TU Dresden Fakultät Mathematik Institut für Numerische Mathematik 1

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1 U Dresden Fakultät Mathematik Institut für Numerische Mathematik Aufgabe 6. Die Funktion f heißt bezüglich g gerade [bzw. bezüglich u ungerade], falls f g + g f g g [bzw. f u + u f u u ] gilt. a Man erläutere diese Eigenschaften in einem kartesischen, -Sstem durch Spiegelung der Kurve von f an der Geraden g [bzw. am Punkt u, ]. b Man zeige: Eine periodische Funktion mit der Periode ist genau dann bezüglich gerade [bzw. ungerade], wenn sie bezüglich gerade [bzw. ungerade] ist. c Man ermittle von den Funktionen k und k k,,... jeweils die kleinste Periode und lese aus einer Skizze für diese Funktionen jeweils die Stellen g und u entsprechend a ab. d Welche der Funktionen k, k k,,... d an der Stelle welche ungerade? Lösung: gerade, a Zunächst eine Vorbetrachtung: Die Definitionen aus der Aufgabenstellung lassen sich äquivalent wie folgt umformulieren: Eine Funktion f : R R ist gerade bzgl. g, wenn für jede Zahl h > die Gleichheit f g h f g + h erfüllt ist. Anschaulich bedeutet das, dass ihr Funktionsgraph achsensmmetrisch zur senkrechten Geraden g ist. Eine Funktion f : R R ist ungerade bzgl. u, wenn für jede Zahl h > die Gleichheit f u h f u + h erfüllt ist. Anschaulich bedeutet das, dass ihr Funktionsgraph punktsmmetrisch zum Punkt u, ist. Die folgende Abbildung zeigt den Verlauf des Graphen einer Funktion, die bzgl. einer Stelle g gerade ist. f g h f g + h g h g g + h Die folgende Abbildung zeigt den Verlauf des Graphen einer Funktion, die bzgl. einer Stelle u ungerade ist. f u + h u h u u + h f u h f u + h Allgemeiner kann dieser Begriff auch für Funktionen definiert werden, die nicht zwangsläufig auf ganz R definiert d. Eine Funktion f : D R heißt gerade bzgl. g D, wenn für jede Zahl h > mit g + h D auch g h in D liegt und außerdem die Gleichheit f g h f g + h erfüllt ist. Allgemeiner kann dieser Begriff auch für Funktionen definiert werden, die nicht zwangsläufig auf ganz R definiert d. Eine Funktion f : D R heißt ungerade bzgl. u D,wenn für jede Zahl h > mit u + h D auch u h in D liegt und außerdem die Gleichheit f u h f u + h erfüllt ist.

