HM II Tutorium 3. Lucas Kunz. 10. Mai 2016

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1 HM II Tutorium 3 Lucas Kunz 10. Mai 2016 Inhaltsverzeichnis 1 Theorie für das Tutorium Definition der Determinante Errechnung von Determinanten Regel von Sarrus Laplace-Entwicklung Geschicktes Ausklammern Dreiecksmatrizen Cramer sche Regel Kreuz- und Spatprodukt Konjugierte, Transponierte und Adjungierte Matritzen Orthogonalraum Theorie über das Tutorium hinaus Determinanten bei Multiplikation und Invertierung Levi-Civita-Symbol Aufgaben Aufgabe Aufgabenteil a) (iii) Aufgabenteil b) Aufgabe Aufgabenteil a) Aufgabenteil b)

2 1 Theorie für das Tutorium 1.1 Definition der Determinante Sei K ein Körper, dann ist die Determinante ist eine eindeutig bestimmte Abbildung aus dem K n n nach K. Sei hierzu A = (a 1,..., a n ) eine Matrix in K n n und a j K n, j = 1,..., n sind ihre Spaltenvektoren und die Determinante sei ausgedrückt als Funktion f(a 1,..., a n ), dann hat sie per Definition die folgenden Eigenschaften: f(e 1,..., e n ) = f(i n ) = 1 (Normierung). Ist b j K n und sind α, β K, so gilt f(a 1,..., a j 1, αa j + βb j, a j+1,..., a n ) = αf(a 1,..., a n ) + βf(a 1,..., a j 1, b j, a j+1,..., a n ) (Linearität in jeder Spalte). Bei Vertauschung zweier Spalten ändert sich das Vorzeichen der Determinante. Aus diesen drei geforderten Eigenschaften lassen sich einige weitere ableiten, die sich unter Verwendung der ersteren drei recht einfach zeigen lassen: Ist a j = a k mit j k, so ist f(a 1,..., a n ) = 0. Ist ein a j = 0, so ist auch f(a 1,..., a n ) = 0. Ist j k und α K, so ist f(a 1,..., a j 1, a j + αa k, a j+1,..., a n ) = f(a 1,..., a n ). A ist invertierbar det A 0. det(a T ) = det(a). det(a 1,..., a n ) 0 alle a j sind linear unabhängig. Für den Spezialfall n = 3 gibt es weiterhin die Eigenschaft, dass det(a, b, c) = a (b c), dass also die Determinante dem Spatprodukt entspricht und dementsprechend ihr Betrag dem Volumen des von a, b, c aufgespannten Spats gleicht. 1.2 Errechnung von Determinanten Regel von Sarrus Die Regel von Sarrus stellt eine sehr einfache Möglichkeit dar, Determinanten von kleineren Matritzen zu errechnen (n {2, 3}). Grob gesagt errechnet man mit ihrer Hilfe die Determinante, indem man die Produkte von diagonalen Elementen bildet und diese Summiert. Für n = 2 gilt: ( ) a b det B = det = ad bc. (1.1) c d Im dreidimensionalen wird die Rechnung etwas Umständlicher, es ist a 1 b 1 c 1 det A = det a 2 b 2 c 2 = a 1 b 2 c 3 + b 1 c 2 a 3 + c 1 a 2 b 3 a 1 c 2 b 3 b 1 a 2 c 3 c 1 b 2 a 3. (1.2) a 3 b 3 c 3 2

