Analysis 1, Woche 2. Reelle Zahlen. 2.1 Ordnung. Definition 2.1 Man nennt eine Ordnung für K, wenn. 1. für alle a K gilt a a (Reflexivität),

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1 Aalysis, Woche 2 Reelle Zahle A 2. Ordug Defiitio 2. Ma et eie Ordug für K, we. für alle a K gilt a a (Reflexivität), 2. für alle a, b K mit a b ud b a gilt a = b (Atisymmetrie), 3. für alle a, b, c K mit a b ud b c gilt a c (Trasitivität). Statt b a ka ma auch a b schreibe. Ma sagt b kleier gleich a, beziehugsweise a größer gleich b. Ma verwedet a < b, we a b ud a b. Für N, Z ud Q ist, we ichts aderes gesagt wird, immer die übliche Ordug. Defiitio 2.2 (K, ) et ma total geordet, we eie Ordug für K ist ud zusätzlich gilt 4. a b oder b a für alle a, b K. Die Zahlemege N, Z ud Q mit der Stadardordug sid total geordet. Beispiel 2.. Nehme wir (Q Q, ), wobei,,(q, q 2 ) (p, p 2 ) defiiert wird durch,,q p ud q 2 p 2, da ist eie Ordug. Es ist keie totale Ordug, de für r = (, ( 2 3 3) ud s =, 2 2) gilt weder r s och s r. Defiitio 2.3 (K, +,, ) heißt ei total geordeter Körper, we. (K, +, ) ei Körper ist, 2. (K, ) total geordet ist, 3. für alle a, b, c K mit a b gilt a + c b + c, 4. für alle a, b, c K mit a b ud 0 c gilt a c b c. 3

2 4 6. Jauar 207 Woche 2, Reelle Zahle Beispiel 2.2. (Q, +,, ) mit der übliche Ordug ist ei total geordeter Körper. (K, +, ) heißt eie total geordete Gruppe, we (K, +) eie Gruppe ist ud die Bediguge 2 ud 3 aus Defiitio 2.3 erfüllt sid. Defiitio 2.4 Sei (K, ) total geordet. Eie Folge {a } N mit a K heißt mooto wachsed, we a a + für alle N. Eie Folge {a } N mit a K heißt mooto falled, we a a + für alle N. Gilt zusätzlich, dass a a + für alle N, da heißt die Folge streg mooto wachsed, beziehugsweise streg mooto falled. We (K, ) total geordet ist, da heißt k K eie obere Schrake für die Teilmege A K, we für alle a A gilt, dass a k. Die Zahl k K ist eie obere Schrake für die Folge {a } N i K, we für alle N gilt, dass a k. We eie Mege oder Folge eie obere Schrake hat, da heißt sie ach obe beschräkt. Ählich defiiert ma utere Schrake ud ach ute beschräkt. Ist die Mege oder die Folge sowohl ach obe als ach ute beschräkt, da et ma sie beschräkt. 2.2 Eiführug der reelle Zahle Defiitio 2.5 Eie Relatio auf M heißt Äquivalezrelatio, we. für alle x M gilt: x x (Reflexivität), 2. für alle x, y M gilt: x y = y x (Symmetrie), 3. für alle x, y, z M gilt: (x y y z) = x z (Trasitivität). Eie erste Kostruktio für die Eiführug der reelle Zahle verwedet die Ordug ud eier Äquivalezrelatio. Defiitio 2.6 (R als Grezwerte beschräkter mooto wachseder Folge). Sei F die Mege aller Folge ratioaler Zahle, die mooto wachsed ud ach obe beschräkt sid. (beide Folge sid äquiva- 2. Für {a } =0, {b } =0 F sagt ma {a } =0 {b } =0 let), we für jedes q Q gilt a q für alle N b q für alle N. Aders gesagt: beide Folge habe die gleiche obere Schrake. 3. R := (F, ), das heißt, ma idetifiziert äquivalete Folge ud defiiert R als die Mege der Äquivalezklasse.

