Höhere Mathematik II für BWIW, BNC, BAI, BGIP, GTB, Ma Hausaufgaben zum Übungsblatt 5 - Lösung

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1 TU Bergakademie Freiberg Sommersemester Dr. Gunter Semmler Dr. Anja Kohl Höhere Mathematik II für BWIW, BNC, BAI, BGIP, GTB, Ma Hausaufgaben zum Übungsblatt 5 - Lösung Differentialrechnung für Funktionen mehrerer Veränderlicher: Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen, implizites Differenzieren. a f x = y + x f y = y 6xy f xx = 6x f yy = y 6x f xy = f xy = 6y Hesse-Matrix: 6x 6y H f = 6y y 6x f x = y + x = x = y f y = y 6xy = yy x = a y = in eingesetzt, liefert x = P, b x = y in eingesetzt, liefert y = 9 für y y, = ± und x, = P,, P, Stationäre Punkte: P,, P,, P, Hinreichende Bedingungen: H f P = nicht entscheidbar da aber die Fkt. f x, = x pos. und neg. Werte hat > f P und < f P, ist P ein Sattelpunkt H f P, = 8 > P, sind Extrema f xx P, = 9 > P, sind lokale Minima Sattelpunkt, ;, MIN, ; 6 7, MIN, ; 7 6

2 b Bezeichne E := e x +y. Damit ist immer E >. f x = x y + x E f y = y + x y E f xx = + 5x y + x y x E f yy = + x 5y x y + y E f xy = f xy = xy x ye Hesse-Matrix: fxx f H f = xy f xy f yy f x = x xy + x E = f y = y + x y E = a x = in eingesetzt, liefert y y = y = und y, = ± P,, P,, P, b x y = in eingesetzt, liefert y =, also y = x,5 = ± P,, P 5, Stationäre Punkte: P,, P,, P,, P,, P 5, Hinreichende Bedingungen: H f P = < P ist Sattelpunkt H f P, = 6e > P, sind Extrema f xx P, = e < P, sind lokale Maxima H f P,5 = 6e > P,5 sind Extrema f xx P,5 = e > P,5 sind lokale Minima Sattelpunkt, ;, MAX, ; e, MAX, ; e, MIN, ; e, MIN, ; e.5..5

3 c Ableitungen : f x = xx + y f y = yx + y f xx = x + y f yy = x + y f xy = z xy = 8xy Notwendige Bedingungen : f x = xx + y = f y = yx + y = Wegen der Produktform der Gleichungen sind Lösungen offensichtlich x = y = oder x, y mit x + y =. Stationäre Punkte: P, und alle Punkte auf dem Kreis S = { x, y x + y = } Hesse-Matrix : x + y 8xy H f = 8xy x + y H f = 6x + y x + y 8xy Hinreichende Bedingungen : H f P = 6 > P ist Extremum f xx P = < P ist lokales Maximum H f S = 6x + x + y y }{{} + x + y 6x }{{} y = = = nicht entscheidbar! Jedoch gilt quadratische Ergänzung f x, y = x + y x + y = [x + y ] x, y R und f S =, d.h. die Punkte aus S sind sogar globale Minima

4 . a. Methode: Explizite Methode Eliminationsmethode NB liefert z = x y. Einsetzen in die Funktion f ergibt neue Funktion f, die nur noch von x und y abhängt: f x, y = f x, y, x y = x + x x y + y = x y + y f x = y f y = x + y f xx = f yy = f xy = f xy = fx = y = y = fy = x + y = x = y in eingesetzt, liefert x = P, Stationärer Punkt: P, Hesse-Matrix: H f = Hinreichende Bedingungen: H f P = < P ist Sattelpunkt H f = Sattelpunkt, ; von f und damit,, ; Sattelpunkt von f 6. Methode: Methode der Langrangeschen Multiplikatoren Lx, y, z, λ = f x, y, z + λ gx, y, z = x + xz + y + λx + y + z L x = x + z + λ L y = y + λ L z = x + λ L λ = x+y +z L x = x + z + λ = z = x λ = λ L y = y + λ = y = λ L z = x + λ = x = λ L λ = x + y + z = in eingesetzt, liefert λ = x =, y =, z = Stationärer Punkt von f : P,,

