Wiederholung: Differential- und Integralrechnung1

Transkript

1 Wiederholung: Differential- und Integralrechnung. Richtig, der Differenzenquotient ist die Steigung der Sekante. Durch den Grenzübergang erhält man die Steigung der Tangente (= Differentialquotient. Falsch, die. Ableitung gibt die Steigung der Tangente an. Richtig, die Ableitung des Weges nach der Zeit ist die Geschwindigkeit, die Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit ist die Beschleunigung. Damit ist die zweite Ableitung des Weges nach der Zeit die Beschleunigung. Richtig, eine lineare Funktion hat an jeder Stelle dieselbe Steigung. Falsch, die Stammfunktion von f(x = x + hat die Form F(x = x + x + C. Falsch, das unbestimmte Integral der Funktion f(x = ist F(x = x + C. 7 Falsch, wenn im Integrationsbereich die Flächen oberhalb der x-achse gleich groß sind wie die Flächen unterhalb der x-achse, dann ist das unbestimmte Integral null. Richtig, in diesem Fall sind die Flächen ober- und unterhalb der x-achse gleich groß. 9 Falsch, nur Formeln sind falsch und lauten richtig: sin x dx = cos x + C, cos x dx = sin x + C. a y = x + x, y = x +, y = x b f (t = + t t 9 t t 7 t c f (x = + x x, f (x = x, f (x = x x x d y = cos x sin x, y = sin x cos x, y = sin x cos x. a f (x = sin x + x cos x c f (x = (x + (x + x x e b y = x d y (t = cos (t x + x +. a y = e x cos (x e x sin (x c f (x = x ex sin x + x e x cos x e x sin x x b f (t = t e t ln t + t e t ln t + t e t d y = (x +. a y (x = a e x + b e x b y (x = a e x + b x e x + b e x c y (x = a e x sin ( x + a e x cos ( x + b e x cos ( x b e x sin ( x. a dp du = U R, dp dr = U R.7 a x x b dz da = ( + bc, d z =, dz = ac ( + da bc db a t + x + C b + b t + C c cos x + ex + ln x + C. a b c d.9 a t sin t + cos t + C e _ ex + C cos ( t + b + C f _ x ln x _ 9 x + C c ex + C g _ ln x + + C d x e x x e x e x + C h ln x + C

2 ... ln x + C x ln x + + C x x + ln x + + C _ arctan ( x_ + C. a k =, =,7... ; x =, x = b k =, = ; x = k +, k Z. Definitionsmenge: D f = R Wendepunkte: W(,, Symmetrie: nicht symmetrisch Wendetangente: t: y =, x +, 9 Nullstellen: N (, N ( Flächeninhalt: A =, Extrempunkte: H(, T(,, 7. f(x = x x +, H(, T(, W( _ g y f g: y = _ x +, g verläuft noch durch T H A =, x - W - T -. f(x = _ x + x + _ =, = 9,9.... Definitionsmenge: D f = R\{} keine Wendepunkte nicht symmetrisch senkrechte Asymptoten: a : x = keine Nullstellen weitere Asymptoten: a : y = x Extrempunkte: H(, T(,9... Wegen der Polstelle bei x = ist die Berechnung des Flächeninhalts in [; ] nicht möglich.. f(x =,... x,7 x +,7 x +,7... W( 7, =,....7 m s Einsetzen in die Formel oder Berechnung mittels Integral ergibt 7,... m, t_ s(t = m ( e s. d =,... cm, h = 7,... cm,7...

3 Geraden und Ebenen. Die beiden Koordinaten vertauschen und bei einer der beiden Koordinaten das Vorzeichen ändern. a a = (, a L = (, a R = ( c c = (, c L = (, c R = ( b b ( 7 = ( = 9 7, b L = (, b R = ( d d 9, d L = (, d R = (. a a b b a b c a b. a c = (,, b c = (,, c c = (,,. a Quadrat b kein rechtwinkliges Dreieck. AB CD und AD = BC = u =,..., = =, = =, A =.7 a n = (,, 7 b n = (, 7,. a g: OX (, + t (, 7 c g: OX (,, + t (, 9, b g: OX (, + t (, d g: OX (,, + t (,, 7.9 a ε: OX (,, + s (,, 7 + t (,, b ε: OX (,, +s ( 7,, + t ( 9,, c ε: OX (,, + s (,, 7 + t (9,, d ε: OX (,, 7 + s (,, + t (7,,. a A ε b A ε. a P ε b P ε. a ε: 7x + y z + = b ε: 7x y z =. a S( 7 b g, h identisch.7 a g, h windschief b S( c g, h windschief. a g ε = g b g ε = g c g ε = { } d S( 7,.9 a P ( 7 9 b P (. Durch den zu spiegelnden Punkt P wird eine Gerade g gelegt, deren Trägerpunkt der Punkt P ist und deren g t. Richtungsvektor n ein Normalvektor der Ebene ε ist. n P S t. n P Einsetzen der Koordinaten der Parameterdarstellung von g in die Normalvektorform von ε ergibt den Parameter t für den Schnittpunkt S von g mit ε. Der gespiegelte Punkt P wird mit OP = OP + t n oder mit OP = OS + PS berechnet. a P ( b P ( c P ( d P ( 7

