Das Ramsey-Modell. 1 Wiederholung des Solow-Modells 2 Ermittlung des optimalen Wachstums bei exogener Sparquote

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1 Dipl.-WiWi Michael Alpert Wintersemester 2006/2007 Institut für Wirtschaftspolitik Helmholtzstr. 20, Raum E 03 Tel UNIVERSITÄT DOCENDO CURANDO ULM SCIENDO Fakultät für Mathematik und Wirtschaftswissenschaften Universität Ulm michael.alpert@uni-ulm.de Übung 8 Vom gleichgewichtigen zum optimalen Wachstum Das Ramse-Modell Wiederholung des Solow-Modells 2 Ermittlung des optimalen Wachstums bei exogener Sparquote Die Goldene Regel der Kapitalakkumulation 3 Das optimale Wachstum bei endogener Sparquote Das Ramse-Modell 4 Zusammenfassung Literatur Frenkel, M., Hemmer, H.-R., Grundlagen der Wachstumstheorie, München, Vahlen, 999, Kapitel 4.

2 Wiederholung des Solow-Modells Cobb-Douglas-Produktionsfunktion = Y L = A ( K L )α = A k α - A: Technologie - Y : Produktion - K, L: Produktionsfaktoren Kapital und Arbeit - α, α: Produktionselastizitäten, wobei α < - Y L : Arbeitsproduktivität - K L : Kapitalintensität Die Nachfrageseite = c + s - c: Konsum - s: Sparen s = s mit der Sparquote s : Die Investitionen i = s - i: Pro-Kopf-Investitionen Änderung des Pro-Kopf-Kapitalstock k t+ = i t (δ + n) k t - Der Kapitalstock steigt durch Investitionen i - Der Kapitalstock verringert sich durch Abschreibungen d = δ k und - durch Bevölkerungswachstum n L Das Gleichgewicht: = A (k ) α d s (δ + n)k s = i k k 2

3 Konsum bei unterschiedlichen Sparquoten im stead state s d Die Höhe des Konsums c ist abhängig von der Sparquote s d s 2 s k k k2 Der maximale Konsum c (s ) in einem stead state c c c(s) s s Es gibt eine optimale Aufteilung der Einkommen auf Konsum und Investitionen. 3

4 2 Ermittlung des optimalen Wachstums bei exogener Sparquote Die Goldene Regel der Kapitalakkumulation Es gibt ein stead state, in dem der Pro-Kopf-Konsum am höchsten ist. Das Pro-Kopf-Einkommen verwenden die Haushalte in einer geschlossenen Volkswirtschaft für Konsum c und Sparen s = s mit der Sparquote s : = c + s Umformuliert errechnet sich der Konsum c aus der Differenz zwischen Einkommen und Ersparnis s: c = s und im stead state gilt: (δ + n) k = s Somit gilt für den Konsum im stead state: c = (δ + n) k Maximiere c: max k ( (δ + n) k) Ableitung nach k: (δ + n) = 0 k Optimalitätsbedingung (Golden Rule): = δ + n k Das Konsummaximum einer im Gleichgewicht wachsenden Volkswirtschaft ist erreicht, wenn die Grenzproduktivität des Kapitals der Abschreibungsrate der Kapitalintensität (die mit der Summe von Wachstumsrate der Arbeit und der Abschreibungsrate des Kapitalstocks übereinstimmt) entspricht. Auflösen der Gleichung nach k ergibt das Golden-Rule-Niveau des Kapitalstocks: k s d Golden-Rule-Niveau des Kapitalstocks k Die Optimalitätsbedingung des Konsums besagt: k = δ + n also die Steigung von der Steigung der Gerade (δ + n)k entspricht. k = k 4 (δ + n)k s k

