Wahrscheinlichkeit 1-α: richtige Entscheidung - wahrer Sachverhalt stimmt mit Testergebnis überein. Wahrscheinlichkeit α: falsche Entscheidung -
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- Ida Fuhrmann
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1 wahrer Sachverhalt: Palette ist gut Palette ist schlecht Entscheidung des Tests: T K; Annehmen von H0 ("gute Palette") positive T > K; Ablehnen von H0 ("schlechte Palette") negative Wahrscheinlichkeit 1-α: richtige Entscheidung - wahrer Sachverhalt stimmt mit Testergebnis überein Wahrscheinlichkeit α: falsche Entscheidung - H0 wäre richtig, aber Testergebnis führt zu H1 (Fehler 1. Art) false negative Wahrscheinlichkeit β: falsche Entscheidung - H1 wäre richtig, aber Testergebnis führt zu H0 (Fehler 2. Art) false positive Wahrscheinlichkeit 1-β: richtige Entscheidung - wahrer Sachverhalt stimmt mit Testergebnis überein 201
2 P(T>K H0) = α P(T K H0) = 1 - α [wegen P(Ā)=1-P(A)] P(T K H1) = β P(T>K H1) = 1 - β [wegen P(Ā)=1-P(A)] Bayes'sche Formel liefert die eigentlich interessierenden P(H0 T K) und P(H1 T>K) 202
3 Häufig: Vorgehen umgekehrt zum Apfelbeispiel 1) α festlegen (Vorgabe), daraus K berechnen 2) Prüfgröße T mit K vergleichen und danach entscheiden 3) der Wert von α wird dann als P ("Signifikanz") bezeichnet (oft als p bezeichnet) Typisch: α = 5% / 1% / 0.1% (Vorgabe) Meistens: β = 4* α, z.b. β = 20% 203
4 Wie berechnet man die kritische Größe K? Apfelbeispiel: alles wesentliche bekannt - zu Fuß offenbar: T ist eine Zufallsvariable - mit einer Verteilung meistens wird T nicht (wie im Apfelbeispiel) direkt aus den Daten, sondern aus Maßzahlen (die ja selber Zufallsvariable sind) berechnet Verteilung der Zufallsvariable T: - für viele wichtige Fragestellungen bekannt - Tabellen (t, F, χ 2,...) existieren - T kann mit kritischen Werten (entsprechend unterschiedlichen Irrtumswahrscheinlichkeiten) verglichen werden 204
5 Grundgedanke Ein statistischer Test dient zum Überprüfen einer statistischen Hypothese und ihrer Signifikanz. Man nennt ihn deswegen auch Signifikanztest. Man kann mit ihm überprüfen, ob bestimmte Verhältnisse in Stichprobendaten (z. B. Mittelwertsunterschiede) auf Zufall zurückzuführen sind oder nicht. "Statistisch signifikant" bedeutet also nichts anderes als "wahrscheinlich nicht durch Zufall zu erklären". 205
6 Parametrische und nicht-parametrische Tests Wenn die Daten normalverteilt (oder binomial-, oder... also oft bei intervall- oder ratioskalierten Daten) sind, werden sogenannte parametrische Tests verwendet. Wenn keine Verteilung der Daten bekannt ist (meist bei Ordinal-, Nominaldaten), werden nicht-parametrische Tests verwendet. Nicht-parametrische Tests können auch für normalverteilte Daten verwendet werden, liefern aber nicht so scharfe (weitgehende) Aussagen. 206
7 Einseitige und zweiseitige Fragestellungen Einseitig: die Veränderung der Daten bei H1 gegenüber H0 kann theoretisch nur in eine Richtung erfolgen. Beispiel: Einfluß der Erhöhung des Futterangebotes auf Gewicht von Tieren Zweiseitig: die Veränderung der Daten bei H1 gegenüber H0 kann theoretisch in beide Richtungen (größer oder kleiner) erfolgen. Beispiel: Einfluß der Veränderung des Trainings auf die Leistung eines Sportlers Einseitig / zweiseitig wichtig für Ablesen in Tabellen! Annahme von Einseitigkeit bei tatsächlicher Zweiseitigkeit führt zu "geringerer" Irrtumswahrscheinlichkeit (und umgekehrt). 207
