Vorlesung Einführung in die Mathematische Optimierung (Wintersemester 2013/14)
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1 1 Vorlesung Einführung in die Mathematische Optimierung (Wintersemester 2013/14) Einleitung Volker Kaibel Otto-von-Guericke Universität Magdeburg (Version vom 11. Oktober 2013) 2 Kommunikationsnetzwerke... Daten u ij : Maximale Bitrate über Link (i, j) c ij : Kosten Übertragung ein Bit über (i, j) b kl : (Konstante) Bitrate von k nach l
2 ... Kommunikationsnetzwerke 3 Ziel Route Daten unter minimalen Kosten. Modellierung: Variablen ij : Datenrate für die Verbindung von k nach l auf Link (i, j) Können zulassen (weil Bitraten groß sind): ij R Lineares Optimierungsmodell 4 Minimiere (i,j) Link unter den Nebenbedingungen j:(j,i) Link ji j:(i,j) Link k l k ij = l c ij ij b kl (i = k) b kl (i = l) 0 sonst i, k, l ij u ij (i, j) ij 0 (i, j), k, l
3 5 (Kontinuierliche) Lineare Optimierung Optimierung von linearen Zielfunktionen unter (endlich vielen) linearen Nebenbedingungen (=,, ) in (endlich vielen) kontinuierlichen Variablen. 6 Variante Zusätzliche Daten f ij : Fixkosten für Verwendung von Link (i, j) Zusätzliche Variablen y ij {0, 1}: 1, falls Link (i, j) verwendet, sonst 0
4 Gemischt ganzzahliges Modell 7 Minimiere (i,j) Link unter den Nebenbedingungen j:(j,i) Link ji j:(i,j) Link k k l l ij = c ij ij + (i,j) Link f ij y ij b kl (i = k) b kl (i = l) 0 sonst i, k, l ij u ij y ij (i, j) xij kl 0 (i, j), k, l y ij {0, 1} (i, j) (Gemischt) Ganzzahlige Lineare Optimierung 8 Optimierung von linearen Zielfunktionen unter (endlich vielen) linearen Nebenbedingungen (=,, ) in (endlich vielen) Variablen, von denen einige nur ganzzahlige Werte annehmen dürfen.
5 (Kontinuierliche) Lineare Optimierung 9 Ganzzahlige Lineare Optimierung... 10
6 ... Ganzzahlige Lineare Optimierung 11 Mächtig (z.b. 0/1-Entscheidungsvariablen) Baut auf (kontinuierlicher) LP auf Einblick am Ende dieser VL Vertiefung: WiSem 14/15: VL Kombinatorische Optimierung SoSem 15: VL Ganzzahlige Optimierung (Kontinuierliche) Lineare Optimierung 12 Sehr gutes strukturelles Verständnis (Zertifikate, Dualität) Theoretisch effizient lösbar (polynomial) Praktisch effizient lösbar Hintergrund: Konvexität
7 13 Konvexe Optimierung 14 Portfolio-Optimierung Daten n Anlagemöglichkeiten (Anlage) Zu investierendes Kapital: K = 1 R i : Rendite Anlage i (Zufallsvariable) Variablen x i : Anteil des in Anlage i investierten Kapitals Gesamtrendite (Zufallsvariable) G(x, R) = n i=1 R ix i
8 Optimierungsmodell 15 Ziel: Maximale erwartete Rendite unter der Nebenbedingung, dass die Wahrscheinlichkeit, einen Anteil von b zu verlieren, höchstens α ist. Maximiere unter den Nebenbedingungen E[G(x, R)] n x i = 1 i=1 P[G(x, R) b] 1 α x O Optimierungsmodell (umformuliert) 16 Maximiere unter den Nebenbedingungen r, x 1, x = 1 z α x T Cx r, x b 0 x O z α : (1 α)-quantil Standardnormalverteilung C: Kovarianzmatrix (positiv definit) der normalverteilten R i r i : Erwartungswerte der R i
9 17 Konvexe Optimierung Minimierung von konvexen Zielfunktionen über konvexen (abgeschlossenen) Mengen X R n Hier: Differenzierbare Zielfunktionen Oft: X = {x X 0 g i (x) 0 für i = 1,..., m} mit einfacher konvexer Menge X 0, g i konvex 18 Inhalt Optimierung ohne Nebenbedingungen Konvexe Mengen und Kegel Optimalitätsbedingungen für konvexe Optimierungsprobleme Dualität und Konische Optimierung Polynomiale Verfahren für konvexe Optimierung Die Geometrie der Linearen Optimierung Der Simplex-Algorithmus Ganzzahlige und Kombinatorische Optimierung
10 Literatur R. J. Vanderbei Linear Programming Springer, J. Matousek und B. Gärtner Using and Understanding Linear Programming Springer, V. Chvatal Linear Programming Freeman, D. Bertsimas and J. N. Tsitsiklis Introduction to Linear Optimization Athena, Literatur 20 G. B. Dantzig Linear Programming and Extensions Princeton University Press, 1998 (1963). A. Ruszcynski Nonlinear Optimization Princeton University Press, 2006 A. Schrijver Theory of Linear and Integer Programming Wiley, M. Grötschel, L. Lovàsz, A. Schrijver Geometric Algorithms and Combinatorial Optimization. Springer, 1988.
11 Folien 21 Empfehlung: Zur VL mitbringen (Notizen) Ergänzen Tafelanschrift Folien sind kein Skript Organisatorisches 22 Vorlesung Dienstag 13:15-14:45 G22A-203 Mittwoch 11:15-12:45 G Übungen Verantwortlich: Matthias Walter Donnerstag, 15:00-16:30 (G03-214) Leistungsnachweis Klausur (Übung letzte VL-Woche) Teilnahmenvoraussetzungen Übungspunkte, Vorrechnen Details in Übungen Modulprüfung September 2014 (Februar/März 2014) In der Regel: Gemeinsam mit Numerik
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