3 1.2.2 Laplace-Entwicklung Für Matritzen beliebiger Größe verwendet man hingegen den Entwicklungssatz von Laplace. Dieser erlaubt es, eine Matrix nach einer ihrer Zeilen oder Spalten zu entwickeln und dadurch nur noch die Determinanten kleinerer Matritzen bestimmen zu müssen. Zunächst sei A ij die Matrix A ohne die i-te Zeile und j-te Spalte, also falls A wie in Gleichung 1.2 ist, dann ist z. B. ( ) a1 b A 23 = 1. a 3 b 3 Ist nun A K n n, a ij das Element der i-ten Zeile und j-ten Spalte sowie l {1,..., n} beliebig aber fest gewählt, so gilt n det(a) = ( 1) k+l a lk det(a lk ) (1.3) = k=1 }{{} Entwicklung nach der l-ten Zeile n ( 1) j+l a jl det(a jl ) k=1 }{{} Entwicklung nach der l-ten Spalte. (1.4) Für die Fälle n = 2 oder n = 3 ergeben sich die jeweiligen Regeln von Sarrus aus dieser Vorgehensweise Geschicktes Ausklammern Wie bereits gesagt ist die Determinante in jeder Spalte linear, ändert ihr Vorzeichen beim Zeilen- Spaltentausch und bleibt gleich, wenn man Zeilen oder Spalten addiert. Dies kann man nutzen, um eine günstigere Ausgangsposition für die Laplace-Entwicklung zu erhalten, da diese am einfachsten und schnellsten von Statten geht, wenn man nach einer Zeile oder Spalte mit vielen Nullen entwickelt Dreiecksmatrizen Bei Dreiecksmatritzen, bei denen entweder ober- oder unterhalb der Hauptdiagonalen nur Nullen stehen, berechnet sich die Determinante als Produkt der Diagonalelemente. Entsprechendes gilt auch für Diagonalmatritzen. Dies folgt aus der Enteicklung nach der wahlweise ersten Zeile (untere) oder Spalte (obere Dreiecksmatrix), in der jeweils nur ein Element steht, und n-facher Wiederholung dieses Schrittes. 1.3 Cramer sche Regel Eine Möglichkeit, ein Gleichungssystem der Art A x = b zu lösen, besteht in der Cramer schen Regel. Wenn man die Matrix A ausdrückt als n Spaltenvektoren, als A = (a 1,..., a n ), a i K n, i {1,..., n}, dann kann man mittels dieser Regel jeweils ein Element des gesuchten Vektors x = (x 1,..., x n ) T, x i K, i {1,..., n} ermitteln über x i = 1 det A det A i, (1.5) wobei A i die Matrix ist, die entsteht, wenn man Vektor a i durch b ersetzt. Dadurch, dass man durch det A dividiert, muss vorausgesetzt sein, dass A regulär ist, diese Determinante 3

4 also ungleich 0 ist. Dies bedeutet entsprechend den bereits erwähnten Determinanten- Eigenschaften, dass die Spalten bzw. Zeilen von A linear unabhängig sind. Entsprechend hat A Höchstrang und das Gleichungssystem A x = b ist eindeutig lösbar, wobei die Elemente dieser eindeutigen Lösung mit Gleichung 1.5 berechenbar sind. 1.4 Kreuz- und Spatprodukt Im R 3 existiert eine spezielle Verknüpfung zweier Vektoren folgender Art: Seien a, b R 3, dann ist a 2 b 3 a 3 b 2 a b := a 3 b 1 a 1 b 3. (1.6) a 1 b 2 a 2 b 1 Man kann dies auch (formal nicht ganz korrekt) schreiben als Determinante: e 1 e 2 e 3 a b = a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3. (1.7) Hierbei sind e i die Achseneinheitsvektoren im euklidischen Raum. Das Kreuzprodukt hat eine Reihe von speziellen Eigenschaften. Es gilt a, b, c R 3 und α, β R: a b a und a b b b a = a b (αa + βb) c = α(a c) + β(b c) und a (αb + βc) = α(a b) + β(a c) a b = a (b + αa) = (a + αb) b a b = 0 a und b sind l.a. det(a, b, a b) = a b 2 0. Eine weitere Besonderheit im R 3 ist das Spatprodukt: (a b c) = (b c a) = (c a b) = det(a, b, c). (1.8) Dieses Spatprodukt entspricht dem Volumen des von den Vektoren a, b und c aufgespannten Parallelepipets (Spats), der Betrag des zuvor definierten Kreuzprodukts gleicht dem Flächeninhalt des von a und b aufgespannten Parallelogramms. 1.5 Konjugierte, Transponierte und Adjungierte Matritzen Sei A K n m eine Matrix, dann gibt es eine transponierte Matrix A T K m n, für die gilt: (A T ) ij = A ji. (1.9) Die Transponierte ist also quasi die Spiegelung der Matrix an der Hauptdiagonalen. Eine solche Transponierung ist auch mit Vektoren möglich, da diese im Grunde auch nur Matritzen mit m = 1 (Spaltenvektor) oder n = 1 (Zeilenvektor) sind. Eine weitere Umformung der Matrix A besteht in der komplexen Konjugation. Die konjugierte Matrix bezeichnet man als A. 4

