ART 5. Kontravarianter und kovarianter Vierervektor

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1 ART 5. Kontravarianter und kovarianter Vierervektor Wolfgang Lange. Oktober 205 B. Mathematische Hilfsmittel für die Aufstellung allgemein kovarianter Gleichungen. Über 5. Kontravarianter und kovarianter Vierervektor Wir beginnen mit den Bemerkungen am Schluss von Einsteins Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie 5. Diese Schreibweise der Indies und die bekannte Matrienrechnung wird bereits hier angewendet.

2 W.Lange - ART 5. Kontravarianter und kovarianter Vierervektor. Oktober 205 Einstein verwendet den Begriff Linienelement unterschiedlich. Hier ist es ein vierdimensionaler Vektor, der nicht mit dem später verwendeten Linienelement ds übereinstimmt. Gl. 5 ist ausgeführt für einen Wert σ mit d σ = ν d σ = T = d ν = σ d + σ + σ + σ, σ d und d = σ T d Damit werden für jedes σ die vier Differentiale in der bekannten Matrischreibweise als kontravarianter Vierervektor d d d d d d 3 d = d = Λd, T d Λ = T = µ d. 2

3 W.Lange - ART 5. Kontravarianter und kovarianter Vierervektor. Oktober 205 oder als bekannte Matri mit Zeilen- und Spalteninde Λ µν. Die Auflösung dieser Transformation erfolgt durch linksseitige Multiplikation d Λ d = Λ Λd = Id = d, Statt der beiden Spaltenvektoren der Differentiale kann man beliebige Größen verwenden und kommt auf ein Gleichungssstem bw. die Tensorgleichung 5a A σ = A ν = ν= ν= σ d d 2 d 3 d A ν σ A ν a = T a = Λa, A σ ν A σ a = σ. T a = Λ a. Die Spaltenvektoren des klassischen Gleichungssstems nennt Einstein kontravariante Vierervektoren mit dem ugegörigen Transformationsgeset. Dieser Abschnitt ist nur mit der Matrienrechnung u verstehen. Zwei Vektoren a und b sind so u multipliieren, dass das Ergebnis ein invarianter Skalar wird. Das geht nur mit der Transposition des 3

4 W.Lange - ART 5. Kontravarianter und kovarianter Vierervektor. Oktober 205 einen Spaltenvektors in einen Zeilenvektor und wegen des kontravarianten Tensors B σ b = Λb lautet die Beiehung a T b = a T Λ Λb = a T Ib = a T b. Der kontravariante Vektor wird B σ = ν= und der kovarianten Vierervektor mit unterem Inde Das Produkt ist Das führt uns u dem Sat: A σ = a T = a T Λ = A σb σ = ν= B ν A ν σ ν, und a = Λ T a. σ σ A ν ν B ν σ = A ν ν B ν. Das skalare Produkt weier Vektoren eines Zeilenvektors mit einem Spaltenvektor ist invariant gegenüber linearen Transformationen, wenn der Spaltenvektor mit einer Transformationsmatri Λ linksseitig kontravariante Transformation und der Zeilenvektor rechtsseitig mit der Inversen Λ der verwendeten Transformationsmatri kovariante Transformation multipliiert werden. Beide Vektoren werden kontragredient ueinander transformiert. Das ugehörige Differential ist Alle vier gestrichenen Differentiale sind d d 2 d 3 d d σ σ = d + d σ d σ d σ, d σ = d = d Wir haben in dem kovarianten Differential d σ einen kontravariantrn Ableitungsvektor T = T 2 3 T = = und die gesamte Matri wird ein dadisches Produkt oder ein Tensor der Stufe 2 T = Λ = T = µ = Λµ ν..,

5 W.Lange - ART 5. Kontravarianter und kovarianter Vierervektor. Oktober 205 Offensichtlich sind in 7 die Indies der partiellen Ableitung vertauscht worden Druckfehler oder sstematischer Fehler?. Danach ist der kovariante Tensor A σ a T ein Zeilenvektor und der kontravariante Tensor B σ b ein Spaltenvektor. Das Besondere an den beiden behandelten Transformationen ist die Gegenüberstellung der Zeilen- und Spaltenvektoren a T = a T Λ, b = Λb. Durch Transposition der rechten Gleichung ergibt sich die Paarung a T = a T Λ, b T = b T Λ T. Beide Zeilenvektoren werden mit Λ und Λ T kontragredient ueinander transformiert, d.h. die kovarianten und kontravarianten Vektoren transformieren sich kontragredient ueinander. Das Wort Umkehrung bedeutet also Kontragredien. Bianchi [] verwendet dafür das Wort reciprok. Kovarianter und kontravarianter Vierervektor sind als Zeilen- bw. Spaltenvektor die Grundlagen der Matrienrechnung. Davon weicht die Tensoralgebra in einigen Stellen ab, weil das Transformationsverhalten um Erreichen einer Invarian normaler Vektorprodukte dient. Dennoch gibt es die Invarian bei quadratischen Formen auch ohne die genannten Bedingungen. Anmerkung: Der kontragredienten Transformation bediente sich Lorent [2, 3] im Zusammenhang mit der Galilei-Transformation 0 0 p 0 0 p t 0 0 p t p p p p 0 0 p 0 0 p t + p t + p t + p t t Der Ausdruck = t t p p p ist darin der Ansat für die Ortseit. v + p v + p v + p t. Literatur [] Bianchi, Luigi: Vorlesungen über Differentialgeometrie.. Teubner, S. [2] Lorent, H.A.: La théorie électromagnétique de Mawell et son application au corps mouvmants. E. J. BRILL, 892 [3] Lorent, H.A.: Versuch einer Theorie der electrischen und optischen Erscheinungen in bewegten Körpern. E. J. BRILL,