2 U Dresden Fakultät Mathematik Institut für Numerische Mathematik b Es sei f : R R periodisch mit der Periode >, das heißt, es gelte f + f für alle R. Die Funktion f ist nach Definition genau dann gerade bzgl. der Stelle, wenn für alle R gilt: f + f, was sich durch Zusammenfassen der Ausdrücke in den Klammern und Vertauschen der Seiten auch schreiben lässt als f f. Wegen der -Periodizität von f gilt f f für alle R. Demzufolge ist die Gültigkeit von für alle R äquivalent zur Gleichheit f f für alle R, was wiederum bedeutet, dass f gerade bzgl. ist. Damit ist also gezeigt: der Graph einer periodischen Funktion mit der Periode ist genau dann achsensmmetrisch zur senkrechten Geraden, wenn er achsensmmetrisch zur -Achse ist. Ein Beispiel für eine solche Funktion ist die Kousfunktion. Diese ist bekanntlich periodisch mit der Periode und sie ist bekanntlich gerade bzgl., ihr Graph also achsensmmetrisch zur -Achse. In der at ist der Graph der Kousfunktion auch smmetrisch zur senkrechten Geraden π. Die Funktion f ist nach Definition genau dann ungerade bzgl. der Stelle, wenn für alle R gilt: f + f, was sich durch Zusammenfassen der Ausdrücke in den Klammern, Multiplikation der Gleichung mit und Vertauschen der Seiten auch schreiben lässt als f f. Wegen der -Periodizität von f gilt f f für alle R. Demzufolge ist die Gültigkeit von für alle R äquivalent zur Gleichheit f f für alle R, was wiederum bedeutet, dass f ungerade bzgl. ist. Damit ist also gezeigt: der Graph einer periodischen Funktion mit der Periode ist genau dann punktsmmetrisch zum Punkt,, wenn er punktsmmetrisch zum Ursprung ist. Ein Beispiel für eine solche Funktion ist die Sinusfunktion. Diese ist bekanntlich periodisch mit der Periode und sie ist bekanntlich ungerade bzgl., ihr Graph also punktsmmetrisch zum Ursprung. In der at ist der Graph der Sinusfunktion auch punktsmmetrisch zum Punkt π,. c Wir definieren für k,, 3,... die Funktionen f k durch f k : k. Die kleinste Periode p einer solchen Funktion ist gegeben durch p k allgemein ist die kleinste Periode der Funktion mit der Vorschrift a, a >, gegeben durch a. Die folgende Abbildung zeigt den Graphen der Funktion f k.

3 U Dresden Fakultät Mathematik Institut für Numerische Mathematik k k - - k 3 5 k Anhand der Skizze ist zu erkennen, dass die Funktion gerade ist bzgl. allgemein also bzgl. allen Stellen, ± k, ± k,..., n k, n Z. Des Weiteren ist die Funktion ungerade bzgl. allgemein also bzgl. allen Stellen ±, ±3,..., n +, n Z. Wir definieren für k,, 3,... die Funktionen g k durch g k : k. Die kleinste Periode p einer solchen Funktion ist gegeben durch p k allgemein ist die kleinste Periode der Funktion mit der Vorschrift a, a >, gegeben durch a. Die folgende Abbildung zeigt den Graphen der Funktion g k k k - - k 3 5 k Anhand der Skizze ist zu erkennen, dass die Funktion gerade ist bzgl. allgemein also bzgl. allen Stellen ±, ±3,..., n +, n Z. Des Weiteren ist die Funktion ungerade bzgl., ± k, ± k,..., allgemein also bzgl. allen Stellen n k, n Z.

4 U Dresden Fakultät Mathematik Institut für Numerische Mathematik d Wie in eilaufgabe c definieren wir für k,, 3,... die Funktionen f k durch f k : k. Anhand unserer Ergebnisse aus eilaufgabe c lässt sich leicht sehen, dass die Funktion f k für k, 3, 5,... ungerade bzgl. der Stelle ist, während sie für k,, 6,... gerade bzgl. der Stelle ist. Rechnerischer Nachweis: f k kπ k k { k k für k ungerade, k k für k gerade { fk f k + für k ungerade, f k f k + für k gerade. Dabei wurde ausgenutzt, dass die Kousfunktion -periodisch und gerade bzgl. ist. Wie in eilaufgabe c definieren wir für k,, 3,... die Funktionen g k durch g k : k. Anhand unserer Ergebnisse aus eilaufgabe c lässt sich leicht sehen, dass die Funktion g k für k, 3, 5,... gerade bzgl. der Stelle ist, während sie für k,, 6,... ungerade bzgl. der Stelle ist. Rechnerischer Nachweis: g k k kπ k { k k k k für k ungerade, für k gerade { gk g k + für k ungerade, g k g k + für k gerade. Dabei wurde ausgenutzt, dass die Sinusfunktion -periodisch und ungerade bzgl. ist.

