Klausur DI/LA F 2006 LA : 1
|
|
- Magdalena Boer
- vor 5 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Klausur DI/LA F 26 LA : Aufgabe (4+2=6 Punkte): Gegeben seien die Matrix A und der Vektor b mit λ A = λ und b = λ a) Bestimmen Sie die Werte λ R, für welche das Gleichungssystem Ax = b genau eine, keine Lösung oder mehrere Lösungen besitzt. b) Bestimmen Sie die Lösungsmenge von Ax = b für λ =.. Lösung: a) Durch elementare Zeilenumformungen ergibt sich λ λ λ λ λ λ λ λ 2 λ λ λ λ 2 λ 2 λ λ = λ λ λ (λ )(λ + 2) λ Ist also λ =, so sind die zweite und die dritte Zeilen Nullzeilen, somit hat das Gleichungssystem in diesem Fall mehrere Lösungen. Ist λ = 2, so entspricht die dritte Zeile der Gleichung x + x 2 + x =. Also hat das Gleichungssystem in diesem Fall keine Lösung. Gilt λ und λ 2, so existiert genau eine Lösung des Gleichungssystems. b) Nach Teil a) existiert für λ = genau eine Lösung x. Diese ist zu bestimmen aus x =. ( )( + 2) Also lautet die Lösungsmenge: L = /5 /5 /5.
2 Klausur DI/LA F 26 LA : 2 Aufgabe 2 (2+4=6 Punkte): Gegeben seien die Geraden 5 g : x = + t, t R und g 2 : x = s 2, s R. a) Berechnen Sie den Schnittpunkt von g und g 2. b) Berechnen Sie die Ebene E, die beide Geraden enthält. Geben Sie diese Ebene in Parameterform und in der Form ax + bx 2 + cx = d (Hesse s Form) an. Lösung: a) Bestimme t und s aus R, für die gilt t = Somit ist P = der Schnittpunkt. b) Die Parameterform der Ebene E lautet 2 E : x = + s t + s 2 s = 4, t = 2., s, t R. a In der Darstellung ax + bx 2 + cx = d ist b ein Normalenvektor der Ebene. Wir c bestimmen diesen als das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren der Ebene, also a 2 b = =. c Somit gilt E : x + x 2 + x = d. Setzt man nun einen Punkt der Ebene zum Beispiel den Punkt P in diese Gleichung ein, so erhält man d = =. Damit erhalten wir E : x + x 2 + x =. 2
3 Klausur DI/LA F 26 LA : Aufgabe (7 Punkte): Bestimmen Sie die Eigenwerte und die zugehörigen Eigenvektoren der Matrix A, wobei a A = a 2a a und a R \ {} gilt. Lösung:. Eigenwerte ausrechnen: Es gilt det(a λe) = (a λ) 2 (a λ). Damit sind λ = a und λ 2 = a die Eigenwerte von A. 2. Eigenräume ausrechnen: Zu λ = a: Es sind alle Lösugen des Gleichungssystems (A λ E)v = zu bestimmen. Wegen (A λ E) = 2a 2a und a sind und Eigenwert λ. Zu λ 2 = a: Wir bestimmen alle Lösungen von (A λ 2 E)v =. Wegen erhalten wir zwei linear unabhängige Eigenvektoren von A zum A λ 2 E = 2a 2a 2a als Eigenvektor zum Eigenwert λ 2.
4 Klausur DI/LA F 26 LA : 4 Aufgabe 4 (5 Punkte): Gegeben sei der Vektor b = 2. Gesucht sind alle Vektoren x R so, dass. die Länge von x gleich 2 ist, und 2. die Vektoren x und e 2 den Winkel π/2 einschließen, und. der Vektor x senkrecht zu dem Vektor b ist. Lösung: Sei x = (x, x 2, x ) T. Aus 2. folgt x 2 =< x, e 2 >= x e 2 cos(π/2) =. Wegen. folgt daraus =< x, b >= 2x + x. Folglich gilt 2x = x. Zusammen mit. ergibt sich nun 4 = x 2 + x x 2 = x 2 + 2x 2, woraus x = ± 4/ folgt. Also sind x = 2/ 2 2/ und x 2 = 2/ 2 2/ die gesuchten Vektoren. 4
5 Klausur DI/LA F 26 LA : 5 Aufgabe 5 (+5=6 Punkte): Es sei die Matrix A α R (,) gegeben durch 4 2 A α = 2 2 α, α + (α ) 2 wobei α R. a) Existiert eine Cholesky-Zerlegung von A 2? Falls ja, bestimmen Sie eine Cholesky- Zerlegung. Falls nein, begründen Sie Ihre Aussage. b) Bestimmen Sie eine Cholesky-Zerlegung von A. Hinweis: eine Cholesky-Zerlegung einer positiv semidefiniten Matrix A ist eine untere Dreiecksmatrix L = b c, so daß LL T = A. a d e f Lösung: a) Nein, denn det(a 2 ) = 8, d.h. mindestens einer der Eigenwerte von A 2 ist negativ. Daher ist A 2 nicht positiv semidefinit. a b) Ist L = b c, so gilt d e f 4 2 a 2 ab ad 2 2 = A = LL T = ab b 2 + c 2 bd + ce. 5 ad bd + ce d 2 + e 2 + f 2 Aus a 2 = 4 folgt, daß a = 2. Im folgenden sei a = 2. Aus ab = 2 und ad = folgern wir b = und d =. Unter Verwendung der Gleichung b 2 + c 2 = 2 können wir nun c = schließen. Wir wählen c =. Mit bd + ce = folgt nun, daß e =. Als letztes können wir aus d 2 + e 2 + f 2 = 5 schließen, daß f = 2. Im folgenden sei f = 2. Eine 2 Cholesky-Zerlegung von A ist also durch L = gegeben. 2 5
Diplomvorprüfung LA H 06 VD : 1
Diplomvorprüfung LA H 6 VD : Aufgabe : (3 + + = 6 Punkte) Gegeben sei die Matrix A = a) Bestimmen Sie die Eigenwerte von A b) Bestimmen Sie alle Eigenvektoren der Matrix A c) Ist die Matrix A invertierbar?
