Vorlesung Mathematik für Ingenieure II (Sommersemester 2008)

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1 Vorlesung Mathematik für Ingenieure II (Sommersemester 8) Kapitel : Differenzialrechnung R n R m Volker Kaibel Otto-von-Guericke Universität Magdeburg (Version vom 8. Mai 8) Differenzialrechnung R R

2 Differenzierbarkeit R n R m 3 Definition. Eine Abbildung f : R n G R m ist in x G differenzierbar, wenn es eine Matrix A R m n gibt, so dass für die affine Abbildung l : R n R m, l(x) = f (x ) + A (x x ) gilt: l(x) f (x) lim x x x x = O m Tangentialebene

3 Das Differenzial Bemerkung. Wenn f : R n G R m in x G differenzierbar ist, dann gibt es nur eine Matrix A wie in der Definition.. Sie heißt dann Ableitung(smatrix) (totales) Differenzial Funktionalmatrix von f in x. Schreibweisen: 5 f (x ) := A d x (f ) := A d x f := A Stetigkeit differenzierbarer Abbildungen Satz.3 Für A = (a ij ) R m n ist die lineare Abbildung x Ax stetig auf ganz R n. 6 Satz.4 Ist f : R n G R m differenzierbar in x, so ist f auch stetig in x. Bemerkung.5 Stetigkeit impliziert aber nicht unbedingt Differenzierbarkeit.

4 f : R R, f (x) = x 7 Komponentenfunktionen Bemerkung.6 Eine Abbildung f = f. : R n G R m 8 f m ist genau dann in x G differenzierbar, wenn alle Komponentenfunktionen f i : G R in x differenzierbar sind. Die Zeilen von f (x) R m n sind dann die Ableitungsmatrizen f (x),..., f m(x) R n von f,..., f m.

5 Richtungsableitungen 9 Definition.7 Ist f : R n G R m differenzierbar und v R n mit v =, so heißt f v (x) := f (x) v R m die Richtungsableitung von f im Punkt x in Richtung v. Partielle Ableitungen Definition.8 Die j-te partielle Ableitung von f : R n G R m im Punkt x G ist die Richtungsableitung f e j (x) in Richtung des j-ten Einheitsvektors, also f f (x (x) := lim,...,x j,x j +t,x j+,...,x n ) f (x,...,x n ) t t (falls der Grenzwert existiert).

6 Partielle Ableitungen und Komponentenfunktionen... Existiert für f = f. : R n G R m die j-te f m partielle Ableitung im Punkt x G, so ist f (x) f (x) = f m. (x).... Partielle Ableitungen und Komponentenfunktionen Dabei ist f i (x) die Ableitung der i-ten Komponentenfunktion bezüglich der j-ten Variablen an der Stelle x j (wobei man die anderen Variablen auf x,..., x j, x j+,..., x n fixiert), also f i (x) = g (x j ) mit g(t) = f i (x,..., x j, t, x j+,..., x n ).

7 3 Funktionalmatrix und partielle Ableitungen Satz.9 Ist f : R n G R m differenzierbar in x G, so ist f f f x (x)... x n (x) (x) = d x f = f m f x (x)... m x n (x) Hinreichendes Differenzierbarkeitskriterium 4 Satz. Existieren für f : R n G R m alle partiellen Ableitungen in jedem Punkt x G und sind die partiellen Ableitungen f i : G R als durch x f i (x) definierte Funktionen stetig, so ist f in allen Punkten von G (total) differenzierbar.

8 Nur partielle Differenzierbarkeit f (.5, x ) =.5x.5+x

9 Der Gradient von f : R n G R 7 Definition. Ist f : R n G R (m = ) differenzierbar, so heißt der Vektor ( f grad x f := x f := (x),..., f ) (x) R n x x n der Gradient von f in x. Als Zeilenvektor aufgefasst ist der Gradient die Ableitungsmatrix von f in x G R n. Das Gradientenfeld 8 Für eine differenzierbare Funktion f : R n G R ist grad f : G R n x grad x f ein Vektorfeld, das Gradientenfeld von f.

10 9 f (x, x ) = x x + x f (x, x ) = x x x +x (x O ), f (O ) =

11 f (x, y) = x + y Eigenschaften des Gradienten Bemerkung. Sei f : R n G R differenzierbar. Der Gradient grad x f von f in x G weist in Richtung des stärksten Anstiegs von f in x. Die Steigung in Richtung grad x f (also die Richtungsableitung für v = grad x f grad x f ) ist grad x f (falls grad x f O n ). Der Gradient grad x f steht orthogonal auf der Niveaumenge von f in x. ( grad x f, ) R n+ ist Normalenvektor für die Tangential(hyper)ebene an den Graphen von f über dem Punkt x.

