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Transkript

1 Institut für Informatik Prof. Dr. Michael Böhlen Binzmühlestrasse Zurich Telefon: AlgoDat Midterm1 Frühjahr Name: Matrikelnummer: Hinweise Wenn Sie nur das Modul Informatik IIb belegen, haben Sie 90 Minuten Zeit um die Klausur zu lösen. Wenn Sie beide Module Informatik IIa und IIb belegen, haben Sie insgesamt 120 Minuten Zeit, beide Prüfungsteile zu lösen. Folgende Regelungen gelten für diese schriftliche Klausur: Beantworten Sie die Fragen direkt auf den Prüfungsblättern und deren Rückseiten. Kennzeichnen Sie deutlich, welche Antwort zu welcher Frage gehört. Zusatzblätter werden auf Anfrage verteilt. Wenn Sie Zusatzblätter verwenden, benennen Sie jedes einzelne Zusatzblatt mit Ihrer Matrikelnummer sowie Ihrem Namen und Vornamen. Überprüfen Sie bitte Ihr Klausurexemplar auf Vollständigkeit (12 nummerierte Seiten). Verwenden Sie für Lösungen einen Stift mit blauer oder schwarzer Farbe. Bleistifte und Stifte in anderen Farben sind nicht erlaubt. Lösungen, welche mit Bleistift verfasst wurden, werden nicht korrigiert. Es ist stets die in der Vorlesung verwendete Notation anzuwenden. Für die Prüfung in Informatik IIb sind ausschliesslich folgende Hilfsmittel erlaubt: Ein beidseitig beschriebenes A4-Hilfsblatt mit selbst geschriebenen, handschriftlichen Notizen. Hilfsblätter, welche nicht diesen Richtlinien entsprechen werden eingesammelt. Für Studierende, deren Muttersprache nicht Deutsch ist: ein Fremdwörterbuch. Dieses wird von einer Aufsichtsperson kontrolliert. Es dürfen keine zusätzlichen Hilfsmittel verwendet werden, insbesondere dürfen keine Taschenrechner, Computer, PDAs, Smartphones, Audiogeräte oder Ähnliches benutzt werden. Ein Betrugsversuch hat ein Nichtbestehen dieses Tests zur Folge (d.h. 0 Punkte). Legen Sie Ihre Studentenlegitimation ( Legi ) auf Ihren Arbeitsplatz. Unterschrift: Korrekturteil Bitte füllen Sie den untenstehenden Abschnitt nicht aus Aufgabe Total Punkte erhalten Maximale Punktzahl

2 Aufgabe 1 18 Punkte Arrays 1.1 [8 Punkte] Gegeben sei ein Array A[0...n A -1] mit n A ganzzahligen Elementen. Dieses Array A ist in aufsteigender Reihenfolge sortiert. Erstellen Sie eine Funktion printcounts(a, n A ), die alle Wertepaare im Format (v,t) ausgibt, wobei v für einen Wert im Array und t für die Anzahl dieses Wertes im Array steht. Verwenden Sie entweder C oder Pseudocode für Ihre Lösung. Wenn beispielsweise A = [1,2,2,2,2,3,3,4,4,4,5,6], dann soll die Funktion Folgendes ausgeben: (1,1), (2,4), (3,2), (4,3), (5,1), (6,1) 2

3 Name: Matrikelnummer: 1.2 [10 Punkte] Gegeben seien ein Array A[0...n A -1] mit n A ganzzahligen Elementen und ein Array B[0...n B -1] mit n B ganzzahligen Elementen. Beide Arrays A und B sind in aufsteigender Reihenfolge sortiert. Erstellen Sie eine Funktion EqualAsSets(A, n A, B, n B ), die TRUE zurückgibt, wenn die beiden Arrays gleich sind sofern sie als Sets verglichen werden. Verwenden Sie entweder C oder Pseudocode für Ihre Lösung. Beispiel: Wenn A = [1,2,2,2,2,3,3,4,4,4,5,6] und B = [2,2,3,3,3,4], soll Ihre Lösung FALSE zurückgeben weil {1,2,3,4,5,6} und {2,3,4} nicht gleich sind. 3

4 Aufgabe 2 20 Punkte Asymptotic Complexity and Recurrences 2.1 [8 Punkte] Berechnen Sie die asymptotisch enge Schranke Θ für die folgenden Funktionen und sortieren Sie diese gemäss den Grössenordnungen der Steigung (kleinste zuerst). Geben Sie die Berechnungsschritte in Ihrer Lösung klar an: f 1 (n) = (12n) 2, f 2 (n) = 2 log4 (n), f 3 (n) = , f 4 (n) = log(πn)+log(42 log n ), f 5 (n) = 5 lg 7 n n 2 + log(3)n , f 6 (n) = n max(log n, n) 4