5 Die Matrix, die durch Hintereinanderausführung von komplexer Konjugation und Transponation entsteht, nennt man schließlich Adjungierte von A: A = (A T ) = (A) T. (1.10) Ist K = R, so ist A = A T. Sei im Folgenden V ein Skalarproduktraum, C K n m und B K m p. Für die Rechnung mit den so definierten Matritzen gelten einige Regeln: 1. (A B) = B A 2. (αa) = αa α K 3. (A + C) = A + C 4. I = I T = I 5. (A ) 1 = (A 1 ) falls A invertierbar 6. (Ax y) = (x A y) x, y V. Mit Hilfe von Transponierung und Adjungierung lässt sich auch das euklidische Skalarprodukt zweier Vektoren anders schreiben: (x y) = x T y = y T x = x y, x, y R n (x y) = x T y = x y = y x, x, y C n. 1.6 Orthogonalraum Der Orthogonalraum zu einer Menge an Vektoren ist die Menge der Vektoren aus dem selben Vektorraum, die allesamt orthogonal zu allen Vektoren der ersten Menge stehen. Ist z. B. der gewählte Vektorraum der R 3 und die betrachtete Menge eine Ebene darin, so ist deren Orthogonalraum die Menge ihrer Normalenvektoren. Definiert ist dieser Raum für eine Teilmenge M des Vektorraums V also wie folgt: Weiterhin gilt die Gleichheit M := {v V v w w M}. (1.11) Bild(A) = Kern(A ). (1.12) Dies ist die Gleichheit aus Aufgabe 1 a), die im Hinweis von Aufgabe 18 gemeint ist. Der nachfolgende Beweis findet sich daher auch in der Lösung der Übungsaufgaben auf dem ersten Übungsblatt. Beweis. Sei V = K n und A die Abbildungsmatrix einer linearen Abbildung f : V V, dann gilt für v V : v Bild(A) v Kern(A ). v Bild(A) (v w) = 0 w Bild(A) (v Az) = 0 z K (A v z) = 0 z K A v = 0 v Kern(A ). Da weiterhin gilt, dass (M ) = M, folgt aus Gleichung 1.12 durch beidseitiges Bilden des Orthogonalraumes auch Bild(A) = Kern(A ). (1.13) 5

6 2 Theorie über das Tutorium hinaus 2.1 Determinanten bei Multiplikation und Invertierung Wie bereits erwähnt ist eine Matrix nur dann invertierbar, wenn ihre Determinante ungleich 0 ist. Sollte dies erfüllt sein, so ergibt sich die Determinante der Inversen als deta 1 = 1 deta. (2.1) Weiterhin verhält sich die Determinante multiplikativ, also gilt für A, B K n n, dass det(ab) = det(a) det(b). (2.2) Sucht man zu einer Matrix A K n n die Inverse, so lässt sich diese auch mit Hilfe der Determinanten berechnen als A 1 = 1 B. (2.3) deta Jedes Element der Matrix B berechnet sich als b ik = det(b ik ), wobei B ik die Matrix A ist, in der die i-te Spalte durch den k-ten Einheitsvektor ersetzt wurde. Da diese Definition sehr theoretisch und dank der Indizes nicht sonderlich verständlich ist, soll das folgende Beispiel die Vorgehensweise verdeutlichen. Gegeben sei die Matrix ( ) a b A = K 2 2, c d dann gilt für die vier Matritzen B jk : ( ) ( ) 1 b 0 b B 11 = B 0 d 12 = 1 d B 21 = ( ) a 1 c 0 B 22 = ( ) a 0. c 1 Die Determinanten derer sind schließlich b 11 = d, b 12 = b, b 21 = c und b 22 = a und entsprechend ist die Inverse zu A gegeben durch ( ) A 1 1 d b =, ad cb c a was der Formel zur Invertierung von 2 2-Matrizen entspricht. 2.2 Levi-Civita-Symbol Kreuz- und Spatprodukt lassen sich auch mit dem aus Theo A bekannten Levi-Civita- Symbol umschreiben. In dieser Variante lautet die Darstellung a b = det(a, b, c) = ɛ ijk e i a j b k i=1 3 j=1 k=1 3 i=1 j=1 k=1 3 ɛ ijk a i b j c k. In Einstein scher Summenkonvention (über doppelt auftretende Indizes wird summiert) kann man auch auf die Summenzeichen verzichten, die diese Formel etwas unübersichtlich 6