12 3 Tangentialebene f (x, x) = xx + x, x, x

13 f (x, x ) = x x + x,.5 x, x Graph von f (x, y) = sin(x) cos(y)

14 Gradientenfeld und Niveaulinien Niveaus, und von h = z f (x, y) 8

15 Gradientenfeld von h = z f (x, y) 9 Pfaffsche Formen Definition.3 Für Funktionen g,..., g n : R n G R heißt 3 g d x + + g n d x n = (g,..., g n ) : G R n eine Pfaffsche Form (oder unvollständiges Differenzial). Die Pfaffsche Form ist ein vollständiges Differenzial, wenn es eine differenzierbare Funktion f : G R gibt mit g i = f x i für alle i =,..., n

16 Linearität der Ableitung Satz.4 Sind f, g : R n G R m differenzierbar, so ist auch f + g : G R m differenzierbar mit 3 (f + g) (x) = f (x) + g (x). Für jedes λ R ist auch λf : G R m differenzierbar mit (λf ) (x) = λ f (x). Produktregel: Skalare Multiplikation Satz.5 Sind f : R n G R und g : G R m differenzierbar, so ist auch fg : G R m differenzierbar mit (für alle j =,... n): 3 (fg) = f g + f g, d. h. für alle x G: (fg) (x j ) (x) = f (x) g(x) + f (x) g (x) R m

17 Spezialfall: Produkt skalarwertiger Funktionen Korollar.6 Sind f : R n G R und g : G R differenzierbar, so ist auch fg : G R differenzierbar mit: 33 grad fg = g grad f + f grad g, d.h. grad x fg = g(x) grad x f + f (x) grad x g R n für alle x G. Produktregel: Skalarprodukt 34 Satz.7 Sind f, g : R n G R m differenzierbar, so ist auch f, g : G R differenzierbar mit f, g = f, g + f, g d. h. f, g (x) = f (x), g(x) + f (x), g (x) für alle x G.

18 Produktregel: Kreuzprodukt 35 Satz.8 Sind f, g : R n G R 3 differenzierbar, so ist auch f g : G R 3 differenzierbar mit (f g) = f g + f g, d. h. (f g) (x) = f (x) g(x) + f (x) g (x) für alle x G. Kettenregel Satz.9 Sind g : R n R m, x g(x) und f : R m R p, y f (y) differenzierbar, so ist auch f g : R n R p differenzierbar mit 36 (f g) (x) = f (g(x)) }{{} R p m g (x) }{{} R m n R p n, d. h. mit f = (f,..., f m ) und g = (g,..., g p ): (f g) k (x) = m i= f k y i (g(x)) g i (x)

19 Ebene Polarkoordinaten 37 Zusammenfassung Polarkoordinaten 38 x = ϱ cos φ y = ϱ sin φ ϱ = x + y ϱ: Abstand zum Ursprung Φ: Winkel mit positiver x-achse

20 Ableitungen Polarkoordinaten 39 x x ϱ = cos φ φ = ϱ sin φ y ϱ = sin φ y φ = ϱ cos φ ϱ x = x ϱ φ x = sin φ ϱ ϱ y = y ϱ φ y = cos φ ϱ Zylinderkoordinaten 4

21 Zusammenfassung Zylinderkoordinaten 4 x = ϱ cos φ y = ϱ sin φ z = z ϱ = x + y (ϱ, φ): Polarkoordinaten von (x, y) z: Höhe über x-y-ebene Ableitungen Zylinderkoordinaten 4 x ϱ = cos φ y ϱ = sin φ z ϱ = x φ = ϱ sin φ x y φ = ϱ cos φ z φ = z = y z = z z = ϱ x = x ϱ φ x = sin φ ϱ z x = ϱ y = y ϱ φ y = cos φ ϱ z y = ϱ z = φ z = z z =

22 Kugelkoordinaten 43 Zusammenfassung Kugelkoordinaten 44 x = r sin θ cos φ y = r sin θ sin φ z = r cos θ r = x + y + z r: Abstand zum Ursprung θ: Winkel mit positiver z-achse φ: Winkel der Projektion in x-y-ebene mit positiver x-achse