5 U Dresden Fakultät Mathematik Institut für Numerische Mathematik 5 Aufgabe 6. Die folgenden periodischen Funktionen f, die die Periode besitzen, d in Fourier-Reihen f a + a k k + b k k k zu entwickeln. An denjenigen Stellen, wo die Angabe von f im Intervall der Länge fehlt, ist f so zu definieren, dass auch dort die Reihe die Funktion f darstellt. Durch Benutzen der Ergebnisse von 6. e f, g kann der Rechenaufwand verringert werden. b f < < ; speziell:, c f < < mit f f und f für < < ; speziell:. Lösung: b Die folgende Abbildung zeigt den Funktionsgraphen von f. Er geht aus dem Graphen der Funktion mit der Vorschrift hervor, indem die eile, die sich unterhalb der -Achse befinden, an der -Achse gespiegelt werden An den Stellen, ±, ± usw. fehlt die Angabe des Funktionswertes noch. Der Aufgabenstellung ist zu entnehmen, dass der Funktionswert an diesen Stellen derart festgelegt werden soll, dass die Funktion auch an diesen Stellen mit der noch zu bestimmenden Fourier-Reihe übereinstimmt. An all diesen Stellen eistiert der Grenzwert der Funktion f. In der at können wir anhand der Skizze sehen, dass an all diesen Stellen links- und rechtsseitiger Grenzwert eistieren und gleich Null d rechnerisch könnten wir das natürlich auch nachweisen. In einem solchen Fall konvergiert die Fourier-Reihe an diesen Stellen gegen eben diesen Grenzwert der Funktionswerte, also gegen Null. Die Funktionswerte an diesen Stellen betragen somit f f± f±..., sodass die resultierende Funktion auf ganz R stetig ist. Nun zur Berechnung der Fourier-Reihe. Als erstes untersuchen wir die vorliegende Funktion auf Smmetrien. Anhand der Skizze stellen wir fest, dass die Funktion sowohl gerade bzgl. als auch gerade bzgl. ist. Für einige Fourier-Koeffizienten ist somit bereits jetzt sicher, dass sie gleich Null d: b k für alle k,, 3,..., a k für alle ungeraden k, also alle k, 3, 5,.... Noch zu berechnen d a und alle a k, für die k gerade ist, also a, a, a 6,.... Aufgrund dessen, dass f gerade bzgl. ist, können wir dafür angepasste Formeln nutzen, bei denen nur über dem Intervall, integriert werden muss: a ˆ f d, a k ˆ f k d k >. In diesem Intervall gilt f, da dieser Ausdruck in diesem Bereich nichtnegativ ist. Das heißt, die Betragsstriche können weggelassen werden und die Formeln zur Berechnung der verbleibenden Fourier-Koeffizienten lauten a ˆ d, a k ˆ k d k >.

6 U Dresden Fakultät Mathematik Institut für Numerische Mathematik 6 Wir berechnen zunächst a : a ˆ d π π π Als nächstes berechnen wir a k für k,, 6,.... Zur Lösung des Integrals verwenden wir dabei eine Formel aus der Integraltabelle der Formelsammlung Formel 39 in der Formelsammlung von Merziger u.a. a k ˆ k d [ π π + k + k + kπ }{{} + k + k π k + k + + k k ] k kπ }{{} + k }{{} k }{{} Bei der Berechnung von kπ und + kπ war dabei zu beachten, dass sowohl k als auch + k für k,, 6,... ungerade Zahlen d und somit kπ + kπ gilt. Die Fourier-Reihe zur Funktion f kann nun wie folgt aufgeschrieben werden: S π + k, k gerade Setzt man noch k n, n,, 3,..., so ergibt sich S π π n π k k. n n. Nun soll die Reihe noch speziell an der Stelle ausgewertet werden. Unter Beachtung von erhalten wir S π π n. Andererseits wissen wir, dass die Fourier-Reihe aufgrund der Stetigkeit von f auf ganz R mit der Funktion f übereinstimmt. Insbesondere gilt also n S f.