MehrVorkurs Mathematik Übungen zu linearen Gleichungssystemen
Vorkurs Mathematik Übungen zu linearen Gleichungssystemen Lineare Gleichungssysteme lösen Aufgabe. Lösen sie jeweils das LGS A x = b mit ( ( a A =, b = b A =, b = 6 Aufgabe. Berechnen Sie für die folgenden
MehrAufgabe Summe Note Punkte
Fachhochschule Südwestfalen - Meschede Prof. Dr. Henrik Schulze Klausur Ingenieurmathematik am. September 5 (mit Lösungen) Name Matr.-Nr. Vorname Unterschrift Aufgabe 3 5 7 Summe Note Punkte Die Klausur
MehrMathematik für Betriebswirte I (Lineare Algebra) 2. Klausur Wintersemester 2017/
Mathematik für Betriebswirte I (Lineare Algebra) 2. Klausur Wintersemester 2017/2018 1.03.2018 BITTE LESERLICH IN DRUCKBUCHSTABEN AUSFÜLLEN Nachname:...................................................................
MehrTest 2, Musterlösung. Name, Klasse: Semester: 1 Datum: Teil ohne Matlab
Test 2, Musterlösung Lineare Algebra donat.adams@fhnw.ch Institut für Mathematik und Physik Name, Klasse: Semester: Datum: 2..26. Teil ohne Matlab. Lineare Abbildungen Zeigen Sie, dass die folgenden Abbildungen
MehrLineare Algebra und analytische Geometrie II (Unterrichtsfach) Lösungsvorschlag
MATHEMATISCHES INSTITUT DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN Dr E Schörner SS 0 Blatt 9 9060 Übungen zur Vorlesung Lineare Algebra und analytische Geometrie II (Unterrichtsfach Lösungsvorschlag a Die gegebene Matrix
MehrKlausurenkurs zum Staatsexamen (SS 2015): Lineare Algebra und analytische Geometrie 2
Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 25): Lineare Algebra und analytische Geometrie 2 2. (Frühjahr 29, Thema 3, Aufgabe 3) Gegeben sei die reelle 3 3 Matrix 4 2 A = 2 7 2 R 3 3. 2 2 a)
Mehr9. Übungsblatt zur Mathematik I für Maschinenbau
Fachbereich Mathematik Prof. Dr. M. Joswig Dr. habil. Sören Kraußhar Dipl.-Math. Katja Kulas 9. Übungsblatt zur Mathematik I für Maschinenbau Gruppenübung WS /..-4.. Aufgabe G (Koordinatentransformation)
MehrEigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen
Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen Betrachtet wird eine (n,n)-matrix A. Eine Zahl λ heißt Eigenwert von A, wenn ein Vektor v existiert, der nicht der Nullvektor ist und für den gilt: A v = λ v.
MehrGeometrie 3. Lagebeziehung zwischen geometrischen Objekten. 28. Oktober Mathe-Squad GbR. Lagebeziehung zwischen geometrischen Objekten 1
Geometrie 3 Lagebeziehung zwischen geometrischen Objekten Mathe-Squad GbR 28. Oktober 2016 Lagebeziehung zwischen geometrischen Objekten 1 Lage zweier Geraden Geraden g : #» X = #» A + λ #» u mit λ R h
MehrVariante A. Hinweise
Lehrstuhl C für Mathematik (Analysis Prof Dr Holger Rauhut Aachen, den 373 Wiederholungsklausur zur Höheren Mathematik I SoSe 3 Variante A Hinweise Zugelassene Hilfsmittel: Als Hilfsmittel zugelassen sind
MehrLineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG
P Grohs T Welti F Weber Herbstsemester 215 Lineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG ETH Zürich D-MATH Beispiellösung für Serie 12 Aufgabe 121 Matrixpotenzen und Eigenwerte Diese Aufgabe ist
MehrÜbungen zum Ferienkurs Lineare Algebra WS 14/15
Übungen zum Ferienkurs Lineare Algebra WS 14/15 Matrizen und Vektoren, LGS, Gruppen, Vektorräume 1.1 Multiplikation von Matrizen Gegeben seien die Matrizen A := 1 1 2 0 5 1 8 7 Berechnen Sie alle möglichen