5 Zu zeigen, dass P Sattelpunkt ist, ist bei der. Methode nicht so einfach. Eine Möglichkeit wäre, wie bei der. Methode z zu ersetzen, so dass man wieder auf f x, y = x y+y kommt. Anschließend betrachtet man den Punkt P +ε, +ε, der für kleine ε in der Nähe des stationären Punktes P liegt. Es gilt f P = ε +ε+ = ε+. Folglich gilt f P < f P für ε < und f P > f P für ε >. Daher muss P ein Sattelpunkt sein. b Vorbetrachtungen: Die Funktion f x, y = x y hat den Wertebereich [;. Die Gleichungen der Niveaulinien lauten: c = : x = y = c > : y = c x, y = c x Betrachtet man nur die Funktionswerte entlang des Kreises x + y = Skizze machen!, so hat man an den Stellen,,,,, und, offensichtlich globale Minima f =. Wegen f x, y > für x, y müssen zwischen den erwähnten Minimumstellen entlang des Kreises noch mindestens Maximumstellen zu finden sein. Aufgrund der Symmetrie der Niveaulinien sind dies die Stellen auf dem Kreis mit der Bedingung x = y.. Methode: Methode der Langrangeschen Multiplikatoren: Lx, y, λ = x y + λx + y L x = xy + λx L y = x y + λy L λ = x + y L x = xy + λx = xy + λ = L y = x y + λy = yx + λ = L λ = x + y = a x = in, eingesetzt, liefert λ = und y = ± P,, P, a y = in, eingesetzt, liefert λ = und x = ± P,, P, Müssen nur noch den Fall x, y betrachten. und liefern dann λ = y = x, also x = y. Dies in eingesetzt, liefert x = ±. Sowohl für x =, als auch für x =, erhält man y = ±, d.h. wir erhalten vier weitere Punkte P 5,, P 6,, P 7,, P 8, Stationäre Punkte: P,, P,, P,, P,, P 5,, P 6,, P 7,, P 8, Mit den Vorbetrachtungen ist klar, dass 8 lokale Extrema vorliegen: MIN, ;, MIN, ;, MIN, ;, MIN, ;, MAX, ;, MAX, ;, MAX, ;, MAX, ; 5

6 . Methode: Explizite Methode Eliminationsmethode Aus der NB erhalten wir y = x, d.h. man könnte y in der Funktion f ersetzen. Zu beachten dabei ist, dass diese Ersetzung nur für die Punkte funktioniert, wo die Funktion gx, y = x + y = lokal nach y auflösbar ist. D.h. bei den Stellen mit g y =, also bei P, und P, funktioniert das nicht. Dort müsste man die Funktion nach x auflösen Dies erklärt auch, warum man bei f x = x x nur 6 stationäre Punkte und damit nur 6 Extrema bekommt, es fehlen P und P. Man kann auch ohne die Auflösbarkeit zu betrachten, trotzdem aus f alle 8 stationären Punkte ermitteln. Dazu schränkt man den Definitionsbereich für f auf das Intervall [, ] ein, da y = x natürlich immer mindestens ist, also x und daher x. f x = x x = x + x kann nun auch Extrema an den Rändern des Definitionsbereichs haben, also bei x = ± y =. Dies sind gerade die fehlenden Punkte P, P. Alle anderen 6 Punkte erhalten wir wieder normal durch Nullsetzen der. Ableitung f x =. Um auch noch herauszubekommen, dass bei x = ± Minima vorliegen, könnte man sich die Symmetrie und die Monotonie von f anschauen: Die Funktion ist gerade, daher genügt es x = zu betrachten. Desweiteren fällt die Funktion monoton für x, und daher ist bei x = ein Minimum und genauso bei x =. c. Methode: Explizite Methode Eliminationsmethode NB liefern z = x + y und x + y + z = x + y =, also x + y = 5 = z. Einsetzen in die Funktion f ergibt neue Funktion f, die nur noch von x abhängt: f x = f x, 5 x, 5 = x + 5 x + 5 = x x + f x = x = x = ; f x = x f = < lokales Maximum bei P, 9, 5 MAX, 9, 5; 6

