2: Restklassen 2.1: Modulare Arithmetik

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1 2: Restklassen 2.1: Modulare Arithmetik Uhr: Stunden mod 24, Minuten mod 60, Sekunden mod 60,... Rechnerarithmetik: mod 2 w, w {8, 16, 32, 64} Prüfziffern mod 10 oder mod S. Lucks Diskr Strukt. (WS 18/19) 2: Restklassen 2.1: Modulare Arithmetik

2 Division mit Rest Satz 18 Seien a N 0 und n N. Dann gibt es eindeutig bestimmte q N 0, r {0,..., n 1} mit a = n q + r. Entsprechend definieren wir die Operationen div und mod durch a div n = q und a mod n = r (das ganzzahlige Teilen und die Berechnung des Restes). 72 S. Lucks Diskr Strukt. (WS 18/19) 2: Restklassen 2.1: Modulare Arithmetik

3 Die Kongruenz-Relation Definition 19 Ist a mod n = b mod n, dann sind a und b kongruent modulo n, wir schreiben a b (mod n). In welcher logischen Beziehung stehen die Aussagen a = b mod n und a b (mod n)? (Nein, das ist nicht ganz das Gleiche!) 73 S. Lucks Diskr Strukt. (WS 18/19) 2: Restklassen 2.1: Modulare Arithmetik

4 Eigenschaften der Kongruenz-Relation Satz 20 Für alle a, b, n N gelten die folgenden Eigenschaften Reflexivität: a a (mod n) Symmetrie: a b (mod n) b a (mod n) Transitivität: (a b (mod n)) (b c (mod n)) (a c (mod n)) (Allgemein bezeichnet man Relationen, die reflexiv und symmetrisch und transitiv sind, als Äquivalenzrelationen.) Satz 21 (Regel vom Vielfachen in N 0 ) Für alle a, b N 0 mit a b gilt: (a b (mod n)) n (a b). (Hinweis: Alle natürlichen Zahlen n N 0 sind Teiler von 0.) 74 S. Lucks Diskr Strukt. (WS 18/19) 2: Restklassen 2.1: Modulare Arithmetik

5 Rechenregeln mod n Satz (a + b) mod n = ((a mod n) + (b mod n)) mod n 2. (a b) mod n = ((a mod n) (b mod n)) mod n 3. (a b) mod n = ((a mod n) (b mod n)) mod n 4. a d mod n = (a d x a x ) mod n = ((a d x mod n) (a x mod n)) mod n (für x d) Folgerung Bei Berechnungen modulo n kann man Zwischenergebnisse (alle Summen, alle Differenzen und alle Produkte) auf Werte in {0,..., n 1} reduzieren. 75 S. Lucks Diskr Strukt. (WS 18/19) 2: Restklassen 2.1: Modulare Arithmetik

6 Square-And-Multiply Die Potenzierung von Binärzahlen Eingabe: x, y, z {0, 2 n 1} ( drei n-bit Binärzahlen ) Ausgabe: p = y x mod z Algorithmus: p := 1 for i from 0 to n 1 do if x i 0 then p := (p y) mod z ( multiply conditionally ) end if y := y y mod z ( square always ) end for Multiplizieren und den Modulus berechnen können wir in quadratischer Zeit. Dann gilt: Wir können p in kubischer Laufzeit berechnen. (Warum?) 76 S. Lucks Diskr Strukt. (WS 18/19) 2: Restklassen 2.1: Modulare Arithmetik

7 Das 444-Problem: 4 (44) (mod 13) 1. Lösungsversuch: 1. Berechne 4 (44). 2. Reduziere das Ergebnis mod 13. >>> x = 4 ( 4 4) >>> p r i n t ( x ) >>> p r i n t ( x % 13) 9 Ergebnis: 9. Das funktioniert, ist aber wegen des großen Zwischenwertes recht ineffizient. 77 S. Lucks Diskr Strukt. (WS 18/19) 2: Restklassen 2.1: Modulare Arithmetik

8 Mit Python ging die Berechnung aber schnell... Dann berechnen Sie doch bitte mit Python 14 (1414 ) (mod 13). Nach einigen Minuten des Wartens fällt Ihnen vielleicht auf, dass 14 mod 13 = 1 ist S. Lucks Diskr Strukt. (WS 18/19) 2: Restklassen 2.1: Modulare Arithmetik