MehrKlausur HM I F 2004 HM I : 1
Klausur HM I F 004 HM I : Aufgabe (5 Punkte): Für welche n gilt die folgende Aussage? ( n ) det n! n 0 (n )! () Führen Sie den Beweis mit Hilfe der vollständigen Induktion. Lösung: Beweis per Induktion
MehrProf. Steinwart Höhere Mathematik I/II Musterlösung A =
Prof. Steinwart Höhere Mathematik I/II Musterlösung 7..7 Aufgabe ( Punkte) (a) Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenräume der Matrix A mit 3 3 A = 3 Ist die Matrix A diagonalisierbar? (b) Die Matrix A
MehrKlausurenkurs zum Staatsexamen (SS 2013): Lineare Algebra und analytische Geometrie 3 Lösungsvorschlag
Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 23): Lineare Algebra und analytische Geometrie 3 Lösungsvorschlag 3. Mit Hilfe elementarer Zeilenumformungen sowie der Tatsache, daß sich die Determinante
MehrLineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG
R. Käppeli L. Herrmann W. Wu Herbstsemester 2016 Lineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG ETH Zürich D-MATH Beispiellösung für Serie 6 Aufgabe 6.1 Berechnen Sie die Determinanten der beiden
MehrKlausur zur Vorlesung Lineare Algebra I
Heinrich Heine Universität Düsseldorf 31.07.2010 Mathematisches Institut Lehrstuhl für Algebra und Zahlentheorie Prof. Dr. Oleg Bogopolski Klausur zur Vorlesung Lineare Algebra I Bearbeitungszeit: 120
Mehr3. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen
. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen Aufgabe : Gegeben sind zwei Teilmengen von R : E := {x R : x x = }, und F ist eine Ebene durch die Punkte A = ( ), B = ( ) und C = ( ). (a) Stellen Sie diese Mengen
Mehr10. Gruppenübung zur Vorlesung. Höhere Mathematik 1. Wintersemester 2012/2013 A =
O Alaya, S Demirel M Fetzer, B Krinn M Wied Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Wintersemester /3 Dr M Künzer Prof Dr M Stroppel Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: Aufgabe H 34 a Gegeben ist
Mehr6 Eigenwerte und Eigenvektoren
6.1 Eigenwert, Eigenraum, Eigenvektor Definition 6.1. Es sei V ein Vektorraum und f : V V eine lineare Abbildung. Ist λ K und v V mit v 0 und f(v) = λv gegeben, so heißt die Zahl λ Eigenwert (EW) von f,
MehrKlausurähnliche Aufgaben
Sommersemester 2007/08 Lineare Algebra Klausurähnliche Aufgaben Aufgabe 1 Seien v 1, v 2, v 3, v 4, v 5, v 6 die Vektoren in R 5 mit v 1 = (1, 2, 3, 1, 2), v 2 = (2, 4, 6, 2, 4), v 3 = ( 1, 1, 3, 0, 3),
MehrSerie 11: Lineare Gleichungssysteme, Gauss-Elimination & LR-Zerlegung
D-MATH/D-PHYS Lineare Algebra I HS 2017 Dr. Meike Akveld Serie 11: Lineare Gleichungssysteme, Gauss-Elimination & LR-Zerlegung 1. In dieser Aufgabe beweisen wir die Existenz der LR-Zerlegung einer quadratischen
MehrSerie 11: Lineare Gleichungssysteme, Gauss-Elimination & LR-Zerlegung
D-MATH/D-PHYS Lineare Algebra I HS 06 Dr. Meike Akveld Serie : Lineare Gleichungssysteme, Gauss-Elimination & LR-Zerlegung. Gegeben seien die folgenden geordneten Basen B = (v, v, v, v ) und C = (w, w,
MehrMathematik I für MB/ME
Mathematik I für MB/ME Fachbereich Grundlagenwissenschaften Prof Dr Viola Weiÿ Wintersemester 25/26 Übungsaufgaben Serie 4: Lineare Unabhängigkeit, Matrizen, Determinanten, LGS Prüfen Sie, ob die folgenden
MehrLineare Algebra für D-ITET, D-MATL, RW. Beispiellösung für Serie 12. Aufgabe Herbstsemester Dr. V. Gradinaru D. Devaud.