5 Name: Matrikelnummer: 2.2 [6 Punkte] Berechnen Sie die asymptotisch enge Schranke Θ für die folgenden recurrences. Wenn das Master-Theorem angewendet werden kann, schreiben Sie die Werte von a, b und f(n) auf und geben Sie an, welcher Fall (1-3) angewendet wurde. (4 Punkte) a) T (n) = 3T ( n 2 ) + n2 b) T (n) = log n + T ( n) c) T (n) = 4T ( n 9 ) + 7 n 5

6 2.3 [6 Punkte] Verwenden Sie folgende recurrence: { 1, if n = 1 T (n) = T (n) = T (4n/5) + T (n/5) + n, if n > 1 a) Zeichnen Sie den Rekursionsbaum und verwenden Sie ihn, um die obere asymptotische Grenze von T (n) abzuschätzen. Notieren Sie die auf dem Baum basierenden Berechnungen die zur Abschätzung der Grenze geführt haben. b) Beweisen Sie die Richtigkeit Ihrer Abschätzung mit Induktion. 6

7 Name: Matrikelnummer: Aufgabe 3 20 Punkte Runtime and Recursion Algorithmus: whatdoesitdo(a,n) 1 for i = n to 2 do 2 k = i; 3 for j = 1 to i-1 do 4 if A[j]>A[k] then 5 k = j; 6 exchange A[i] and A[k]; 3.1 [4 Punkte] Der Algorithmus whatdoesitdo(a, n) hat als Argumente ein Array A[1..n] von Ganzzahlwerten und die Anzahl der Elemente n. Nehmen Sie an, dass dem Algorithmus das Array A=[7, 2, 9, 1, 4] übergeben wird. Füllen Sie die unten stehende Matrix mit den Werten von i und dem Inhalt von A nach jeder Ausführung der äusseren for-schleife aus. In der ersten Zeile der Matrix ist der Wert des Arrays A vor der Ausführung der Schleife bereits eingetragen. i A[0] A[1] A[2] A[3] A[4]

8 3.2 [2 Punkte] Beschreiben Sie den besten und den schlechtesten Fall für den Algorithmus. 3.3 [8 Punkte] Analysieren Sie die Schritte des Algorithmus und berechnen Sie die exakte Laufzeit. Zeile 1 Zeile 2 Zeile 3 Zeile 4 Zeile 5 Zeile 6 8

9 Name: Matrikelnummer: 3.4 [6 Punkte] Beschreiben Sie in Worten (maximal drei Zeilen) was der vorgegebene Algorithmus whatdoesitdo(int A,n) macht. Erstellen Sie eine rekursive Version von whatdoesitdo(a, n). Verwenden Sie entweder C oder Pseudocode für Ihre Lösung. 9

10 Aufgabe 4 22 Punkte Divide and Conquer Ein Majoritätselement eines Arrays A[l..r] mit n = r-l+1 Elementen ist ein Wert, der in mehr als n Positionen im Array vorkommt. Eine Eigenschaft des Majoritätselementes von A ist, dass es auch das Majoritätselement der linken oder der 2 rechten Hälfte oder von beiden Hälften von A ist. Beispielsweise ist das Majoritätselement in A = [2,4,2,3,2] die 2, weil es an mehr als 5 = 2.5 Positionen vorkommt und tatsächlich auch das Majoritätselement der 2 linken Hälfte A L = [2,4,2] ist. Das Array B = [2,2,4,1,4,2,3,5,3,2,4] hingegen hat kein Majoritätselement, weil es keinen Wert gibt, der in mehr als 11 = unterschiedlichen Positionen vorkommt. Wichtig: Wenn ein Element x das Majoritätselement einer Hälfte des Arrays A ist, ist es nicht zwangsweise auch das Majoritätselement von A. Bevor man sicher sein kann, dass es das ist, muss das Vorkommen des Elements im ganzen Array gezählt werden. 4.1 [5 Punkte] Basierend auf der gegebenen Erklärung, zeichnen Sie einen Baum um den Prozess zu illustrieren, wenn das Majoritätselement in einem Array A = [4,3,2,4,5,4,4] gesucht wird. Bezeichnen Sie alle Knoten im Baum mit seinem Majoritätselement. 10

11 Name: Matrikelnummer: 4.2 [14 Punkte] Schreiben Sie einen Divide and Conquer Algorithmus, der das Majoritätselement in einem Array bestehend aus positiven Ganzzahlwerten findet und zurückgibt. Wenn es kein Majoritätselement gibt, soll -1 zurückgegeben werden. Verwenden Sie entweder C oder Pseudocode für Ihre Lösung. 4.3 [3 Punkte] Schreiben Sie die recurrence für den Algorithmus, den Sie in 4.2 erstellt haben, auf. Lösen Sie die recurrence mit Hilfe der Methode der wiederholten Substitution. 11

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