3 2.2 Eiführug der reelle Zahle 6. Jauar a a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a Abbildug 2.: Eie wachsede Folge Ma ka Q als Teilmege vo R betrachte, idem ma für q Q die Äquivalezklasse der Folge {q, q, q, q, q,... } immt. We ma jedoch jedes mal ei Elemet vo R als Äquivalezklasse eier bestimmte Folge beschreibe würde, wird ma schell müde. Stattdesse versucht ma solche Elemete kürzer zu beschreibe. Wir gebe ei paar Beispiele. Die Äquivalezklasse zu {a } =0, die ma i (.5) defiiert hat, et ma 2. Die Äquivalezklasse zu {( + ) } et ma e. =0 Ma ka zeige, dass diese Folge tatsächlich wachsed ist. Als erste Schritt zeige wir Dies folgt aus: m + m für m. (2.) ( m + ) ( + ) = 2 m + 2 m + 2 m + 2 = ( m + 2). Mit der Ugleichug i (2.) für m k fide wir, dass ( k) ( ) k = k!... k + + k! +... k + 2 = ( ) ( ) k +. (2.2) k + + Aus (2.2) folgt wiederum, dass die Folge mooto wachsed ist: ( + ) ( ) ( k = k) k ( = + k) ( ) k k= ( + + ) ( ) k k + k= + ( + ) ( ) k ( = + ) +. k + + Die Folge ist auch beschräkt: ( + ) ( = k) ( ) k = k!... k + k! + + k (k ) = k=2 k (k ) ( = 2 + = 2 + k (k ) k ) = k k=2 k=2 ( = 2 + ) ( ) ( ) = =

4 6 6. Jauar 207 Woche 2, Reelle Zahle Die Äquivalezklasse zu { } 8 (4k+)(4k+3) =0 et ma π. Dass dies tatsächlich mit dem Flächeihalt der Eiheitsscheibe zu tu hat, köe wir hier och icht beweise. Es stellt sich heraus, dass R eie verüftige Struktur hat ud auf atürliche Weise die Löcher i Q auffüllt, we wir Additio, Multiplikatio ud Ordug für R passed defiiere. Passed heißt, dass die Defiitio für Elemete aus Q die übliche bleibt ud sich auf atürliche Art ergäzt für Elemete aus R. Ei paar Sache werde wir zeige. Erstes die Additio. Die ist relativ eifach. Ma defiiert x + y, idem ma zwei Folge ratioaler Zahle zu x ud y immt, sage x : {x } =0 F ud y : {y } =0 F, ud schreibt x + y : {x + y } =0. Mit x : {x } =0 ist gemeit, dass {x } =0 ei Vertreter aus F ist für die Äquivalezklasse zu x (F, ). Ma ka zeige, dass {x + y } =0 F ud die dazu gehörede Äquivalezklasse icht abhägt vo de Vertreter {x } =0 ud {y } =0. Auch ka ma scho zeige, dass drei Eigeschafte eies Körpers (Assoziativität, Existez vo eiem eutrale Elemet ud Kommutativität bezüglich der Additio) erfüllt sid. Für die Existez eies additiv iverse Elemetes zu x ka ma icht eifach { x } =0 ehme, weil diese Folge icht mooto wachsed ist. We x (F, ), gibt es aber ei x (F, ), ud das sieht ma zum Beispiel mit Hilfe des folgede Algorithmus. Dieser liefert eie Folge {b } =0, die x vertritt. Algorithmus 2.. Sei q Q eie obere Schrake für x = {x } =0 ud setze b 0 := q, := 0 ud s :=. 2. We b s eie obere Schrake ist für {x } =0, setze b + := b + s We b s keie obere Schrake ist für {x } =0, setze 3. := + ud gehe zurück zu 2. b + := b ud s := 2 s. Die Folge {b } =0 soll x : {b } =0 liefer. Da muß ma aber och zeige, dass x + ( x) = 0 oder besser gesagt: dass 0 die kleiste obere Schrake für {x + b } =0 ist. Die Multiplikatio i R ist scho lästiger zu defiiere. We x : {x } =0 F ud y : {y } =0 F so sid, dass x ud y positiv sid für geüged groß, da setzt ma x y : {max (0, x ) max (0, y )} =0. Auch hier muß ma zeige, dass das Ergebis icht vom zufällige Vertreter abhägt. We für alle x gilt, dass x < 0, aber y > 0 für geüged groß, da beutzt ma zweimal de Algorithmus für das additiv Iverse ud defiiert ud so weiter. x y = (( x) y),

