9 ) 8 π. mit θ π und u, wobei z u. Dann ist dσ und somit der Flächeninhalt ˆ π ˆ du dθ π [u] π ) 6π. Das kann man jedoch auch direkt sehen, da ein Kreiszylinderband Obefläche πr h hat, wobei r der adius des Kreisringes und h die Höhe bezeichnet.

6 d) Wir parametrisieren die Fläche mittels Zylinderkoordinaten ar, θ) r cos θ, r sin θ, r ) mit θ π und r. Hier haben wir verwendet, dass z x + y r in parametrisierten Koordinaten. Die Bedinung an den adius r ergibt sich aus z r r, dann muss r r und somit r. Das Flächenelement dσ ermitteln wir wie folgt cos θ r sin θ a r r, θ) a θ r, θ) sin θ r cos θ r r cos θ r sin θ r cos θ + r sin θ und somit dσ r cos θ + r sin θ + r r r +. Der Flächeninhalt der Fläche ist somit ˆ π ˆ r r + dr dθ π 3 r + ) 3 8 π 6 ). e) Offenbar schneidet ein Kegel, der seinen pitz im Kugelmittelpunkt hat, ein Kugelsektor heraus. Da ϕ genau der Winkel zwischen der postiven z-halbachse und dem Ortsvektor eines Punktes auf der Kugel beschreibt, müssen wir nur herausfinden, bei welchem Winkel sich Kegelstumpf und Kugel schneiden, respektive der Öffnungswinkel des Kegelstumpfes. Der Kegelstumpf ist nach oben geöffnet und erfüllt tan θ r z r r, da z x + y, und somit θ π. Ausserdem entnehmen wir der Kugelgleichung, dass. Eine Parametrisierung der Fläche mittels Kugelkoordinaten ist also aϕ, θ) sin ϕ cos θ, sin ϕ sin θ, cos ϕ) mit θ π und π ϕ π. Ausserdem ist das Flächenelement in Kugelparametrisierung gegeben durch dσ sin ϕ dθ dϕ. Also ist der Flächeninhalt gegeben durch ˆ π ˆ π ) sin ϕ dϕ dθ π [ cos ϕ] π π π + π + ). π 6

7 . a) Da die z-koordinate als Funktion von x und y, z gx, y) x y, geschrieben werden kann, ist das Oberflächenintegral hier gegeben durch Gx, y, z) dσ Gx, y, fx, y)) gx + gy + dx dy ˆ ˆ 3 3 ˆ x y) + + dx dy [x x xy [ 7 y y ] 3 ] dy 3 7 ) ˆ 3 3. ) 7 y dy b) Hier verwenden wir wieder, dass y gx, z) x und somit ist das gesuchte Integral gegeben durch Gx, gx, z), z) g x + g z + dx dz ˆ 3 ˆ ˆ 3 ˆ 3 3 x x + dx dz [ x + ) 3 ] 3 dz 8 ) 6 + ) 3 dz 7 7 ) 7 ) 7. c) Hier verwenden wir Kugelkoordinaten mit ϕ und θ als Parameter mit Flächenelement sin ϕ dϕ dθ, wobei hier. Dann ist x sin ϕ cos θ x dσ ˆ π ˆ π ˆ π sin ϕ cos θ) sin ϕ dϕ dθ cos θ dθ ˆ π ˆ π ˆ π sin 3 ϕ dϕ π 3 3 π. sin 3 ϕ cos θ dϕ dθ Hier haben wir verwendet, dass π cos θ dθ π und π sin3 ϕ dϕ. Das 3 kann man zum Beispiel mit den trigonometrischen Formeln oder partieller Integration ermitteln. cos θ + cosθ)) sin 3 ϕ 3 sin ϕ sin3ϕ)) 7

8 d) Die naheliegendste Parametrisierung ergibt sich durch die Darstellung der Ebene als Graph der Funktion g : x, y) + x + y. Dann ist z gx, y) und insbesondere g x + g y + ) ) x y x + y + x + y x + y + x + y +. Ausserdem ergeben sich die Integralgrenzen x, y x und somit das Integral gegeben durch Gx, y, gx, y)) gx + gy + dx dy ˆ x ˆ x ˆ x ˆ x + x + y dx dy + x + y + x + y dx dy + x + y. Durch Einführen von Polarkoordinaten geht dieses Integral über in ˆ π ˆ ˆ r dr dθ π + r r dr + r π + r e) Die Fläche kann beispielsweise mithilfe von Zylinderkoordinaten x, y, z) r cos θ, r sin θ, z), r x + y, parametrisiert werden. Es gilt z x y r ), π also r z / für z. Eine Parametrisierung ist also durch z cos θ az, θ) z, z, θ π, z 8