7 machen. Auch Determinanten lassen sich mit Hilfe von ɛ darstellen. Sei hierzu A R 3 3 und a ij ihr Element in der i-ten Zeile und j-ten Spalte, dann gilt det A = 3 j,k,l=1 ɛ jkl a 1j a 2k a 3l. (2.4) Aus dieser Darstellung lässt sich weiterhin die Regel von Sarrus ablesen, die in Kapitel erklärt wird. Aus der zweidimensionalen Formel folgt analog die Regel für Determinanten von 2 2-Matrizen, welche im selben Kapitel zu finden ist. 3 Aufgaben Die Musterlösungen der Tutoriumsaufgaben 14, 16 und 18 finden sich nach Ablauf der zugehörigen Semesterwoche auf der Internetseite der Vorlesung unter kit.edu/iana3/lehre/hm2phys2016s/. Einige (alternative) Lösungsmöglichkeiten, die in jener nicht bzw. nicht sonderlich ausführlich vorhanden sind, sind im Folgenden aufgeführt. Für die auf dem Übungsblatt verwendeten aber in der obigen theoretischen Zusammenfassung nicht auftauchenden Begriffe Bild und Kern sowie zur (eindeutigen) Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen sei auf das Dokument zur Erinnerung an HM I verwiesen. 3.1 Aufgabe Aufgabenteil a) (iii) Ein Einheitsvektor lässt sich in der Matrix A auf verschiedenste Weisen erzeugen, sowohl durch die Addition von Zeilen als auch Spalten. Eine von der Musterlösung abweichende Möglichkeit besteht so darin, die zweite auf die dritte Zeile zu addieren. Daraus folgt ( ) det A = det = 1 det = 1 (2 ( 2)) = 4, (3.1) wobei nach der dritten Zeile entwickelt wurde Aufgabenteil b) Während zur Bestimmung der Determinanten der Matrix A die Musterlösung eine obere Dreiecksmatrix erzeugt (zur Erinnerung: die Determinanten solcher Matrizen sind nach Kapitel dieses Dokuments gegeben als Produkt der Diagonalelemente), kann man auch eine normale Laplace-Entwicklung z.b. nach der ersten Zeile durchführen: det A = det det (3.2) Man merkt hierbei, dass zwei der Zeilen der zweiten Matrix identisch sind. Daraus folgt direkt, dass deren Determinante Null ist, weshalb die Entwicklung nur an der ersten 7