Dr. V. Gradinaru D. Devaud Herbstsemester 15 Lineare Algebra für D-ITET, D-MATL, RW ETH Zürich D-MATH Beispiellösung für Serie 1 Aufgabe 1.1 1.1a) Sei A eine n n-matrix. Das Gleichungssystem Ax = b sei
MehrLösbarkeit linearer Gleichungssysteme
Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme Lineares Gleichungssystem: Ax b, A R m n, x R n, b R m L R m R n Lx Ax Bemerkung b 0 R m Das Gleichungssystem heißt homogen a A0 0 Das LGS ist stets lösbar b Wenn
MehrKarlsruher Institut für Technologie (KIT) WS 2012/13 Institut für Analysis Prof. Dr. Tobias Lamm Dr. Patrick Breuning
Karlsruher Institut für Technologie (KIT) WS 22/3 Institut für Analysis 28..23 Prof. Dr. Tobias Lamm Dr. Patrick Breuning Höhere Mathematik I für die Fachrichtung Physik 4. Übungsblatt (letztes Blatt)
MehrTechnische Universität Berlin
Technische Universität Berlin Fakultät II Institut für Mathematik WS /4 M. Eigel R. Nabben K. Roegner M. Wojtylak.4.4 April Klausur Lineare Algebra für Ingenieure Lösungsskizze. Aufgabe 9 Punkte Gegeben
MehrKlausurenkurs zum Staatsexamen (SS 2016): Lineare Algebra und analytische Geometrie 6
Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 6): Lineare Algebra und analytische Geometrie 6 6. (Herbst, Thema, Aufgabe 4) Der Vektorraum R 4 sei mit dem Standard Skalarprodukt versehen. Der Unterraum
MehrAufgaben und Lösungen zur Abschlußklausur zur Mathematik 1 (Wiederholer und Nachzügler) vom
Aufgaben und Lösungen zur Abschlußklausur zur Mathematik (Wiederholer und Nachzügler) vom 6.3.8. In der Menge M n n aller quadratischen Matrizen vom Format n n mit Einträgen aus R werden die folgenden
MehrLineare Algebra: Determinanten und Eigenwerte
: und Eigenwerte 16. Dezember 2011 der Ordnung 2 I Im Folgenden: quadratische Matrizen Sei ( a b A = c d eine 2 2-Matrix. Die Determinante D(A (bzw. det(a oder Det(A von A ist gleich ad bc. Det(A = a b
MehrAufgabe Summe Note Punkte
Fachhochschule Südwestfalen - Meschede Prof. Dr. Henrik Schulze Klausur Ingenieurmathematik am 9. März 7 - Musterlösung Name Matr.-Nr. Vorname Unterschrift Aufgabe 4 5 6 7 Summe Note Punkte Die Klausur
MehrSysteme von Differentialgleichungen. Beispiel 1: Chemische Reaktionssysteme. Beispiel 2. System aus n Differentialgleichungen 1. Ordnung: y 1.
Systeme von Differentialgleichungen Beispiel : Chemische Reaktionssysteme System aus n Differentialgleichungen Ordnung: y (x = f (x, y (x,, y n (x Kurzschreibweise: y y 2 (x = f 2(x, y (x,, y n (x y n(x
MehrKlausur zum Grundkurs Höhere Mathematik I
Name, Vorname: Studiengang: Matrikelnummer: 2 4 5 6 Z Punkte Note Klausur zum Grundkurs Höhere Mathematik I für BNC, GtB, MB, EC, TeM, VT, KGB, WWT, ESM, FWK, BGi, WiW 22. Februar 2007, 8.00 -.00 Uhr Zugelassene
MehrKlausurenkurs zum Staatsexamen (SS 2015): Lineare Algebra und analytische Geometrie 6
Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 5): Lineare Algebra und analytische Geometrie 6 6. (Herbst, Thema, Aufgabe 4) Der Vektorraum R 4 sei mit dem Standard Skalarprodukt versehen. Der Unterraum
MehrMathematik I für MB und ME
Mathematik I für MB und ME Fachbereich Grundlagenwissenschaften Prof Dr Viola Weiÿ Wintersemester 28/29 Übungsaufgaben Serie 4: Lineare Unabhängigkeit, Matrizen, Determinanten, LGS Prüfen Sie, ob die folgenden
MehrHöhere Mathematik I. Variante B
Lehrstuhl II für Mathematik Prof. Dr. E. Triesch Höhere Mathematik I SoSe Variante B Zugelassene Hilfsmittel: Als Hilfsmittel zugelassen sind zehn handbeschriebene DinA-Blätter (Vorder- und Rückseite beschriftet,
MehrGruppe II Lineare Algebra
Pflichtbereichs Klausur in der Lehrerweiterbildung am 7.Juni 22 Bearbeiten Sie 3 der folgenden 6 Aufgaben, dabei aus jeder der beiden Gruppen (Lineare Algebra und Analysis) mindestens eine Aufgabe! Zur
MehrGemischte Aufgaben zur Klausurvorbereitung
Gunter Ochs Wintersemester / Gemischte Aufgaben zur Klausurvorbereitung Lösungshinweise (ohne Galantie auf Fehreleiheit. Gegeben sei eine Tabelle, die bestimmten Buchstaben Zahlen von bis zuordnet. Buchstabe
MehrKlausur (Modulprüfung) zum Lehrerweiterbildungskurs Lineare Algebra/Analytische Geometrie I WiSe 2015/16
Name, Vorname Matrikel-Nr. Aufg. Aufg.2 Aufg.3 Aufg.4 Σ Note bzw. Kennzeichen Klausur (Modulprüfung) zum Lehrerweiterbildungskurs Lineare Algebra/Analytische Geometrie I WiSe 25/6 Bearbeiten Sie bitte
MehrEigenwerte und Diagonalisierung
Eigenwerte und Diagonalisierung Wir wissen von früher: Seien V und W K-Vektorräume mit dim V = n, dim W = m und sei F : V W linear. Werden Basen A bzw. B in V bzw. W gewählt, dann hat F eine darstellende
MehrMusterlösungen für die Nachklausur in LinAlg vom
Musterlösungen für die Nachklausur in LinAlg vom 10.10.16 1. Finden Sie mindestens ) zwei Dreh )Matrizen ) M R 2 2 mit der Eigenschaft 1 0 M = : M = ± 1 1 2 ±1 1 k k 1 k 2. Sei A R 3 3 die Matrix A = 0
MehrAufgabe 1 (a) Bestimmen Sie die Schnittgerade der beiden Ebenen gegeben durch 3x y 2z 5 = 0 und x y 4z 3 = 0.