4 ..7 + t ( 7. a g: OX ( b g: OX ( 7 ( + t c g: OX ( 7 ( + t. S(. a,7... b 9, a b c,7... d, a 9, b. S(7 g: x + y = h : OX ( ( + s.9 B(, D(7, M( u =,..., A =. A(, B(, p : q = :. B(, C(, D(. ε A : y + z =, ε B : x y z =, ε C : x + 7y z = 9 Schnittgerade: g: OX (,, + t (,, steht normal auf das Dreieck und geht durch den Höhenschnittpunkt H(.. a g: OX (,, _ + t (,,,,... b g: OX (,, + t (,,,,.... y B = C(, AB = AD = S (, 7,, S (,,. A D S M h B C Durch Berechnung erhält man die Eckpunkte B( 7 und C( 9. Da diese Punkte allerdings auf der durch die Punkte A und D verlaufenden Geraden liegen, legen sie kein Viereck fest. Daher gibt es keine Pyramide, die die in der Angabe genannten Bedingungen erfüllt, weshalb sich die Berechnung des Volumens und des zwischen der Höhe und der Seitenkante eingeschlossenen Winkels erübrigt.. Die Trägergerade steht auf die Geraden g und h normal, ihr Richtungsvektor ist daher das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren der Geraden g und h. g und liegen in der Hilfsebene ε: OX (,, + s (,, + u (,,. Der Fußpunkt F ( ist der Schnittpunkt von h mit ε. Der Fußpunkt F ( ist der Schnittpunkt von : OX F + r mit der Geraden g. d =.7 Spitze F (, Mittelpunkt der Basis F ( A(, B(, C(, D(

5 . y v Frachter v gesamt v Strömung x,... kn v = (,99... kn, Hinweis: kn =, km v =,7... kn (Wert nicht realistisch.9 7,... km,,... Abweichung von der idealen Flugrichtung h,... Abweichung von der idealen Flugrichtung gegen den Wind. F a kn + = a kn (, a R\{} beliebig ε: x + y + z = a kn + kn. ε: x + y + 7z = 9 Hinweis: M F r mit r F M,79... =,... (,9... knm bzw. M (,79...,...,9... knm, M =,7... knm, r in Meter angenommen m: OX (,..., t (, h 7

6 Matrizen und Determinanten. Punkte + Punkt + Punkte = Punkte Sp. = S + U + N In der Spalte Tore aus dem Verhältnis (: eine Differenz ( machen.. Es wird die Darstellung von individuell recherchierten Daten verlangt.. a ( -Matrix; m =, m =, m = 7, m = b ( -Matrix, quadratische Matrix; k =, k =, k =, k = c ( -Matrix, einzeilige Matrix; f =, f =, f =, f = d ( -Matrix; a =, a =, a =, a = (. a M T = 7 b N T = (. zb A = ( A T = zb E = (. M = ( 9 ET = ( (, A = 7 7 c KT = ( c c (, ein Spaltenvektor, eine Einheitsmatrix 9 7 ( S = 9 7 c c c c c c c d BT = ( a b 9 ( V = b a c e c e 79 (, 7, ; (, 7, ( = = (9, + 7, 7, + 7, 9, + 7, = = ( 7,, 7,. a D = ( b D = (.9 F G = ( 9 H G = (. a P Q = ( 9. a (a b ( d f 9 ( c D = ( d D = 9 ( e D =,, 7 ( f D = 7,,, ( nicht möglich G H = G F = ( 7 7 ( b P Q = 7 e g b ( ( a c 9, nicht möglich b d 7 7

7 ..7. a A = ( b B = (,,,. a M = ( c C = (,,,, ( d D =,, b M = (. theoretisch,7... min (Das Riesenrad wird zum Ein- und Aussteigen immer wieder kurz angehalten, weshalb eine Umdrehung zwischen und Minuten dauert.,9.... a P (,77...,99... b P (9,9...,9... c P (,9...,99... d P (. a A (,77...,..., B (,77...,99..., C (,...,... b A (,...,..., B (,... 7,9..., C (,..., a L = {(, } b L = {(, }. a L = {(,, } b L = {(,, } _ _ 7 _ _.9 M M M Z 9 9 Z 7 Z Z 9 7 Mengenanteile Z 9 7 Z Z 7 Z. L = {(, 7}. a b 9 c. a b c 7. a L = {(, } b L = {(,, }. a eindeutig lösbar b nicht eindeutig lösbar. S (,9...,....,.7 E E E T T T T 7 Anzahl der Einzelteile T T 9 T T 7, Materialkosten 9

8 ... 7,.9 Sivel Pengler Petrol F F 9 F 9 Hinweis: Die gesuchte Matrix A ergibt sich durch Umformen der Gleichung Lieferungen A = Gelieferte Stück. zu zeigen: A A = E a LS: ( ( ( = _ ( ( = LS = RS b LS: a a a a ( a a a a ( a a a a = = a a a a ( a a a a a a a a a a + a a a a + a a ( = LS = RS. Ein Gozintograph ist eine grafische Darstellung, die angibt, aus welchen und wie vielen Einzelteilen bzw. Baugruppen ein Produkt besteht. zu Aufgabe.7 T T T T B B B E E E zu Aufgabe., H,,,, H,,,, H, B B B B M M M