7 U Dresden Fakultät Mathematik Institut für Numerische Mathematik 7 Aus den letzten beiden Identitäten ergibt sich somit π π n n n. c Die folgende Abbildung zeigt den Funktionsgraphen von f. Am besten zeichnet man ihn erstmal auf dem Intervall,. Dort ist die Vorschrift von f gegeben durch ; der Graph stimmt also auf diesem Intervall mit einer nach unten geöffneten Parabel mit den beiden Nullstellen und und dem Scheitelpunkt, 6 überein. Als nächstes sollte man ausnutzen, dass f gemäß der Aufgabenstellung der Gleichung f f genügt, also ungerade bzgl. ist. Damit ist bekannt, wie der Graph auf dem Intervall, aussieht. Der restliche Verlauf ergibt sich aus der Periodizität von f. 6 n An den Stellen, ±, ± usw. fehlt die Angabe des Funktionswertes noch. Der Aufgabenstellung ist zu entnehmen, dass der Funktionswert an diesen Stellen derart festgelegt werden soll, dass die Funktion auch an diesen Stellen mit der noch zu bestimmenden Fourier-Reihe übereinstimmt. An all diesen Stellen eistiert der Grenzwert der Funktion f. In der at können wir anhand der Skizze sehen, dass an all diesen Stellen links- und rechtsseitiger Grenzwert eistieren und gleich Null d rechnerisch könnten wir das natürlich auch nachweisen. In einem solchen Fall konvergiert die Fourier-Reihe an diesen Stellen gegen eben diesen Grenzwert der Funktionswerte, also gegen Null. Die Funktionswerte an diesen Stellen betragen somit f f ± f±..., sodass die resultierende Funktion auf ganz R stetig ist. Nun zur Berechnung der Fourier-Reihe. Als erstes untersuchen wir die vorliegende Funktion auf Smmetrien. Anhand der Skizze stellen wir fest, dass die Funktion ungerade bzgl. und gerade bzgl. ist. Für einige Fourier-Koeffizienten ist somit bereits jetzt sicher, dass sie gleich Null d: a und a k für alle k,, 3,..., b k für alle geraden k, also alle k,, 6,.... Noch zu berechnen d alle b k, für die k ungerade ist, also b, b 3, b 5,.... Aufgrund dessen, dass f ungerade bzgl. ist, können wir dafür angepasste Formeln nutzen, bei denen nur über dem Intervall, integriert werden muss: b k ˆ f k d k >. In diesem Intervall gilt f. Mittels zweimaliger partieller Integration erhalten wir b k ˆ k d

8 U Dresden Fakultät Mathematik Institut für Numerische Mathematik 8 kπ k }{{} ˆ kπ ˆ kπ k k d d kπ kπ k }{{} kπ ˆ k π k π ˆ kπ kπ k k d d k 3 π 3 kπ }{{}}{{} k k 3 π 3. Bei der Berechnung von kπ war zu beachten, dass k ungerade ist und somit kπ gilt. Die Fourier-Reihe zur Funktion f kann nun wie folgt aufgeschrieben werden: S k 3 π 3 k. k, k ungerade Setzt man noch k n +, n,,,..., so ergibt sich S π 3 n + 3 n +. n Nun soll die Reihe noch speziell an der Stelle ausgewertet werden. Unter Beachtung von n + π n für alle n,,,... erhalten wir S n π 3 n + 3. Andererseits wissen wir, dass die Fourier-Reihe aufgrund der Stetigkeit von f auf ganz R mit der Funktion f übereinstimmt. Insbesondere gilt also S f 6. n Aus den letzten beiden Identitäten ergibt sich somit n π 3 n n n n n + 3 π3 3.