8 Allgemeines Vorgehen 1. Formulierung einer Nullhypothese H 0 und ihrer Alternativhypothese H 1 2. Berechnung einer Testgröße/Prüfgröße/Teststatistik T Vers aus der Stichprobe (je nach Testverfahren z.b. den t-wert oder F oder χ 2...) 3. Bestimmung des kritischen Wertes K zum Signifikanzniveau α, das vor Realisation der Stichprobe feststehen muss. Hierzu gibt es Tabellen, in welchen zu gegebenem: 1) α, 2) Freiheitsgrad, 3) ein- oder zweiseitiger Test ein kritischer Wert K=T Tab abzulesen ist. 4. Treffen der Testentscheidung: Ist T Vers kleiner (bei manchen Tests größer) als K, so wird H 0 beibehalten. Ist T Vers größer (bei manchen Tests kleiner) als K, so lehnt man H 0 zugunsten von H 1 ab. 208
9 Die wichtigsten Tests 209
10 χ 2 -Test: Vergleich von beobachteten und erwarteten Häufigkeiten Voraussetzung: 2 T = χ Vers beobachtete Häufigkeiten B i erwartete Häufigkeiten E i >= 1 (besser >= 5) Vorgehen: E i berechnen FG=Freiheitsgrade= Merkmalsklassen - 1 Falls E i aus B i berechnet werden, verringert sich FG weiterhin um die Anzahl der Parameter, die aus B i geschätzt/berechnet werden. =( i n B i 2 E i ) N Entscheidung: Falls T < χ 2 Tab (FG, α) wird H0: "Abweichung der beobachteten von erwarteten Häufigkeiten ist zufällig angenommen, sonst verworfen 210
11 i j Summ e Augenf arbe blau braun grün Randvert eilung Z i /N bei vorausgesagte Häufigkeiten Unabhängigkeit: Haarfar be 1 blond 0.38*0. 48*128 = braun 3 schwar z /128= /128= /128= rot /128= 0.09 Summe Randve rteilung S j /N 62/128 = /128 = /128 =0.24 Duplikat von früherer Seite 211
12 Berechnung der Freiheitsgrade a) Bei jedem Test: Berechnung der Freiheitsgrade FG b) χ 2 -Test: FG = n a n = Merkmalsklassen a = Zahl der Parameter, die aus B i bestimmt werden müssen, um E i zu berechnen. Faustregeln: 1) E i vorgegeben: a=0 2) Kontingenztafel: FG=(Zeilen-1)*(Spalten-1) x 3) häufig: x wird bestimmt: dann ist a=1 212
13 Beispiel: Zusammenhang von Haar- und Augenfarbe - H0: Haar- und Augenfarbe sind unabhängig - Voraussetzungen für 2 -Test sind erfüllt - Randhäufigkeiten: 4+3 dienen zur Berechnung der E ij, aber nur 3+2 sind nötig, da je eine Randhäufigkeit aus der Gesamtzahl der Daten zu berechnen ist. Also: FG= =6 - Prüfgröße: 2 Vers =422 / = = Tab für 5/1/0.1%=12.59/16.81/ Nullhypothese wird abgelehnt 213
14 214
15 Beispiel: Ist die Anzahl radioaktiver Zerfälle tatsächlich zufällig? N=100: (KSV ) Anzahl Zerfälle k beobachtete Häufigkeit f k erwartete Häufigkeit : 100*P λ (k) Poissonverteilung: x= f k k f k P λ ( k )= λk k! e λ ; wir schätzen λ durch Mittelwert: = = χ 2 =27 2 / ( )= ~0 (Rundungsfehler machen χ 2 <0!) FG=5-1-1=3 H0 wird angenommen 215
16 t-test: Vergleich eines Mittelwertes und eines theoretischen Wertes Voraussetzung: Vorgehen: FG=Freiheitsgrade= n - 1 intervallskalierte Daten, normalverteilt Mittelwert der Grundgesamtheit μ bekannt T =t Vers = x μ s x n Entscheidung: Falls T < t Tab (FG,α) wird H0: "der Mittelwert der Daten weicht nur zufällig von dem der Grundgesamtheit ab" angenommen, sonst verworfen 216
17 Beispiel: Größe von Basketballern mittlere Körpergröße bei Männern sei μ =1,80m; a) wir messen bei 4 Basketballern eine mittlere Körpergröße von 2,00m mit einer Standardabweichung s x =0.2m; FG=4-1=3; T=(2-1.8)/0.2*2=2; t Tab (3, 5%) =3.182 zweiseitig; also wird H0 beibehalten b) Wir messen dieselben Werte bei 9 Basketballern: FG=9-1=8; T=3; t(8, 5%)=2.306 zweiseitig t(8, 2%)=2.896 zweiseitig Also statistisch bedeutsamer Befund "auf 2%-Niveau" 217
18 218