9 Das 444-Problem (2) 2. Lösungsversuch: 1. Berechne x := 4 4 = Berechne 4 x mit Square-and-Multiply: (4 (4 (... (4 4) mod ) mod 13) 4) mod 13 = 9. Das funktioniert auch, und ist, wegen der kleineren Zwischenwerte, viel effizienter. 3. Lösungsversuch: 1. Berechne y = (4 4 ) mod 13 = 256 mod 13 = Berechne 4 y mit Square-and-Multiply: 4 9 mod 13 = 12. Das ist noch effizienter... und falsch! Im Allgemeinen gilt a d mod n = a d mod n mod n nicht! 79 S. Lucks Diskr Strukt. (WS 18/19) 2: Restklassen 2.1: Modulare Arithmetik

10 2.2: Anwendung: EAN- bzw. GTIN Prüfziffer EAN: 13-stellige European Article Number ; 2009 umbenannt in Global Trade Item Number (GTIN), bestehend aus Länderpräfix (z.b für Deutschland), Unternehmensnummer, Artikelnummer des Herstellers und Prüfziffer x 13 Präfix, Unternehmensnummer und Artikelnummer zusammen 12 Ziffern x 1,..., x 12 {0,..., 9}. 80 S. Lucks Diskr Strukt. (WS 18/19) 2: Restklassen 2.2: Anwendung: EAN/GTIN

11 EAN- bzw. GTIN Prüfziffer (2) Die GTIN (x 1,..., x 12, x 13 ) ist gültig, falls (x 1 + 3x 2 + x 3 + 3x 4 + x 5 + 3x x x 12 + x 13 ) mod 10 = 0. Sei (x 1,..., x 12 ) gegeben. Wie muss man die Prüfziffer x 13 berechnen, um eine gültige GTIN zu erhalten? Erkennungsleistung: Besonders häufige Fehler (bei menschlicher Eingabe) werden meistens erkannt: 1. Veränderung einer gültigen GTIN in nur einer Ziffer erkennt man immer. (Nachrechnen!) 2. Das Vertauschen zweier benachbarter Ziffern wird meistens, aber nicht immer erkannt. (Für welche Ziffern x y gilt x + 3y 3x + y mod 10?) 3. Das Vertauschen zweier beliebiger Ziffern wird in mehr als 50 % aller Fälle nicht erkannt. 81 S. Lucks Diskr Strukt. (WS 18/19) 2: Restklassen 2.2: Anwendung: EAN/GTIN

12 Warum ist die Erkennungsleistung so? Könnte man sie verbessern? Satz von Bézout Seien a, b, n N gegeben. Ist a teilerfremd zu n, dann ist die Gleichung ax b (mod n) lösbar. Es gibt genau eine Lösung x {0,..., n 1}. (Werden wir noch beweisen!) Verändern einer Ziffer: 1 und 3 sind teilerfremd zu 10. Vertauschen zweier Ziffern: 2x b ist nicht eindeutig lösbar. Man beachte, dass 2 und 10 nicht teilerfremd sind! Alternative: Berechnung der Prüfziffer mod 11 (Primzahl!). Problem: zusätzliche Ziffer 10 oder verbotene Eingaben. 82 S. Lucks Diskr Strukt. (WS 18/19) 2: Restklassen 2.2: Anwendung: EAN/GTIN

13 International Standard Book Number (ISBN veraltet) Eine ISBN (x 1,..., x 9, x 10 ) ist gültig, falls x 1 + 2x 2 + 3x 3 + 4x 4 + 5x 5 + 6x 6 + 7x 7 + 8x 8 + 9x 9 x 10 (mod 11). Die 11 möglichen Prüfziffern sind {0, 1,..., 9, X }. Veränderung einer gültigen ISBN in nur einer Ziffer erkennt man immer. Das Vertauschen zweier benachbarter Ziffern erkennt man immer und sogar das Vertauschen zweier beliebiger Ziffern! Statt der alten 10-stelligen ISBN verwendet man inzwischen 13-stellige, bestehend aus einem Pseudo-Ländercode 978, der 9-stelligen ISBN (ohne Prüfziffer) und der GTIN Prüfziffer. 83 S. Lucks Diskr Strukt. (WS 18/19) 2: Restklassen 2.2: Anwendung: EAN/GTIN

