Experimentalphysik E1

Transkript

1 Experimentalphysik E1 Prof. Joachim Rädler & Dr. Bert Nickel Paul Koza (Vorlesungsbetreuung) Alle Informationen zur Vorlesung unter : Heute: Fehlerrechnung Der freie Fall 19.Okt 2013

2 Dimension L α M β T γ α,β,ϕ ganzzahlig Das Grundgrößensystem der Mechanik ist auf den Dimensionen - L=Länge, M=Masse, T=Zeit aufgebaut. Jede Größe kann als Produkt der Grundgrößen mit einem jeweiligen ganzzahligen Exponenten der Grundgrößen gebildet werden. Es können nur Größen gleicher Dimension addiert werden!

3 Einheit der Zeit Ursprüngliche Definition: 1s = 1/( ) = 1/86400 eines mittleren Sonnentages Heute gültige Definition : Sekunde [s] 1 Sekunde ist das Zeitinterval, während dessen die Cäsiumuhr ,0 Schwingungen macht. => Relative Messunsicherheit : Atomuhren gehen auf 20 Millionen Jahre 1 s falsch.

4 Messungen bis 100 GHz mit elektronischen Zählern möglich

5 Frequenz Kamm eine optische Uhr Th. Udem et al., Phys. Rev. Lett. 82, 3568 (1999).

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7 Zeitenskalen sec Alter des Universums Alter der Erde 10 9 Erste Menschen / alter der Pyramiden Jahr = 3, s, 1 Tag 8, s 10 3 Zeit die Licht von der Sonne zur Erde benötigt 1 Abstand zwischen Herzschlägen 10-3 Periode einer Schallwelle 10-6 Periode einer Radiowelle 10-9 Licht legt 30cm zurück Periode einer Molekülschwingung Periode einer Atomschwingung Licht legt Atomdurchmesser zurück Periode einer Kernschwingung Licht legt Kerndurchmesser zurück

8 Die 7 Basisgrößen und SI-Basiseinheiten der Physik Basisgrösse (Symbol) SI-Einheit Symbol Länge (l) Meter [m] Zeit (t) Sekunde [s] Masse (m) Kilogramm [kg] El. Stromstärke (I) Ampère [A] Temperatur (T) Kelvin [K] Lichtstärke (I) Candela [cd] Stoffmenge (n) Mol [mol] Zur Unterscheidung der Abkürzungen, d.h. der Symbole, für die Einheiten von anderen Abkürzungen setzen wir in dieser Vorlesung die Symbole für die Einheiten in eckige Klammern

9 Nach welchem Gesetz fallen Körper? Aristoteles (4. Jahrh. v. Chr.) Erde ist der niedrigste natürliche Ort, also fallen alle Körper, die aus Erde sind, auf die Erde. Schwere Körper, die mehr Erde enthalten, fallen schneller als leichte. Albert von Sachsen (14 Jhr n. Chr.) : v~s Nicole Oresme (14 Jhr n. Chr.) : Leonardo da Vinci (15 Jhr n. Chr.) : v~t Die in gleichen Zeitintervallen zurückgelegten Strecken sind proportional den ganzen Zahlen (1,2,3...) Galileo unter anderen (16 Jhr n. Chr.) : Die in gleichen Zeitintervallen zurückgelegten Strecken sind proportional den ungeraden ganzen Zahlen (1,3,5,...) Galilei führte die ersten systematischen Messungen aus. Sein Trick : Verlangsamung des freien Falls durch schiefe Ebene

10 Erste Messung von g im Jahre 1651 Asinelli Turm in Bologna Aus: Physics Today, Sept. 2012

11 Erste Messung von g im Jahre 1651 g=9,36±0.22 m/s2 Asinelli Turm in Bologna Aus: Physics Today, Sept. 2012

12 Messgenauigkeit und Messfehler 1. systematische Fehler : z.b. durch Messapparatur bedingt 2. statistische Fehler Messreihe Messung t i [s] Arithmetisches Mittel Mittleres Schwankungsquadrat der Einzelmessung (Varianz) x = σ 2 = 1 N N i= 1 x i 1 N N 1 i= 1 ( ) 2 x i x Mittler Fehler des arithmetischen Mittels σ M = N 1 ( N 1) N i= 1 ( ) 2 x x i

13 Messreihe : i x i arithmetischer 1 5 Mittelwert x = ( ) = 14, 2 Standardabweichung der Einzelmessung σ x = {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) } ,2 + 4, , , ,6 + = 4, 5 Standardabweichung (Fehler) des Mittelwerts σ M σ x = N = 4,5 5 = 2,25 x =14,2 ± 2,25

14 Grafische Darstellung der Messreihe x ± σ M 20 x i ±σ

15 Zentraler Grenzwertsatz Sind x i unabhängig verteilte Zufallsvariablen mit Mittelwert x w und Varianz σ 2, so ist die Summe 1 n n i=1 x i im Grenzwert n-> Normalverteilt mit Mittelwert x w und Varianz σ 2 /n.