5 2.2 Eiführug der reelle Zahle 6. Jauar x x 2 x 3 x 4 x 56 7 b b 2 b 3 b 4 b 5 b x 6 7 x x 76 5 x 4 3 x 2 x 0 Abbildug 2.2: We x = {x, x 2,... } wachsed ist, da ist { x, x 2,... } falled ud deshalb icht passed für x. Für eie passede Defiitio vo x soll ma eie wachsede Folge bestimme. So eie Folge ist i grü dargestellt. Die Ordug wird wie folgt defiiert i R. Seie x, y vertrete durch mooto wachsede Folge {x } =0 ud {y } =0 F, da setzt ma x y, we: {x } =0 {y } =0 oder N N : N x y. (2.3) Auch hier muss ma kotrolliere, dass die Defiitio icht vo de spezifische Vertreter abhägt, dass ma so eie totale Ordug bekommt, ud sie die Ordug auf Q erweitert. Bemerkug 2.6. Bemerke, dass ur die zweite Hälfte i (2.3) als Defiitio der Ordug auf R immt, diese icht wohldefiiert ist. De mit ur dieser zweite Hälfte als Defiitio für x y, würde ma für x = ud y = fide, dass + : {} =0 ist icht kleier gleich { + Dies widerspricht die erste Bedigug eier Ordug. } =0 :. Das Gaze ist eie ziemliche lagwierige Sache ud die Ergebisse sid icht sehr überrasched. Ma fidet jedoch, dass für Elemete aus Q die übliche Additio, Multiplikatio ud Aordug erhalte bleibe. Auch gilt das folgede Ergebis. Theorem 2.7 (R, +,, ) ist ei total geordeter Körper. Notatio 2.8 Die folgede Teilmege vo R et ma Itervalle. Seie a, b R mit a < b. [a, b] := {x R; a x b}; (abgeschlossees Itervall) (a, b) := {x R; a < x < b}; (offees Itervall) (a, b] := {x R; a < x b}. Machmal sieht ma auch: (, b] := {x R; x b}. Die Bedeutug vo [a, b), [a, ), (a, ) ud so weiter ka ma errate. Wir habe hier die Symbole (egativ uedlich) ud (positiv uedlich) beutzt. ud sid keie Zahle ud liege icht i R. Ma schreibt ab ud zu trotzdem R := R {, }. Ma ka mit ( R, +, ) jedoch icht mehr wie mit eiem Körper arbeite. Zum Beispiel lässt sich icht verüftig defiiere.

6 8 6. Jauar 207 Woche 2, Reelle Zahle 2.3 Adere Eiführuge der reelle Zahle Statt mooto wachseder, ach obe beschräkter Folge i Q zu ehme, ka ma auf ähliche Art auch mooto ach ute beschräkte Folge i Q ehme. Das wäre eie zweite Kostruktio. b b b 87 b 6 b 5 b 4 b 3 b 2 Abbildug 2.3: Eie fallede Folge Für eie ächste Möglichkeit brauche wir die Betragsfuktio. Sei K eie Gruppe oder ei Körper mit eier totale Ordug. Da setzt ma { a we a 0, a = a we a < 0. Ud a < 0 bedeutet 0 a ud a 0. Defiitio 2.9 (R durch Cauchy-Folge vo ratioale Zahle) Eie dritte Kostruktio:. {a } =0 mit a Q heißt eie Cauchy-Folge (auch Fudametalfolge geat), we: ε > 0 N ε N, m N :, m N ε a a m < ε. Sei CF die Mege aller Cauchy-Folge i Q. (beide Folge sid äqui- 2. Für {a } =0, {b } =0 CF sagt ma {a } =0 {b } =0 valet) we 3. Setze R := (CF, ). ε > 0 M ε N, m N : M ε a b < ε. c c 3 c 5 c 7 c c 8 c 6 c 4 c 2 Abbildug 2.4: Eie Cauchy-Folge Beispiel 2.3. Defiiere a 0 = ud a + = a a für N. Diese Folge liegt i Q ud ist eie Cauchy-Folge. Sie ist weder wachsed och falled. Die erste Terme sid: a Ma ka zeige, dass a ach 2 geht Defiitio 2.0 (R durch Dedekidsche Schitte) Eie vierte Kostruktio:

7 2.3 Adere Eiführuge der reelle Zahle 6. Jauar (A, B) heißt Schitt vo Q, we A, B Q mit (a) A, B ud A B = Q ud A B =. (b) für jedes a A ud b B gilt a b. 2. we es q Q gibt mit a q für alle a A ud q b für alle b B, da sage wir die folgede Schitte sid äquivalet: (A\ {q}, B {q}) (A {q}, B\ {q}). 3. Sei S die Mege aller Schitte i Q. Setze R := (S, ). Abbildug 2.5: Ei Schitt Beispiel 2.4. Ei Schitt für 2 ist A = {a Q; a 0 oder a 2 2}, B = {a Q; a 0 ud a 2 2}. Weil es keie Zahl a Q gibt derart, dass a 2 = 2 folgt A B =. Defiitio 2. (R durch Itervallschachteluge) Eie füfte Kostruktio:. {I } =0 mit I = [a, b ] ud a < b heißt eie Itervallschachtelug, we (a) für jedes N gilt I + I ; (b) es für jedes ε > 0 ei Itervall I gibt mit Läge b a < ε. Sei I die Mege der Itervallschachteluge i Q. 2. Zwei Itervallschachteluge {I } =0 ud {J } =0 heiße äquivalet, we für jedes N gilt I J. 3. Setze R := (I, ). a a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 7 ab 80 9 b b 8 b 7 6 b 5 b 4 b 3 b 2 b Abbildug 2.6: Eie Itervallschachtelug Beispiel 2.5. Eie Itervallschachtelug für 2 ist {[a, b ]} N mit a 0 = ud a + = 3a2 +2 4a für N, b 0 = 2 ud b + = 3b2 +2 4b für N.

8 20 6. Jauar 207 Woche 2, Reelle Zahle 2.3. Nur eie vollstädige Erweiterug? Zu diese verschiedee Eiführuge vo R sollte ma aber eiige Frage kläre. Zum Beispiel: Liefer diese Verfahre alle das gleiche Ergebis? Ma fidet, mit Q agefage, eie größere Mege, die ma R et. We ma ei ähliches Verfahre loslässt auf R, bekommt ma da eie och größere Mege? Selbstverstädlich sid mooto wachsede Folge keie mooto fallede Folge ud ma hat streg geomme zwei verschiedee Ergebisse, we ma bei de erste beide Kostruktioe ur die Form der Kostruktio betrachtet. Trotzdem soll ma das Gefühl habe, dass diese zwei Methode keie wesetliche Uterschied herbeiführe. I der Mathematik verwedet ma de Begriff isomorph. Ma meit mit,,a ist isomorph zu B, dass es icht ur eie bijektive Abbildug vo A ach B gibt, soder dass diese Abbildug auch die Struktur behält. Bevor wir die zweite Frage beatworte köe, brauche wir: Defiitio 2.3 Sei (K, ) total geordet. Da heißt K vollstädig bezüglich der Ordug, we jede icht-leere ach obe beschräkte Mege M K eie kleiste obere Schrake hat. Diese kleiste obere Schrake vo M heißt das,,supremum vo M ud ma schreibt sup M. Theorem 2.4 Der total geordeter Körper (Q, +,, ) hat, bis auf Isomorphie, eie eideutige Erweiterug, die vollstädig ist bezüglich der Ordug, ämlich (R, +,, ). Es gibt Erweiteruge vo Q, die echt kleier sid als R, aber icht vollstädig bezüglich der Ordug sid. Zum Beispiel ist auch Q [ 2 ] := { p + q 2; p, q Q } eie Erweiterug vo Q. 2.4 Eigeschafte 2.4. Abzählbarkeit Wir habe gesehe, dass Q abzählbar uedlich ist. Wie ist das mit R? Theorem 2.5 R ist icht abzählbar. Beweis. Wir ehme a, {x 0, x, x 2,... } sei eie Abzählug vo R, ud werde eie Widerspruch erzeuge. Das fuktioiert wie folgt. Zu jedem x ka ma die Dezimaletwicklug als Folge ehme. So wie 2 die Äquivalezklasse vo der mooto wachsede Der Begriff Isomorphie hägt ab vo der betreffede Struktur. Defiitio 2.2 Zwei total geordete Körper (K, +,, ) ud (L,,, ) heiße isomorph, we es eie bijektive Abbildug ϕ : K L gibt, für die gilt:. ϕ(a + b) = ϕ(a) ϕ(b); 2. ϕ(a b) = ϕ(a) ϕ(b); 3. a b ϕ(a) ϕ(b).