Mathematik I für Naturwissenschaften Dr. Christine Zehrt 22.11.18 Übung 10 (für Pharma/Geo/Bio) Uni Basel Besprechung der Lösungen: 26. November 2018 in den Übungsstunden Aufgabe 1 (a) Bestimmen Sie die
MehrMusterlösung für die Klausur vom 31. März. (a) Wir bestimmen zunächst einen Normalenvektor von E 1 :
Musterlösung für die Klausur vom 3. März Aufgabe (a) Wir bestimmen zunächst einen Normalenvektor von E : AB AC 3 2 = 2 =. 2 2 Dieser ist der Richtungsvektor der gesuchten Geraden, also hat diese die Parameterdarstellung
MehrBasistext Geraden und Ebenen
Basistext Geraden und Ebenen Parameterdarstellung Geraden Eine Gerade ist durch zwei Punkte P und Q, die auf der Geraden liegen, eindeutig festgelegt. Man benötigt zur Darstellung den Vektor. Dieser wird
MehrKlausur Lineare Algebra I am Es sind insgesamt 60 Punkte bei der Klausur zu erreichen.
Klausur Lineare Algebra I am 03.02.10 Es sind insgesamt 60 Punkte bei der Klausur zu erreichen. Aufgabe 1. (6 Punkte insgesamt) a.) (3P) Definieren Sie, was eine abelsche Gruppe ist. b.) (3P) Definieren
MehrBericht zur Mathematischen Zulassungsprüfung im Mai 2013
Bericht zur Mathematischen Zulassungsprüfung im Mai 3 Heinz-Willi Goelden, Wolfgang Lauf, Martin Pohl Am. Mai 3 fand die Mathematische Zulassungsprüfung statt. Die Prüfung bestand aus einer 9-minütigen
Mehr2 a 6. a 4 a Wir führen nun den Gauÿalgorithmus durch: 2 a a 2 4a 2 4a a a 2 2a 0 2 a
Aufgabe 8 Punkte). Bestimmen Sie die Lösungsmenge in R in Abhängigkeit von a R) des folgenden linearen Gleichungssystem: x + ax + 6x = 4, ax + 4x + ax =, x + 4x =. Lösung. Wir schreiben das lineare Gleichungssystem
MehrLineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG
R Käppeli L Herrmann W Wu Herbstsemester 26 Lineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG ETH Zürich D-MATH Beispiellösung für Serie 2 Aufgabe 2 Welche der folgenden Aussagen sind korrekt? (i) Jedes
MehrMathematik für Betriebswirte I (Lineare Algebra) 2. Klausur Wintersemester 2016/
Mathematik für Betriebswirte I (Lineare Algebra) 2. Klausur Wintersemester 206/207 20.03.207 BITTE LESERLICH IN DRUCKBUCHSTABEN AUSFÜLLEN Nachname:...................................................................
MehrLineare Algebra für Ingenieure
TECHNISCHE UNIVERSITÄT BERLIN SS 4 Fakultät II - Mathematik J Liesen/F Lutz/R Seiler Lineare Algebra für Ingenieure Lösungen zur Juli-Klausur Stand: 4 September 4 Rechenteil Aufgabe (8 Punkte Berechnen
MehrMathematik für Naturwissenschaftler, Pruscha & Rost Kap 7 Lösungen
Mathematik für Naturwissenschaftler, Pruscha & Rost Kap 7 Lösungen a) Es ist < x, y > α + + β β ( + α) und y α + + β α + + ( + α) (α + α + ) 6 α + α, also α, ± 5 + ± 9 4 ± 3 Es gibt also Lösungen: α, β
Mehrp = 0 Nun zur eigentlichen Aufgabe. Wie wir wissen, ist {1, X, X 2 } eine Basis von V, die wir nun mit Gram-Schmidt orthogonalisieren.
Aufgabe 1 Es sei V = {p R[X] Grad p 2} und a, b, c R fest gewählt Überzeugen Sie sich davon, dass die Abbildung, : V V R, deniert durch p, q := p(a)q(a) + p (b)q (b) + p (c)q (c) ein Skalarprodukt ist
MehrDie simultane Anwendung des Gauß-Verfahrens zur Lösung der beiden Gleichungssysteme
Übungsblatt Aufgabe.1 (F92 - A9-8P) a). Gegeben seien die Matrix 1 0 2 1 1 2 A = 0 1 0 0 2 0 und die Vektoren b 1 2 0 =, b = 4 2 4 4 1 2 Die simultane Anwendung des Gauß-Verfahrens zur Lösung der beiden
Mehrcos(x)cos(2x)cos(4x) cos(2 n x) = sin(2n+1 x) 2 n+1 sin(x) = sin(2n+2 x) 2 n+2 sin(x).
Stroppel/Sändig Musterlösung 8. 3., min Aufgabe 5 Punkte Beweisen Sie für alle x R {zπ z Z} die Formel für n N mit Hilfe der vollständigen Induktion. cosxcosxcosx cos n x = sinn+ x n+ sinx Dabei dürfen
MehrAufgaben mit Ebenen. Parameterform Normalenform Koordinatenform. Darstellung = + r + s =0 ax 1 + bx 2 + cx 3 = d. Beispiel
Aufgaben mit Ebenen Parameterform Normalenform Koordinatenform Spurpunkte Zur grafischen Darstellung der Ebene die Spurpunkt berechnen. Zwei Koordinaten gleich 0 setzen und jeweils die dritte ausrechnen.