9 gegeben. Für Punkte x, y, z) auf gilt ) + 3x + 3y + 3 z 3z 3z 6. Ferner gelten a z z, θ) z z z z cos θ sin θ, a z sin θ θz, θ) z cos θ, also a z z, θ) a θ z, θ) z cos θ, z sin θ, z und damit a z z, θ) a θ z, θ) z + z 6 Das Oberflächenintegral ist demnach ˆ π ˆ + 3x + 3y dσ 3z 6 ˆ π 3z 6 3z 6. 3z 6 ) dz π. ) T dz dθ Alternativ lässt sich die Fläche auch mithilfe von verallgemeinerten Kugelkoordinaten parametrisieren. Eine solche Parametrisierung ist z.b. durch sin ϕ cos θ gθ, ϕ) sin ϕ sin θ, θ π, ϕ π, cos ϕ gegeben. Mit + 3 x + y ) + 3 sin ϕ und sin ϕ sin ϕ g ϕ ϕ, ϕ) cos ϕ sin ϕ, cos ϕ cos θ g ϕ θ, ϕ) cos ϕ sin θ, sin ϕ also g θ θ, ϕ) g ϕ θ, ϕ) cos θ sin ϕ ) + sin θ sin ϕ ) + sin ϕ cos ϕ) sin ϕ + sin ϕ cos ϕ sin ϕ sin ϕ + cos ϕ sin ϕ + 3 sin ϕ, 9

10 folgt ebenfalls ˆ π + 3x + 3y dσ ˆ π ˆ π π sin ϕ + 3 sin ϕ ) dϕ dθ sin ϕ + 3 sin 3 ϕ ) dϕ π. 6. a) Für festgehaltene v v parametrisiert cos u + cos v ) u sin u + cos v ), u π, sin v einen Kreis in der Ebene z sin v um die z-achse mit adius + cos v. Für festgehaltene u u parametrisiert cos u + cos v) v sin u + cos v), v π, sin v einen Einheitskreis mit Abstand vom Ursprung und Mittelpunkt auf der xy- Ebene, der in derjenigen Ebene durch die z-achse liegt, die mit der xz-ebene den orientierten) Winkel u einschliesst. Die Fläche T setzt sich also aus allen Kreisen zusammen, die parallel zur xy-ebene liegen, ihren Mittelpunkt auf der z-achse haben und den Einheitskreis um den Punkt,, ) in der xz- Ebene schneiden bzw. entsteht dadurch, dass dieser Kreis um die z-achse rotiert wird. T ist also ein Torus. b) Es gelten sin u + cos v) cos u sin v f u u, v) cos u + cos v), f v u, v) sin u sin v cos v und daher cos u cos v + cos v) f u u, v) f v u, v) sin u cos v + cos v) + cos v, sin v + cos v) wobei wir cos u + sin u cos v + sin v benutzt haben.

11 Damit ergibt sich ˆ π ˆ π als Flächeninhalt von T. ˆ π ˆ π + cos v) du dv du dv + 8π. c) Wir schreiben fu, v) xu, v), yu, v), zu, v)) T, also xu, v) cos u + cos v), yu, v) sin u + cos v) und zu, v) sin v. Dann gilt für v π/ wegen cos u + sin u ) ) xu, v) + yu, v) + cos v) + sin v + ) zu, v), also ) xu, v) + yu, v) + zu, v). Die Fläche T liegt also in der Niveaufläche zum Niveau der Funktion g : 3, gx, y, z) x + y ) + z. Die Niveaufläche ist offensichtlich ebenfalls rotationssymmetrisch zur z-achse. Gilt umgekehrt gx, y, z), so liegt x, y, z) auf einem zur x-y-ebene orthogonalen Einheitskreis mit Abstand vom Ursprung und Mittelpunkt auf der x-y-ebene, liegt also auf der Torusfläche T. 7. siehe online Version mittels des personalisierten Links oder das zugehörige PDF auf der Kursübungswebseite