14 2.3: Der Satz von Bézout Den folgenden Satz haben wir bereits ohne Beweis behauptet. Er wird auch als Fundamentalsatz der Arithmetik bezeichnet: Satz 23 (Eindeutigkeit der Primzahlzerlegung) Jede Zahl n N, n 2, lässt sich eindeutig in der Form n = p e 1 1 pe 2 2 pe k k darstellen, wobei p 1 < p 2 <... < p k und e 1, e 2,..., e k N gilt. ( Beweis der Existenz induktiv; Eindeutigkeit als Widerspruchsbeweis! ) 84 S. Lucks Diskr Strukt. (WS 18/19) 2: Restklassen 2.3: Der Satz von Bézout

15 Teilerfremde Zahlen Definition 24 Der größte gemeinsame Teiler ggt(a, b) von a, b N ist die größte natürliche Zahl, die sowohl a als auch b teilt. Zwei Zahlen a und b sind teilerfremd (wir sagen auch relativ prim), wenn ggt(a, b) = 1 ist. Die Existenz und Eindeutigkeit des ggt ergeben sich aus der Eindeutigkeit der Primzahlzerlegung. Genau dann, wenn p prim ist, gilt ggt(p, a) = 1 für alle a {1,..., p 1}. 85 S. Lucks Diskr Strukt. (WS 18/19) 2: Restklassen 2.3: Der Satz von Bézout

16 Linearkombinationen Definition 25 Linearkombinationen von zwei Zahlen a, b Z sind alle Zahlen L = ax + by, für x, y Z. Die x, y heißen Koeffizienten von L. Eine Linearkombination L = ax + by ist positiv, wenn L N. Satz 26 (Lemma von Bézout) Die kleinste positive Linearkombination von a und b ist ggt(a, b). Beispiel 27 Die Linearkombinationen von 4 und 6 sind {..., 4, 2, 0, 2, 4,...}, also alle geraden Zahlen in Z. Die kleinste pos. Linearkombination von 4 u. 6 ist 2 = ( 1). 86 S. Lucks Diskr Strukt. (WS 18/19) 2: Restklassen 2.3: Der Satz von Bézout

17 Der Hilfssatz von Euklid Satz 28 Aus n ab und ggt(a, n) = 1 folgt n b. Folgerung 29 Ist p eine Primzahl und p ab, dann ist p a oder p b. 87 S. Lucks Diskr Strukt. (WS 18/19) 2: Restklassen 2.3: Der Satz von Bézout

18 Kürzen mod n Im Allgemeinen gilt nicht ax ay (mod n) x y (mod n). Z.B (mod 20) aber 5 15 (mod 20). Nur wenn wir die Wahl von a einschränken, dürfen wir durch a kürzen: Satz 30 (Kürzungsregel) Ist a teilerfremd zu n und dann gilt ax ay x y (mod n), (mod n). 88 S. Lucks Diskr Strukt. (WS 18/19) 2: Restklassen 2.3: Der Satz von Bézout

19 Lösbare lineare Gleichungen Satz 31 (Satz von Bézout) Seien a, b, n N gegeben. Ist a relativ prim zu n, dann ist die Gleichung ax b (mod n) lösbar. Es gibt genau eine Lösung x {0,..., n 1}. Beispiel: 3x 7 mod 8. Folgerung 32 Ist a relativ prim zu n, dann ist die Funktion π a : {0,..., n 1} {0,..., n 1}, π a (x) = ax mod n eine Permutation. 89 S. Lucks Diskr Strukt. (WS 18/19) 2: Restklassen 2.3: Der Satz von Bézout

20 2.4: Der Restklassenring mod n Modulo n sind alle Werte a ± kn äquivalent. Wir interessieren uns für die Menge der echt verschiedenen Werte, d.h., für a 1, a 2,... mit a i a j (mod n) : Definition 33 Seien n N und a Z. Die Restklasse von a modulo n ist {kn + a k Z} Ein Element einer Restklasse bezeichnet man auch als Repräsentant der Restklasse. Die natürlichen Repräsentanten sind die Zahlen 0,..., n 1. Die Menge aller Restklassen modulo n, geschrieben Z n, bildet, zusammen mit der Addition und der Multiplikation, den Restklassenring mod n. 90 S. Lucks Diskr Strukt. (WS 18/19) 2: Restklassen 2.4: Restklassenring mod n