9 2.4 Eigeschafte 6. Jauar ud beschräkte Folge {,.4,.4,.42,... } darstellt. Wir defiiere y durch eie Folge {y } =0, die wir als Dezimaletwicklug defiiere, wo die -te Dezimale vo y (eie Ziffer vo 0 bis 9) ugleich der -te Dezimale vo x gewählt wird (ud auch ugleich 9). Also zum Beispiel für die reelle Zahle x 0 : {50, 5, 5.3, 5.34, 5.343, } x : {400, 440, 444, 444.6, , } x 2 : {0,.,.9,.9,.92,.92, } x 3 : {3, 3., 3.2, 3.23, 3.234, ,... }... wäre die Dezimale, die zu meide sid, Wir ersetze da die Ziffer k durch k + oder k. Die Ziffer 9 ud 0 solle dabei vermiede werde. Nehme zum Beispiel y : {2, 2.7, 2.78, 2.784,... }. Die Zahl y liegt i R (die Folge ist mooto wachsed ud beschräkt) aber icht i der Abzählug, weil y sich vo jedem x i midestes eier Dezimalstelle uterscheidet ud daher keiem x gleicht. Die Ziffer 9 ud 0 solle vermiede werde, weil = Die Dezimaletwicklug vo reelle Zahle ist leider icht eideutig (surjektiv aber icht ijektiv!). Q ist abzählbar ud hat also deutlich weiger Elemete als das überabzählbare R. We ma jedoch bedekt, dass R mit Folge i Q kostruiert wurde, sollte ma ich überrascht sei, dass Folgedes gilt: Lemma 2.6 Für alle x, y R mit x < y gibt es ei q Q, so dass x < q < y. Q liegt dicht i R. Das letzte heißt, jedes x R ka ma beliebig ahe ierhalb Q approximiere, oder aders gesagt: Für jedes x R ud N +, gibt es q Q mit x q <. Dieses Lemma sollte ma selber beweise köe. Bemerkug 2.6. Übriges gilt auch: Für alle p, q Q mit p < q gibt es x R\Q so dass p < x < q. Ma ehme zum Beispiel x = p + q p Vollstädigkeit Eie gaz wichtige Bestadteil vo Theorem 2.4 möchte wir och mal betoe. Korollar 2.7 (R, ) ist vollstädig, das heißt, jede icht leere, beschräkte Mege aus R hat ei Supremum. Für eie adere Möglichkeit, diese Vollstädigkeit zu formuliere, braucht ma de Begriff Limes. Limes wird auch Grezwert geat.

10 22 6. Jauar 207 Woche 2, Reelle Zahle Defiitio 2.8 Sei {x } =0 eie Folge vo Zahle i R. Die Folge heißt eie Cauchy-Folge, we: ε > 0 N ε N, m N :, m > N ε = x x m < ε. Die Folge heißt koverget, we es a R gibt mit: ε > 0 N ε N, m N : N ε x a < ε. Ma schreibt lim x = a ud et a de Limes. Die Vollstädigkeit vo R ist der wesetliche Uterschied mit Q. Sie folgt aus der Defiitio vo R. Theorem 2.9 Sei R wie i Defiitio 2.6. Da gilt: Jede mooto wachsede, ach obe beschräkte Folge i R hat eie Limes i R. Jede mooto fallede, ach ute beschräkte Folge i R hat eie Limes i R. Jede beschräkte icht leere Mege i R hat ei Supremum i R. Jede Cauchy-Folge i R ist koverget i R. Bemerkug 2.9. Diese 4 Aussage sid äquivalet.