MehrName: Matr.-Nr.: 2. Aufgabe 1. Gegeben sei die Matrix
Name: Matr.-Nr.: 2 Aufgabe 1. Gegeben sei die Matrix 1 1 1 A = 3 3 3 2 2 2 (a) Bestimmen Sie Rang(A), Kern(A) und Bild(A). Ist A invertierbar? Geben Sie zwei verschiedene rechte Seiten b 1, b 2 an, so
MehrMathematischer Vorkurs Lösungen zum Übungsblatt 5
Mathematischer Vorkurs Lösungen zum Übungsblatt 5 Prof. Dr. Norbert Pietralla/Sommersemester 2012 c.v.meister@skmail.ikp.physik.tu-darmstadt.de Aufgabe 1: Berechnen Sie den Abstand d der Punkte P 1 und
MehrKLAUSUR. Name: Vorname: Matr. Nr./Studiengang: Versuch Nr.:
KLAUSUR Lineare Algebra (E-Techniker/Mechatroniker/W-Ingenieure/Informatiker).3. (W. Koepf) Name: Vorname: Matr. Nr./Studiengang: Versuch Nr.: Für jede Aufgabe gibt es Punkte. Zum Bestehen der Klausur
MehrAussagenlogik. 1. Gegeben seien folgende Aussagen: A: 7 ist eine ungerade Zahl. C: 2 ist eine Primzahl D: 7 7. F: 3 ist Teiler von 9
Aussagenlogik 1. Gegeben seien folgende Aussagen: A: 7 ist eine ungerade Zahl B: a + b < a + b, a, b R C: 2 ist eine Primzahl D: 7 7 E: a + 1 b, a, b R F: 3 ist Teiler von 9 Bestimmen Sie den Wahrheitswert
Mehr4x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 1, x 2 + ax 3 = 1, ax 2 + x 3 = a 1. 0 a 1 1 Wir führen nun den Gauÿalgorithmus durch:
Aufgabe 8 Punkte Bestimmen Sie die Lösungsmenge in R in Abhängigkeit von a R des folgenden linearen Gleichungssystems: 4x + x + 3x 3 =, x + ax 3 =, ax + x 3 =. Lösung. Wir schreiben das lineare Gleichungssystem
MehrKlausur zur Vorlesung Lineare Algebra B im SS 2002 an der Universität Hannover
Dozent: Prof. Dr. Wolfgang Ebeling Übungsleiter: Dr. Detlef Wille Klausur zur Vorlesung Lineare Algebra B im SS an der Universität Hannover Joachim Selke 9. Februar Lineare Algebra B SS Klausur zur Vorlesung
Mehr6 Eigenwerte und Eigenvektoren
6.1 Eigenwert, Eigenraum, Eigenvektor Definition 6.1. Es sei V ein Vektorraum und f : V V eine lineare Abbildung. Ist λ K und v V mit v 0 und f(v) = λv gegeben, so heißt die Zahl λ Eigenwert (EW) von f,
MehrLösung zu Serie [Aufgabe] Faktorisieren Sie die folgenden Polynome so weit wie möglich:
Lineare Algebra D-MATH, HS 04 Prof. Richard Pink Lösung zu Serie. [Aufgabe] Faktorisieren Sie die folgenden Polynome so weit wie möglich: a) F (X) := X 5 X in R[X] und C[X]. b) F (X) := X 4 +X 3 +X in
Mehr6 Symmetrische Matrizen und quadratische Formen
Mathematik für Ingenieure II, SS 009 Dienstag 3.6 $Id: quadrat.tex,v.4 009/06/3 4:55:47 hk Exp $ 6 Symmetrische Matrizen und quadratische Formen 6.3 Quadratische Funktionen und die Hauptachsentransformation
MehrLineare Algebra und Numerische Mathematik D-BAUG Winter 2013 Prof. H.-R. Künsch. Regeln Multiple Choice:
b Prüfung Lineare Algebra und Numerische Mathematik D-BAUG Winter 03 Prof. H.-R. Künsch c Alle Aufgaben haben das gleiche Gewicht. Die Lösungswege müssen, abgesehen von Aufgabe, nachvollziehbar dargestellt
MehrLineare Algebra und Numerische Mathematik D-BAUG. Sommer 2012 Prof. H.-R. Künsch
b Prüfung Lineare Algebra und Numerische Mathematik D-BAUG. Multiple Choice: Sommer Prof. H.-R. Künsch Gegeben sei die folgende Matrix A = 4. 4 (a) x AA T ist eine 4 4 Matrix mit ( AA T) = 4. AA T ist
MehrMusterlösung der Präsenzaufgaben zu Mathematik I für ET/IT und ITS
Musterlösung der Präsenzaufgaben zu Mathematik I für ET/IT und ITS WS 0/0 Blatt 0. Entscheiden Sie, ob die Vektoren v = (,,,4), v = (,0, ), v = (0,,,0), v 4 = (,,, ) linear unabhängig sind. Schreiben Sie,
Mehr45 Eigenwerte und Eigenvektoren
45 Eigenwerte und Eigenvektoren 45.1 Motivation Eigenvektor- bzw. Eigenwertprobleme sind wichtig in vielen Gebieten wie Physik, Elektrotechnik, Maschinenbau, Statik, Biologie, Informatik, Wirtschaftswissenschaften.