21 Bemerkungen Jede Restklasse hat genau einen natürlichen Repräsentanten a {0,..., n 1}, aber unendlich viele beliebige Repräsentanten a + kn Z. Nie vergessen: Mathematisch bedeutet eine Berechung in Z n, dass egal ist, wie eine Restklasse repräsentiert wird! Z n besteht aus genau n Restklassen. In Z n können wir rechnen wie in Z ( Rechenregeln mod n), bis auf die etwas andere Kürzungsregel. Wenn klar ist, das eine Berechnung in Z n stattfindet, können wir statt a b (mod n) auch a = b schreiben. 91 S. Lucks Diskr Strukt. (WS 18/19) 2: Restklassen 2.4: Restklassenring mod n

22 Der Begriff Ring Was genau ein Ring ist, werden wir im Kapitel über Körper definieren. Für uns ist wichtig: In Z n gelten, wie in Z, die folgenden arithmetischen Gesetze: Assoziativgesetze: Addition: a + (b + c) = (a + b) + c und Multiplikation: a(bc) = (ab)c. Kommutativgesetze: Addition: a + b = b + a und Multiplikation: ab = ba. Neutrale Elemente: Addition: 0 + a = a + 0 = a und Multiplikation: a1 = 1a = a. Inverses Element der Addition: a + ( a) = 0. Distributivgesetz: a(b + c) = ab + ac 92 S. Lucks Diskr Strukt. (WS 18/19) 2: Restklassen 2.4: Restklassenring mod n

23 Division in Z n In Z ist die ganzzahlige Division als Umkehrung der Multiplikation nur partiell definiert: a/b = c, falls es ein c Z gibt mit bc = a. Z.B. gilt 3 4 = 12 und 3 5 = 15; ensprechend sind 12/4 und 15/5 in Z definiert, aber 13/3 und 14/5 nicht. Auch in Z n wollen wir die Division zumindest partiell definieren. Beispiel Z 10 : 4 3 = 2 und 3 5 = 5. Analog zu Z müsste 2/3 = 4 und 5/5 = 3 gelten. 5/5 = 3? Kann doch nicht sein! Tatsächlich ist 1 5 = 3 5 = 5 5 = 7 5 = 9 5 = 5, also könnte 5/5 eine beliebige ungerade Zahl sein... Und 2/5? D.h. k N mit 2k 5 (mod 10)? Gibt s nicht! 93 S. Lucks Diskr Strukt. (WS 18/19) 2: Restklassen 2.4: Restklassenring mod n

24 Multiplikative Inverse modulo n Definition 34 Sei a Z n. Das multiplikative Inverse von a mod n ist ein Wert a 1 mit a a 1 1 (mod n). Satz 35 In Z n existiert das multiplikative Inverse einer ganzen Zahl a modulo n genau dann, wenn a teilerfremd zu n ist. (Satz von Bézout, Widerspruchsbeweis) Beispiel: Vollständige Liste der multiplikativen Inversen in Z 10 i i 1 Begründung = = = = S. Lucks Diskr Strukt. (WS 18/19) 2: Restklassen 2.4: Restklassenring mod n

25 Division in Z n jetzt richtig Wenn ein multiplikatives Inverses von b in Z n existiert, dann ist a/b = a b 1. Wenn ein solches Inverses nicht existiert, dann ist a/b nicht definiert. Wenn man in Z n rechnet, darf man niemals (!!!) a/b Q verwenden... denn a und b sind Restklassen, die jeweils unendlich viele verschiedene Zahlen als Repräsentanten haben können. (Anders als in Z, wo a und b eindeutig bestimmte Zahlen sind, und a/b Q für b 0 eindeutig bestimmt ist.) 95 S. Lucks Diskr Strukt. (WS 18/19) 2: Restklassen 2.4: Restklassenring mod n

26 2.5: Die Berechnung des Inversen in Z n Frage 1: Wie können wir effizient feststellen, ob b 1 mod n existiert? D.h.: Wie kann man den ggt von b und n berechnen? Frage 2: Wie können wir b 1 mod n effizient berechnen? Denn: Teste für alle x Z n, ob ax mod n = 1 gilt funktioniert zwar, ist aber nur für kleine n effizient. 96 S. Lucks Diskr Strukt. (WS 18/19) 2: Restklassen 2.5: Inverse in Z n