19 t-test: Vergleich der Mittelwerte zweier unabhängiger Stichproben Voraussetzung: n x, n y intervallskalierte Daten; normalverteilt Vorgehen: FG=Freiheitsgrade= n x +n y - 2 s D = (n x 1 )s 2 2 x +(n y 1) s y n x +n y 2 t Vers = x ȳ n x n y s D n x +n y Entscheidung: Falls T < t Tab (FG,α; zweiseitig) wird H0: "die Mittelwerte der Stichproben weichen nur zufällig voneinander ab" angenommen, sonst verworfen 219
20 Beispiel: Vergleich der Körpergröße zweier Basketballteams wir messen bei 2 Teams von je 5 Basketballern die mittlere Körpergröße und die Standardabweichung Es sei Team 1: Körpergröße, Std.abw.=1,90m; 0.2m Team 2: Körpergröße, Std.abw.=2,00m; 0.2m FG=5+5-2=8 = s D = t Vers = x ȳ n 1n = 25 =0. 79 s D n 1 +n t Tab (8, 5%) =2.306 zweiseitig; also wird H0 beibehalten. 220
21 t-test: Vergleich der Mittelwerte zweier verbundener Stichproben Voraussetzung: intervallskalierte Daten, normalverteilt; verbundene Stichproben (x i und y i ): n Datenpaare; die Messungen zu gleichem i finden am selben Objekt statt Vorgehen: FG=Freiheitsgrade= n- 1 ; Differenzen d i berechnen t Vers = d s d n Entscheidung: Falls T < t Tab (FG,α; zweiseitig) wird H0: "die Mittelwerte der Stichproben weichen nur zufällig voneinander ab" angenommen, sonst verworfen 221
22 t-test: Prüfung des Maßkorrelationskoeffizienten r Voraussetzung: intervallskalierte Daten, normalverteilt Vorgehen: FG=Freiheitsgrade= n- 2 t Vers = r 1 r 2 n 2 Entscheidung: Falls T < t Tab (FG,α; zweiseitig) wird H0: r weicht nur zufällig von 0 ab" angenommen, sonst verworfen 222
23 t-test: Prüfung des Rangkorrelationskoeffizienten R Voraussetzung: ordinalskalierte Daten a) n>11: FG=Freiheitsgrade= n- 2 b) für α=5% gilt: t Vers = R n 2 1 R 2 n= R krit = Entscheidung: Falls T < t Tab (FG,α; zweiseitig) wird H0: R weicht nur zufällig von 0 ab" angenommen, sonst verworfen 223
24 F-Test: Vergleich zweier Varianzen Voraussetzung: Vorgehen: intervallskalierte Daten, normalverteilt; unabhängige Stichproben Berechne s x 2 und s y2 ; falls s x 2 < s y 2 vertausche x mit y FG1 = n x - 1; FG2 = n y T = F Vers = s x s y 2 FG F 1 FG 2 (α) Entscheidung: Falls T < F tab = (zweiseitig) wird H0: "die Varianzen der Stichproben weichen nur zufällig voneinander ab" angenommen, sonst verworfen. 224
25 225
26 226
27 Beispiel: Vergleich der Varianz der Körpergröße zweier Gruppen von Basketballern a) wir messen bei 2 Teams von je 5 Basketballern die mittlere Körpergröße und die Standardabweichung Es sei Team 1: Körpergröße, Std.abw.=1,90m; 0.2m Team 2: Körpergröße, Std.abw.=2,00m; 0.3m T = F Vers = /0.2 2 = 2.25 F Tab (FG1=4, FG2=4, 5%, zweiseitig) = 9.60; also wird H0 beibehalten. b) wir messen bei 2 Turnieren mit je 31 Basketballern die mittlere Körpergröße und die Standardabweichung Es sei Turnier 1: Körpergröße, Std.abw.=1,90m; 0.2m Turnier 2: Körpergröße, Std.abw.=2,00m; 0.3m T = F Vers = /0.2 2 = 2.25 F Tab (FG1=30, FG2=30, 5%, zweiseitig) = 2.07; also wird H0 verworfen. 227
28 Restliche Aufgaben rechnen! Klausur Fr :15-9:45 Studentenausweis und z,t,f, χ2,-tabellen mitbringen! Kein Rücktritt nach der Klausur Durchstreichen vor Abgabe ergibt 0 Punkte. 1 Buch, 1 Ordner R513 (niedrige M-Nr) und R512 (hohe M-Nr) Sitzordnung nach Matrikel-Nummer, deshalb bis 8:05 ankommen und Platz suchen!
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"Korrelation" bei Nominaldaten: Kontingenz j 1 2 3 beobachtete Häufigkeiten (KSV Tabelle 6.3): i Augenfar be Haarfarb e blau braun grün 1 blond 42 1 6 2 braun 12 5 22 3 schwarz 0 26 2 4 rot 8 4 0 175 i
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