16 Wer misst misst Mist! n j Systematisch Fehler Statistische Fehler Kalibrierfehler Hintergrundsignale x x j Zentraler Grenzwertsatz x j Thermische Fluktuationen Schrotrauschen 1/f Rauschen Sind x i unabhängig verteilte Zufallsvariablen mit Mittelwert x n w 1 und Varianz σ 2, so ist die Summe x i im Grenzwert n-> n i=1 normalverteilt mit Mittelwert x w und Varianz σ 2 /n.

17 Verteilungsfunktion Übergang zu normierten Verteilungen der Messwerte n j /n F = n i /n f(x) x = 1 n mit k k i=1 i=1 Δn i x i Δn i = n x x j Übergang zu infinitessimalen Intervallen, k >oo für x i à0 geht n i à 0, aber n i = n i / x i bleibt endlich! x j ( ) = 1 n f x Verteilungsfunktion ( )lim Δn i Δx i ( ) dn dx = 1 n ( ) f(x)dx gibt die Wahrscheinlichkeit, den Messwert bei x im Interwall dx zu finden

18 Eigenschaften der Verteilungsfunktion Die Verteilungsfunktion ist normiert: weil k Δx i n i = n f x i=1 Varianz ( )dx = lim 1 n + ( ) n i Δx i ( ) 2 σ 2 = e 2 = x w x f ( x)dx =1 Wenn nur statistische Fehler auftreten Normalverteilung (Gausssche Glockenkurve) f x ( ) = 1 2πσ 2 e x xw ( ) 2 2σ 2

19 Normalverteilung f x ( ) = 1 2πσ 2 e x xw ( ) 2 2σ 2 f(x) σ = 1/4 σ = 1/2 σ =1 Hat man aus n Messungen s bestimmt, so ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein weiterer Messwert innerhalb der Standartabweichung liegt ( ) = f x P x w x i σ x w +σ x w σ ( )dx -1 0 x - x w Anmerkung : Bei gequantelten statistischen Vorgängen z.b. Photonenzählen geht die Gauss- in die Poissonverteilung über f ( x) = x x x! e x 1 x = ganzzahlig Einsetzen und Integrieren ergibt: ( ) = 0,683 (68% Vertrauensbereich) P e i σ P( e i 2σ ) = 0,954 (95% Vertrauensbereich) P( e i 3σ ) = 0,997 (99% Vertrauensbereich)

20 Zur Natur der Messfehler Wie nah sind wir dem "wahren" Wert? Historische Messwerte für die Elektronenmasse in Einheiten von kg. Dargestellt sind die relativen Abweichungen m/m vom heutigen Bestwert in Einheiten von 10 6 (parts per million, ppm) Quelle : Demtröder, 2003

21 Geschwindigkeit Geschwindigkeit v ist das Verhältnis des zurückgelegten Weges Δs zur dazu benötigten Zeit, Δt. s[m] s[m] Δt Δs t[s] t[s] v = Δs Δt = 10 2 m s = 5 m s v = lim Δ t 0 Δs Δt = ds dt Die Geschwindigkeit ist die Ableitung des Ortes nach der Zeit

22 Die Beschleunigung Die Änderung der Geschwindigkeit mit der Zeit nennt man Beschleunigung. v[m/s] Auch die Beschleunigung ist ein Vektor. Δv a = lim t 0 Δt = d v $ m' dt % & s 2 ( ) a dv dt = und v = ds dt a = d 2 s dt t[s]

23 Die gleichförmig beschleunigte Bewegung a m s 2 a a(t) = a v m s v 0 s[ m] s 0 t[ s] t[ s] t[ s] v( t) = t a dt 0 v ( t) = a t + v t a s ( t) = t + v0 t s0 0 ( a t ) s( t) = + v 0 0 dt