27 Die brutale Berechnung des ggt: Eine Nicht-Antwort auf Frage 1 Eingabe: a, b N Ausgabe: ggt(a, b) Algorithmus: for i from min{a, b} downto 1 do if i a and i b then return i end if end for 97 S. Lucks Diskr Strukt. (WS 18/19) 2: Restklassen 2.5: Inverse in Z n

28 Warum keine Antwort auf Frage 1? Der Algorithmus funktioniert doch... Beispiel: Für alle z N gilt ggt(2 z 1, 2 z 2) = 1. (Warum?) Der Brutal-Algorithmus probiert 2 z 2 verschiedene Teiler i, bis er endlich mit i = 1 den ggt findet. Ersetzt man z durch z + 1, dann werden die Zahlen nur um 1 Bit länger, aber die Laufzeit des Algorithmus verdoppelt sich! Allgemein: Die Laufzeit zur Berechnung des ggts zweier z-bit Zahlen (d.h., für a, b < 2 z die Berechnung von ggt(a, b)) kann sich etwa proportional zu 2 z verhalten. Eine solche Laufzeit nennt man exponentiell. = Exponentielle Laufzeiten sind schlecht! 98 S. Lucks Diskr Strukt. (WS 18/19) 2: Restklassen 2.5: Inverse in Z n

29 Zwei hilfreiche Eigenschaften des ggt Satz Ist b a, dann ist ggt(a, b) = b. 2. Ist r = a mod b, dann ist ggt(a, b) = ggt(b, r). (Zweite Beh.: r = a mod b entspricht r = a bx für ein x N 0. (a) Jeder gemeinsame Teiler von a und b teilt auch r. (b) Jeder gemeinsame Teiler von b und r teilt auch a = bx + r.) 99 S. Lucks Diskr Strukt. (WS 18/19) 2: Restklassen 2.5: Inverse in Z n

30 Die Antwort auf Frage 1: Der Euklidische Algorithmus Eingabe: a, b N Ausgabe: ggt(a, b) Algorithmus: loop r := a mod b exit when r = 0 a := b b := r end loop return b 100 S. Lucks Diskr Strukt. (WS 18/19) 2: Restklassen 2.5: Inverse in Z n

31 Die Laufzeit des Euklidischen Algorithmus Satz 37 Seien a und b Z -bit Nummern, d.h., a, b < 2 Z. Dann terminiert der Euklidische Algorithmus spätestens nach 2Z Schleifendurchläufen. (Für a b gilt: a b + r > 2r.) Es gibt Algorithmen zur Berechnung von a mod b mit höchstens quadratischer Laufzeit. Folgerung 38 Der Euklidische Algorithmus kann so implementiert werden, dass die Laufzeit höchstens kubisch ist. 101 S. Lucks Diskr Strukt. (WS 18/19) 2: Restklassen 2.5: Inverse in Z n

32 Zwei Varianten des Euklidischen Algorithmus Eingabe: a, b N Ausgabe: ggt(a, b) Algorithmus (iterativ): loop r := a mod b exit when r = 0 a := b b := r end loop return b Eingabe: a, b N Ausgabe: ggt(a, b) Algorithmus (rekursiv): r := a mod b if r = 0 then return b else return ggt(b, r) end if 102 S. Lucks Diskr Strukt. (WS 18/19) 2: Restklassen 2.5: Inverse in Z n

33 Worin unterscheiden sich die beiden Varianten? der gleiche Algorithmus (die gleichen Werte a, b, und r) Laufzeit: # Schleifendurchläufe = # rekursiver Aufrufe Laufzeitanalyse (scheinbar) einfacher bei iterativer Variante Korrektheit klarer bei rekursiver Variante beim Rechnen von Hand finde ich die rekursive Variante einfacher, z.b., ggt(50, 23) = ggt(23, 4) = ggt(4, 3) = ggt(3, 1) = S. Lucks Diskr Strukt. (WS 18/19) 2: Restklassen 2.5: Inverse in Z n

34 Beispiele Berechne ggt(33, 27), ggt(343, 77) und ggt(3343, 77). ggt(a, b) Gleichung r ggt(33, 27) 33 = ggt(27, 6) 27 = ggt(6, 3) 6 = Ergebnis=3 ggt(343, 77) 343 = ggt(77, 35) 77 = ggt(35, 7) 35 = Ergebnis=7 ggt(3343, 77) 3343 = ggt(77, 32) 77 = ggt(32, 13) 32 = ggt(13, 6) 13 = ggt(6, 1) 6 = Ergebnis=1 104 S. Lucks Diskr Strukt. (WS 18/19) 2: Restklassen 2.5: Inverse in Z n