23 Ableitungen Kugelkoordinaten 45 x r = sin θ cos φ x θ = r cos θ cos φ x φ = r sin θ sin φ y r = sin θ sin φ y θ = r cos θ sin φ y φ = r sin θ cos φ dz r = cos θ z θ = r sin θ z φ = r x = x r r y = y r r z = z r θ x = cos θ cos φ r θ y = cos θ sin φ r θ z = sin θ r φ x = sin φ r sin θ φ y = cos φ r sin θ φ z = Schrankensatz Satz. Sei f : R n G R differenzierbar mit f (x) M j 46 für alle x G und j =,..., n. Für alle x, y G gilt dann (falls die Verbindungsstrecke zwischen x und y in G liegt): f (y) f (x) n M j y j x j j=

24 Zweite Ableitung Definition. Ist f : R n G R differenzierbar mit wiederum differenzierbaren partiellen Ableitungen f : G R, so heißt f zweimal (partiell) differenzierbar. Die partiellen Ableitungen ( ) f f := x i x i 47 heißen die zweiten partiellen Ableitungen von f. Schreibweise: f = f xj Ergänzung zu Definition. 48 Die Matrix f (x) = f x x (x).... f x n x (x)... f x x n (x). R n n f x n x n (x) heißt die Hesse-Matrix von f (im Punkt x G). Sind die Funktionen f x i : G R alle stetig, so ist f zweimal stetig differenzierbar.

25 Satz von Schwarz 49 Satz. Ist f : R n G R zweimal stetig differenzierbar, so ist f x i = f x i für alle i, j {,..., n}, die Hesse-Matrix f (x) R n n ist also symmetrisch, d. h. f (x) = (f (x)) T. Taylor-Formel Satz.3 Sei f : R n G R zweimal stetig differenzierbar. Falls die Verbindungsstrecke zwischen x und x + x ganz in G liegt, gilt: 5 f (x + x) = f (x) + + n i= n j= n j= f (x) x j f x i (x) x i x j + Fehler( x) mit lim x O n Fehler ( x) x =.

26 Hesse-Form 5 Definition.4 Ist f : R n G R zweimal differenzierbar, so heißt die quadratische Abbildung hess x f : R n R n u hess x f (u) = ut f (x)u (u R n als Spaltenvektor aufgefasst) die Hesse-Form von f im Punkt u. f (x, y) = e (x +y )

27 Taylor-Approximation von f in (, ) Funktion und Taylor-Approximation

28 Lokale Extrema 55 Definition.5 Eine Funktion f : R n G R nimmt in x G ein (striktes) lokales Minimum bzw. Maximum an, wenn es ε > gibt mit f (x) (>)f (x ) bzw. f (x) (<)f (x ) für alle x G mit x x < ε. Notwendiges Kriterium für lokale Extrema 56 Satz.6 Nimmt eine differenzierbare Funktion f : R n G R (auf einer offenen Menge G R n ) in x G ein lokales Extremum an, so gilt grad x f = O n.

29 Hinreichendes Kriterium Satz.7 Sei f : R n G R zweimal stetig differenzierbar und x G mit grad x f = O n. (i) Ist hess x f (u) > für alle u R n \ {O n } (positiv definit), so nimmt f in x ein striktes lokales Minimum an. (ii) Ist hess x f (u) < für alle u R n \ {O n } (negativ definit), so nimmt f in x ein striktes lokales Maximum an. (iii) Gibt es u, u R n mit hess x f (u) > und hess x f (u ) < (indefinit), so nimmt f in x kein lokales Extremum an. 57 Ergänzung zu Satz.7 58 (iv) Ist hess x f (u) für alle u R n (positiv semidefinit) oder hess x f (u) für alle u R n (negativ semidefinit), so gibt das Kriterium keine Auskunft.

30 hess x f : R R positiv definit hess x f : R R negativ definit

31 hess x f : R R indefinit hess x f : R R positiv semidefinit 6 4 3

32 hess x f : R R negativ semidefinit Hinreichendes Kriterium für n = Satz.8 Sei f : R G R zweimal stetig differenzierbar und x G mit f x (x ) = und f x (x ) =. 64 Sei d(x ) := f x (x ) f x (x ) ( ) f (x ) x x (die Determinante der Hesse-Matrix f (x ) R ).

33 Fortsetzung von Satz.8 65 Dann gelten: (i) Falls d(x ) > ist: f x f x > striktes lokales Minimum in x < striktes lokales Maximum in x (ii) Falls d(x ) < ist, hat f in x kein lokales Extremum. (iii) Falls d(x ) = ist, gibt das Kriterium keine Auskunft. f (x, y) = cos(x) sin(y)

34 Taylor-Approximation in (, π )