MehrKapitel 5 : Eigenwerte und Eigenvektoren
Kapitel 5 : Eigenwerte und Eigenvektoren 5.1 Definition und allgemeine Eigenschaften Definition 5.1 Sei A eine quadratische (n n)-matrix. λ C heißt Eigenwert von A, wenn ein Vektor x C n mit x 0 existiert,
MehrÜbungen zum Vorkurs Mathematik
Übungen zum Vorkurs Mathematik Blatt 1 W.S.2009/2010 - Ernst Bönecke Aufgaben zur Aussagenlogik 1.) Seien A, B, C Aussagen. Beweisen Sie mit Hilfe von Wahrheitstafeln, dass folgende Aussagen stets wahr
Mehr10 Lineare Gleichungssysteme
ChrNelius : Lineare Algebra I (WS 2004/05) 1 10 Lineare Gleichungssysteme (101) Bezeichnungen: Ein System a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 ( ) a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a
MehrRückblick auf die letzte Vorlesung. Bemerkung
Bemerkung 1) Die Bedingung grad f (x 0 ) = 0 T definiert gewöhnlich ein nichtlineares Gleichungssystem zur Berechnung von x = x 0, wobei n Gleichungen für n Unbekannte gegeben sind. 2) Die Punkte x 0 D
Mehr2 k k 1 k(k + 1) = 2n+1. n = 0 = k(k + 1) = 2n+1 n n. = 2 n+1 n + 2 (n + 1)(n + 2) + n. (n + 1)(n + 2)
Prof. Hesse Höhere Mathematik I und II Musterlösung 7. 0. 0, 80min Aufgabe (3 Punkte) Zeigen Sie mit vollständiger Induktion: Für alle n N gilt n k= k k k(k + ) = n+ n +. Induktionsanfang: k= Induktionsschluss
MehrEigenwerte, Diagonalisierbarkeit, charakteristisches Polynom
Eigenwerte, Diagonalisierbarkeit, charakteristisches Polynom Eine Fragestellung, die uns im weiteren beschäftigen wird, ist das Finden eines möglichst einfachen Repräsentanten aus jeder Äquivalenzklasse
MehrSerie a) Welche der folgenden Vektoren sind Eigenvektoren der Matrix 1 0 1? 0 1 1
Prof. Norbert Hungerbühler Serie Lineare Algebra II ETH Zürich - D-MAVT. a Welche der folgenden Vektoren sind Eigenvektoren der Matrix? i (,,. ii (,,. iii (,,. iv (, 3,. v (,,. Ein Vektor v ist Eigenvektor
MehrRUHR - UNIVERSITÄT BOCHUM KLAUSUR. Name. Vorname. Teilnehmer-Nr. Zur Beachtung. Bitte nicht ausfüllen
RUHR - UNIVERSITÄT BOCHUM Fakultät für Wirtschaftswissenschaft KLAUSUR Mathematik für Ökonomen L i n e a r e A l g e b r a 7.12.1996 (WS 96/97) Name Vorname Teilnehmer-Nr. Zur Beachtung Die Klausur umfaßt
MehrKlausur Mathematik I
Klausur Mathematik I E-Techniker/Mechatroniker/Informatiker/W-Ingenieure). März 007 Hans-Georg Rück) Aufgabe 6 Punkte): a) Berechnen Sie alle komplexen Zahlen z mit der Eigenschaft z z = und z ) z ) =.