35 Gesucht: Die Koeffizienten der Linearkombination ggt Beobachtung Sei ggt(a, b) = 1. Dann ist 1 die kleinste positive Linearkombination von a und b. D.h., es gibt Koeffizienten x und y mit ax + by = 1. Wenn wir diese Koeffizienten kennen, dann können wir multiplikative Inverse berechnen: ax 1 (mod b), also a 1 x (mod b). Genauso: b 1 y (mod a). 105 S. Lucks Diskr Strukt. (WS 18/19) 2: Restklassen 2.5: Inverse in Z n

36 Zwei hilfreiche Beobachtungen, neu aufgemischt Satz (bereits bekannt) 1. Ist b a, dann ist ggt(a, b) = b. 2. Ist r = a mod b, dann ist ggt(a, b) = ggt(b, r). Satz Ist b a, dann ist b = ggt(a, b) = 0a + 1b. 2. Ist z = a div b, r = a (mod b) und ggt(a, b) = xb + yr, dann ggt(a, b) = ggt(b, r) = ya + (x zy)b. 106 S. Lucks Diskr Strukt. (WS 18/19) 2: Restklassen 2.5: Inverse in Z n

37 Der Erweiterte Euklidische Algorithmus ( Frage 2) Eingabe: Ausgabe: a, b N, a > b (d, x, y), d = ggt(a, b) N x, y Z : ax + by = d Algorithmus XggT(a, b): r := a mod b if r = 0 then return (b, 0, 1) ( b = ggt(a, b) = 0a + 1b ) else (d, x, y) := XggT(b, a mod b) ( d = ggt(a, b) = xb + yr ) z := a div b return (d, y, x zy) ( d = ggt(a, b) = ya + (x zy)b ) end if 107 S. Lucks Diskr Strukt. (WS 18/19) 2: Restklassen 2.5: Inverse in Z n

38 Eigenschaften des EEA 1. Laufzeit: Genau so viele rekursive Aufrufe, wie beim Euklidischen Algorithmus 2. Korrektheit: 2.1 d = ggt(a, b): Gleiche Operationen wie beim Euklidischen Algorithmus 2.2 ax + by = d: Induktiv (Anfang: r = 0) r := a mod b if r = 0 then return (b, 0, 1) ( b = ggt(a, b) = 0a + 1b ) else (d, x, y) := XggT(b, a mod b) ( d = ggt(a, b) = xb + yr ) z := a div b return (d, y, x zy) ( d = ggt(a, b) = ya + (x zy)b ) end if 108 S. Lucks Diskr Strukt. (WS 18/19) 2: Restklassen 2.5: Inverse in Z n

39 Beispiel (1) Berechne den erweiterten ggt von 33 und 27 und wenn vorhanden das multiplikative Inverse von 27 mod 33. ggt(a, b) Gleichung r, z Ergebnis ggt(33, 27) 33 = r = 6, z = 1 (3,-4,5) ggt(27, 6) 27 = r = 3, z = 4 (3,1,-4) ggt(6, 3) 6 = r = 0 (3,0,1) Probe: 33 ( 4) = = 3 Man beachte die Reihenfolge in der Berechnung: zuerst links von oben nach unten, dann rechts von unten nach oben! 109 S. Lucks Diskr Strukt. (WS 18/19) 2: Restklassen 2.5: Inverse in Z n

40 Beispiel (2): 77 1 mod 3343 ggt(a, b) Gleichung r z Ergebnis ggt(3343, 77) 3343 = (1, 12, 521) ggt(77, 32) 77 = (1, 5, 12) ggt(32, 13) 32 = (1, 2, 5) ggt(13, 6) 13 = (1, 1, 2) ggt(6, 1) 6 = (1, 0, 1) Probe: (0) 1 = (1) 1 = ( 2) 6 = (2) 1 = ( 2) = (3) 1 = ( 12) 32 = (4) 1 = ( 12) = Heureka! Alles stimmt! Ergebnis: k 3343 = (mod 3343). 110 S. Lucks Diskr Strukt. (WS 18/19) 2: Restklassen 2.5: Inverse in Z n