9 U Dresden Fakultät Mathematik Institut für Numerische Mathematik 9 Aufgabe 5. Gegeben d α die Verteilungsfunktion der standardisierten Normalverteilung Φ ˆ + ep t dt ˆ ep t dt, β der Integralus Si ˆ t t dt π ˆ t t dt. a Man entwickle Lösung: α Φ, β Si an der Stelle in eine Potenzreihe Konvergenzradius?, zeige, dass eine alternierende Reihe vorliegt und prüfe, ob von einem Inde k k an die absoluten Beträge der Glieder eine monotone Nullfolge bilden. a α Wir nutzen die bekannte Potenzreihenentwicklung für die Eponentialfunktion: für alle t R gilt ep t k! k k t k! k tk. k Setzen wir das in die Vorschrift für Φ ein und integrieren dann summandenweise, erhalten wir eine Darstellung der Funktion Φ als Potenzreihe: Φ + ˆ ep t dt + ˆ k k k k! k tk dt [ + k k! k k + tk+ k + k k! k k + k+. k Wir betrachten nun die Reihe an einer konkreten aber beliebigen Stelle R gegeben. Wie in der Aufgabenstellung verlangt, zeigen wir, dass eine alternierende Reihe vorliegt, und untersuchen, ob die Beträge der Summanden eine monoton fallende Nullfolge bilden zumindest ab einem gewissen Inde k. Offenbar handelt es sich bei der Reihe um eine alternierende Reihe, denn die Summanden der Reihe d immer abwechselnd positiv und negativ. Bezeichnen wir die Summanden mit a k, also a k k k! k k+ k+, dann d ihre Beträge gegeben durch a k k+ k! k k +. ]

10 U Dresden Fakultät Mathematik Institut für Numerische Mathematik Für jedes k,,,... gilt und somit a k+ a k k++ k +! k+ k + + k! k k + k+ k+3 k+ < k + k! k +! k + k k + k+ } k {{ + 3 } < a k+ < k + a k. Mit dieser Abschätzung und unter Beachtung von lim k k+ zur Erinnerung: ist ein fester Wert und von k unabhängig folgt, dass die Folge der a k streng monoton fallend ist und gegen Null konvergiert. Nach dem Leibniz-Kriterium ist die Reihe in konvergent, und zwar für jedes R. Damit ist ihr Konvergenzradius gleich +. β Wir nutzen die bekannte Potenzreihenentwicklung für die Sinusfunktion: für alle t R gilt k t k +! tk+. Für t folgt daraus wiederum k t t k k k +! tk. Setzen wir das in die Vorschrift für Si ein und integrieren dann summandenweise, erhalten wir eine Darstellung der Funktion Si als Potenzreihe: Si ˆ ˆ [ k k t t dt k k k k +! tk dt k k +! k + tk+ k k +! k + k+. Wir betrachten nun die Reihe an einer konkreten aber beliebigen Stelle R gegeben. Wie in der Aufgabenstellung verlangt, zeigen wir, dass eine alternierende Reihe vorliegt, und untersuchen, ob die Beträge der Summanden eine monoton fallende Nullfolge bilden zumindest ab einem gewissen Inde k. Offenbar handelt es sich bei der Reihe um eine alternierende Reihe, denn die Summanden der Reihe d immer abwechselnd positiv und negativ. Bezeichnen wir die Summanden mit a k, also a k k k+! k+ k+, dann d ihre Beträge gegeben durch a k k+ k +! k +. ]

11 U Dresden Fakultät Mathematik Institut für Numerische Mathematik Für jedes k,,,... gilt a k+ a k k++ k +! k + k + +! k + + k+ k+3 k +! k+ k + 3! k + } k {{ + 3 } < < k + k + 3 k + k + 3 und somit a k+ < k + k + 3 a k. Mit dieser Abschätzung und unter Beachtung von lim k k+k+3 zur Erinnerung: ist ein fester Wert und von k unabhängig folgt, dass die Folge der a k streng monoton fallend ist und gegen Null konvergiert. Nach dem Leibniz-Kriterium ist die Reihe in konvergent, und zwar für jedes R. Damit ist ihr Konvergenzradius gleich +.