Mehr3 a) Berechnen Sie die normierte Zeilenstufenform der Matrix A = normierte Zeilenstufenform:
1. Aufgabe (9 Punkte) In dieser Aufgabe müssen Sie Ihre Antwort nicht begründen. Es zählt nur das Ergebnis. Tragen Sie nur das Ergebnis auf diesem Blatt im jeweiligen Feld ein. 0 1 3 a) Berechnen Sie die
MehrKlausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2016/17): Lineare Algebra und analytische Geometrie 1
Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 206/7): Lineare Algebra und analytische Geometrie. (Herbst 2005, Thema, Aufgabe ) Bestimmen Sie alle reellen Lösungen des folgenden linearen Gleichungssystems:.2
MehrLösungen zu Mathematik I/II
Dr. A. Caspar ETH Zürich, Januar D BIOL, D CHAB Lösungen zu Mathematik I/II. ( Punkte) a) Wir benutzen L Hôpital lim x ln(x) L Hôpital x 3 = lim 3x + x L Hôpital = lim x ln(x) x 3x 3 = lim ln(x) x 3 x
MehrLösungen der Aufgaben zu Kapitel 11
Lösungen der Aufgaben zu Kapitel Vorbemerkung: Zur Bestimmung der Eigenwerte (bzw. des charakteristischen Polynoms) einer (, )-Matrix verwenden wir stets die Regel von Sarrus (Satz..) und zur Bestimmung
MehrTutorium Mathematik II, M Lösungen
Tutorium Mathematik II, M Lösungen März 03 *Aufgabe Bestimmen Sie durch Hauptachsentransformation Lage und Typ der Kegelschnitte (a) 3x + 4x x + 3x 4x = 0, (b) 3x + 4x x + 3x 4x 6 = 0, (c) 3x + 4x x +
MehrLösungshinweise zur Klausur. Mathematik für Informatiker III. (Dr. Frank Hoffmann) 18. Februar 2008
Lösungshinweise zur Klausur Mathematik für Informatiker III (Dr. Frank Hoffmann) 8. Februar 8 Aufgabe Algebraisches I /6++ (a) Rechnen Sie zunächst nach, dass die Menge B = {,, von Vektoren eine Basis
MehrZulassungsprüfung in Mathematik
der Deutschen Aktuarvereinigung e V Hinweise: Als Hilfsmittel sind ein Taschenrechner, eine mathematische Formelsammlung sowie entsprechende Literatur zugelassen Die Gesamtpunktzahl beträgt 9 Punkte Die
MehrZu zwei Matrizen A R m n und B R p q existiert das Matrizenprodukt A B n = p und es gilt dann. A B = (a ij ) (b jk ) = (c ik ) = C R m q mit c ik =
H 6. Die Matrizen A, B, C und D seien gegeben durch 5 A =, B =, C = 4 5 4, D =. 5 7 5 4 4 Berechnen Sie (sofern möglich) alle Matrizenprodukte X Y mit X, Y {A, B, C, D}. Zu zwei Matrizen A R m n und B
MehrLösungen Serie 2. D-MAVT Lineare Algebra II FS 2018 Prof. Dr. N. Hungerbühler 1 0 1? 0 1 1
D-MAVT Lineare Algebra II FS 8 Prof. Dr. N. Hungerbühler Lösungen Serie. Welche der folgenden Vektoren sind Eigenvektoren der Matrix? (a) (,, ). Ein Vektor v ist Eigenvektor von A :=, falls Av ein skalares
MehrLineare Algebra 2013 Lösungen für Test und Zusatzfragen
Lineare Algebra 3 Lösungen für Test und Zusatzfragen Test Multiple Choice. Seien Für die Lösung x x x x 3 A, b des Systems Ax b gilt x 3 5 x 3 x 3 3 x 3 / Mit elementaren Zeilenoperationen erhalten wir
MehrMathematik II. Variante A
Prof. Dr. E. Triesch Mathematik II SoSe 28 Variante A Hinweise zur Bearbeitung: Benutzen Sie zur Beantwortung aller Aufgaben ausschließlich das in der Klausur ausgeteilte Papier! Es werden nur die Antworten
MehrSerie 12: Eigenwerte und Eigenvektoren
D-ERDW, D-HEST, D-USYS Mathematik I HS 5 Dr Ana Cannas Serie : Eigenwerte und Eigenvektoren Bemerkung: Die Aufgaben dieser Serie bilden den Fokus der Übungsgruppen vom 7 und 9 Dezember Finden Sie für folgende
MehrBerechnung der Determinante
Berechnung der Determinante Verhalten der Determinante unter elementaren Zeilenoperationen: Das Vertauschen zweier Zeilen/Spalten der Matrix A ändert nur das Vorzeichen der Determinante, d.h: i, j {1,...,
MehrProf. Steinwart Höhere Mathematik I/II Musterlösung A =
Prof. Steinwart Höhere Mathematik I/II Musterlösung 9.8.6 Aufgabe Punkte a Berechnen Sie die Eigenwerte der folgenden Matrix: A 3 b Es sei 4 A. 8 5 Bestimmen Sie P, P M, und eine Diagonalmatrix D M, so,
MehrRUHR - UNIVERSITÄT BOCHUM KLAUSUR. Name. Vorname. Teilnehmer-Nr. Zur Beachtung. Bitte nicht ausfüllen
RUHR - UNIVERSITÄT BOCHUM Fakultät für Wirtschaftswissenschaft KLAUSUR Mathematik für Ökonomen L i n e a r e A l g e b r a 7.12.2002 (WS 2002/03) Name Vorname Teilnehmer-Nr. Zur Beachtung Die Klausur umfaßt
MehrAufgabe 1 (Komplexe Zahlen) Berechnen Sie die folgenden komplexe Zahlen:
Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler im SoSe 24 Lösungsvorschläge zur Klausur im SoSe 24 Aufgabe (Komplexe Zahlen) Berechnen Sie die folgenden komplexe Zahlen: z = ( + i) 2 w = + i. Stellen Sie jeweils
MehrTechnische Universität Berlin
Technische Universität Berlin Fakultät II Institut für Mathematik WS / Knipping R Naen R Patterson M Scheutzow 44 April Klausur ineare Algera für Ingenieure ösungsskizze Aufgae Punkte Gegeen seien die
MehrAussagenlogik. Lehrstuhl für BWL, insb. Mathematik und Statistik Prof. Dr. Michael Merz Mathematik für Betriebswirte I Wintersemester 2015/2016
Aussagenlogik 1. Gegeben seien folgende Aussagen: A: 7 ist eine ungerade Zahl B: a + b < a + b, a, b R C: 2 ist eine Primzahl D: 7 7 E: a + 1 b, a, b R F: 3 ist Teiler von 9 Bestimmen Sie den Wahrheitswert
Mehr