8 Matrix fortgesetzt werden muss. Verwendet man hierzu deren erste Spalte folgt det A = det det (3.3) Die erste dieser beiden Matrizen kann man nun nach der ersten Spalte oder zweiten Zeile entwickeln oder auch die Regel von Sarrus anwenden. Bei der rechten ist es sinnvoller, zunächst die zweite Zeile auf die dritte zu addieren und dann nach letzterer zu entwickeln: det = det = 3 det ( ) 1 1 = 6. (3.4) 1 1 Daraus folgt schließlich der gesuchte Wert der Determinante der 5 5-Matrix A: 3.2 Aufgabe 18 det A = ( 6) = 6. (3.5) Die offizielle Musterlösung dieser Aufgabe wird zwar hochgeladen, doch bedauerlicherweise finden sich in dieser keine Beschreibungen des Grundes, aus dem die Entwicklung der Matrix auf die Weise durchgeführt wird, wie es im Tutorium besprochen wurde. Eine solche ist in der folgenden Ausarbeitung hinzugefügt worden Aufgabenteil a) Gegeben ist eine Matrix B n (z) C n n mit z C, deren Determinante es zu bestimmen gilt. Diese Matrix hat auf ihrer Hauptdiagonalen stets den Wert 1+z 2 und auf den beiden Nebendiagonalen z stehen. Zur Berechnung ihrer Determinanten definieren wir zunächst die Matritzen B n j (z), wobei j {1,..., n 1} ist. Dies sind die Matritzen mit dem selben Aufbau, jedoch nur mit Dimension n j. Die gegebene Matrix entwickeln wir zunächst nach der ersten Spalte, weil in dieser nur 2 von 0 verschiedene Einträge stehen. Daraus ergibt sich det B n (z) = (1 + z 2 ) det B n 11 z det B n 21, wobei B n ik je die Matrix B n ohne Zeile i und Spalte k ist. Für die erste der beiden nun zu betrachtenden Matritzen gilt B n 11 = B n 1. Bei der zweiten ist die weitere Entwicklung sehr einfach, weil die erste Zeile nur ein einziges Element enthält. Entwickelt man nach dieser, so ergibt sich det B n 21 = z det B n 2. Folglich gilt für die gesuchte Determinante, dass sie sich rekursiv Berechnen lässt über die Determinanten der beiden nächstkleineren Matritzen, also det B n (z) = (1 + z 2 ) det B n 1 (z) z 2 det B n 2 (z). Um nun eine explizite Formel für diesen Wert zu erhalten bestimmt man zunächst die Determinanten der Matritzen B 1 (z) und B 2 (z): det B 1 (z) = det 1 + z 2 = 1 + z 2 ( ) 1 + z 2 z det B 2 (z) = det z 1 + z 2 = (1 + z 2 ) 2 z 2 = 1 + 2z 2 + z 4 z 2 = 1 + z 2 + z 4. 8

9 Daraus kann man nun rekursiv für alle B n (z), n N, n 3 die Determinante bestimmen. Es ist z. B. det B 3 (z) = (1 + z 2 ) det B 2 (z) z 2 det B 1 (z) = 1 + z 2 + z 4 + z 6. Man findet auf diese Weise (ein Beweis findet sich in der Musterlösung), dass det B n (z) = n z 2k. (3.6) k=0 Diese Summe lässt sich auch mit Hilfe der geometrischen Reihe darstellen. Für q 1 gilt n k=0 q k = qn+1 1 q 1. (3.7) Dementsprechend lässt sich die Determinante mit q = z 2 auch ohne Summendarstellung berechnen als { z 2(n+1) 1 z 1 z det B n (z) = 2 1 n + 1 z = 1. (3.8) Aufgabenteil b) Sei b R 3 \ {0} fest und die lineare Abbildung T : R 3 R 3 definiert als T a = a b für a R 3. Gesucht sind im Folgenden die Adjungierte dieser Abbildung sowie ihr Kern und Bild. Wir nutzen die Eigenschaft der Adjungierten aus, dass (T a c) = (a T c): (T a c) = (a b c) = det(a, b, c) = det(c, b, a) = (c b a) = (T c a) = (a T c) = (a T c) = (a T c). }{{} weil a,b,c R 3 Dementsprechend ist in diesem Falle T = T. Wir wissen, dass das Kreuzprodukt von parallelen Vektoren 0 ist (sein Betrag entspricht dem Flächeninhalt des von den beiden Vektoren aufgespannten Parallelogramms) Dementsprechend ist Kern(T ) = {a R 3 T a = 0} = {a R 3 a = λb, λ R} = lin(b). Wir wissen bereits, dass alle Bilder des Kreuzproduktes orthogonal auf den beiden im Produkt stehenden Vektoren sind. Dies lässt sich allerdings auch mathematisch zeigen. Hierzu nutzen wir Gleichung 1.13 und erhalten mit dieser Bild(T ) = Kern(T ) = Kern( T ) = Kern(T ) = lin(b) = {x R 3 (x b) = 0}. Im gegebenen falle des Kreuzproduktes kann man die entsprechenden Mengen natürlich auch anschaulich herleiten, indem man sich darüber im Klaren ist, dass der entstehende Vektor immer orthogonal zu den beiden Vorherigen ist. Bei höher (oder gar unendlich) dimensionalen Abbildungen ist dies allerdings nicht möglich, weshalb hier bereits exemplarisch der mathematisch exakte Weg gewählt wurde, der in jedem Fall funktioniert. 9