7 . Methode: Methode der Langrangeschen Multiplikatoren Lx, y, z, λ, λ = x + y + z + λ x + y + z + λ x + y z L x = x λ λ L y = λ λ L z = z λ + λ L λ = x + y + z L λ = x + y z L x = λ x λ = L y = λ λ = L z = z λ + λ = L λ = x + y + z = 5 L λ = x + y z = Einzige Lösung des Systems -5 ist x =, y = 9, z = 5, λ =, λ = 9. Stationärer Punkt von f : P, 9, 5 Der Funktionswert von P beträgt f P = = +. Mit den NB bekommt man wieder f x = x x + = x x Quadratische Ergänzung liefert f x = + x + = f P. Damit ist P sogar ein globales Maximum.., ist ein Kurvenpunkt von F, denn es gilt F, =. Die partiellen Ableitungen von F sind: F x x, y = e y und F y x, y = e y x +y +y. Diese Ableitungen sind stetig, genauso wie die Funktion F selbst, d.h. F ist wenigstens einmal stetig partiell differenzierbar. Desweiteren gilt F y, =. Damit sind alle drei Voraussetzungen des Satzes über die implizite Funkion im Punkt, erfüllt. Folglich gilt, dass in der Umgebung von, durch F x, y = implizit eine Funktion y = f x definiert ist, d.h. F ist im Punkt, lokal nach y auflösbar.. Damit F x, y = e x cos y + x + y = in einer Umgebung von P, y lokal auflösbar sein kann, muss der Punkt P auf der durch F x, y = beschriebenen Kurve liegen. Folglich gilt: F P = F, y = e cos y + + y = bzw. cos y = y +. Um y zu bestimmen, kann man sich die linke und die rechte Seite als Funktionen f y = cos y und f y = + y vorstellen, und y ist Schnittpunkt dieser beiden Funktionen. f und f schneiden sich nur im Punkt y =, d.h. y =. Es bleibt zu zeigen, dass durch F x, y = e x cos y + x + y = in einer Umgebung von P, eine Funktion y = f x mit y = f definiert ist. Dazu wenden wir wieder den Satz über die implizite Funktion an., ist ein Kurvenpunkt von F, siehe oben. Die partiellen Ableitungen von F sind: F x x, y = e x + und F y x, y = sin y +. Diese Ableitungen sind stetig, genauso wie die Funktion F selbst, d.h. F ist wenigstens einmal stetig partiell differenzierbar. Desweiteren gilt F y, =. 7

8 Damit sind alle drei Voraussetzungen des Satzes über die implizite Funkion im Punkt, erfüllt. Folglich gilt, dass in der Umgebung von, durch F x, y = implizit eine Funktion y = f x definiert ist, d.h. F ist im Punkt, lokal nach y auflösbar. Für f x gilt f = und f x = Fx F y = ex + sin y+. Einsetzen des Punktes P, liefert: f Fx, = F y, = = Kurve als implizite Funktion : F x, y = x y + e y = Schnittpunkte mit der x-achse y = : F x, = x +e = x, = ± P x, y = P, P x, y = P, Partielle Implizite Differentiation : P +, : F x = x y und F y = x y + e y F y y + F x = y x = F x F y = x y x y+e y F x, =, F y, = Satz über implizite Funktion nicht anwendbar! P, : F x, =, F y, = y = Tangentengleichung y = mx + n für P : m = y y x x = y x+ = y x =, P, eingesetzt n = y = x + Bisher wurde angenommen, dass durch eine Funktion y = yx implizit definiert wird. Vertauscht man die Variablen in ihrer Bedeutung und nimmt an, dass durch eine Funktion x = xy implizit gegeben ist, so gilt für deren Ableitung analog zu oben: Implizite Differentiation : F x x + F y = x y = Fy F x P +, : F x, =, F y, = x y = = x y+ey x y Tangentengleichung x = my + n für P : m = x x y y = x y = x y =, P, eingesetzt n = x = vertikale Tangente Horizontale Tangenten ergeben sich in Kurvenpunkten mit F x = x y = und F y. Die. Bedingung liefert x = y, eingesetzt in die. Bedingung ergibt F y = x y + e y = e y, d.h. die. Bedingung ist stets erfüllt. Setzen x = y in F x, y ein und erhalten: F x, x = x x + e x = e x = x = y = ln Der einzige Kurvenpunkt mit horizontaler Tangente ist.6 also Q ln, ln

9 Zusatzaufgabe: F x, y besitzt die partiellen Ableitungen F x x, y = e x +, F y x, y = y. Da x, y =, ein Kurvenpunkt ist denn F, = e + ln + =, F y, = gilt und die Funktion F einmal stetig partiell differenzierbar ist, ist nach dem Satz über die implizite Funktion in einer Umgebung von x, y durch F x, y = eine Funktion y = f x implizit definiert und es gilt: f x = y also f = und f x = F xx, y F y x, y = + ex y also f = e + =. Wegen y = f x erhält man durch Anwendung der Quotientenregel bei Beachtung der Kettenregel für die zweite Ableitung: f x = d dx f x = d ex + e x f x e x + f x [f x] dx f x =, al- f x so e f = f e + f [f ] = 7 f Für die Approximation von f x in der Umgebung von, durch das Taylor-Polynom. Grades ergibt sich damit f x f x + f x x x + f x x x = x + 7 x blau ist F x, y, rot das Taylor-Polynom. Grades 9