5 Mit steigender Kapitalintensität und daraus resultierender Arbeitsproduktivität nimmt zunächst der Konsum pro Kopf zu. Grund: Das Produktionsergebnis wächst schneller durch die hohe Grenzproduktivität des Kapitals als Investitionen zur Erhaltung der Kapitalintensität notwendig wären. Im stead state gilt: i = s = (δ + n)k Somit auch: s = [(δ + n)k]/ Die optimale Sparquote Einsetzten der Optimalitätsbedingung: s = [( k )k]/ Produktionselastizität des Kapitals: k k Die optimale Sparquote s entspricht der Produktionselastizität des Kapitals α. Eine Wirtschaft, deren Sparquote nach der Regel der Goldenen Kapitalakkumulation zu hoch ist, sollte weniger sparen und mehr konsumieren. Der höhere Konsum würde den Lebensstandard in der Gegenwart und auch in der Zukunft heben. Die Goldene Regel versagt jedoch bei zu geringer Sparquote als Handlungsmaxime: Dann fordert sie zu Konsumverzicht in der Gegenwart auf, um einen höheren Zukunftskonsum zu ermöglichen. 3 Optimales Wachstum bei endogener Sparquote Das Ramse-Modell Bestimmung des optimalen Konsumpfads und der optimalen Ersparnisse ohne eine konstante Sparquote anzunehmen. Die intertemporale Nutzenfunktion Allgemeine Formulierung der intertemporalen Nutzenfunktion: U 0 = 0 u(c t ) e ρt dt Die Berücksichtigung der unterschiedlichen Wertschätzung für Gegenwartskonsum und Zukunftskonsum erfolgt über die Zeitpräferenzrate: ρ. Es gilt: c 2 (t 2 ) +ρ = c 2(t ) Nutzenfunktion im Zwei-Perioden-Modell: U 0 = f(u(c ), u(c 2 )) 5

6 Das Haushaltsoptimum Die intertemporale Nutzenfunktion kann als Indifferenzkurve im c 2 c -Diagramm dargestellt werden. Grenzrate der intertemporalen Substitution entspricht der Steigung der Indifferenzkurve dc 2 dc = u c : u mit u = u 2 +ρ dc 2 dc = u c : ( u 2 +ρ ). Die Budgetgerade hat die Steigung -(+r) (Annahme eines Zinses r) Der optimale Konsumpunkt eines Haushaltes ist der Tangentialpunkt von Budgetgerade und Indifferenzkurve. u c : u = + r u c : ( u 2 +ρ ) = + r u c : u 2 = ( + r) +ρ Der optimale Konsum hängt vom hängt vom laufenden und zukünftigen Einkommen ab. Intertemporale Einkommensumschichtung ist sinnvoll solange ρ r ρ < r: sparen ρ > r: verschulden Nutzenmaximierender Konsum der Volkswirtschaft Die Übertragung der mikroökonomischen Untersuchungen auf die Gesamtwirtschaft wird als unproblematisch betrachtet. Verschuldung wird auf makroökonomischer Ebene durch das Ausland möglich, oder man unterstellt, dass die Jungen sparen, während die Älteren entsparen Bei Bevölkerungswachstum gilt: Intertemporale Einkommensumschichtung ist sinnvoll solange ρ + n r ρ + n < r: sparen ρ + n > r: verschulden 6

7 Investition als intertemporale Entscheidung Wenn Haushalte für ihren Konsumverzicht durch einen positiven Zins entschädigt werden sollen, setzt dies voraus, dass Unternehmen durch Investitionen in die Zukunft ein entsprechend große Konsumgütermenge produzieren. Unternehmen fragen so lange Ersparnisse zur Investitionsfinanzierung nach, bis die erwirtschaftete Rendite den Kosten (Zins) entsprechen. Der Bruttoertrag der Investition - Abschreibungen = Netto-Zinssatz: GP K δ = r Im c 2 c -Diagramm geht man von einem anfänglichen Ausstattungspunkt A aus, dessen Lage die Höhe der in beiden Perioden erzielbaren Produktionsmengen ohne Investitionstätigkeit vorgibt. Werden die Ersparnisse in Investitionen umgewandelt, ergibt sich eine Transformationskurve, deren konkave Form durch das abnehmende GPK zu erklären ist. Das Steigungsmaß der Transformationskurve ist die GPK im betreffenden Investitionspunkt. Bei gewinnmaximalen Verhalten wird das Unternehmen für eine Investition genau die Kosten r noch tragen, für die gilt: GP K δ = r Damit gilt für ein Zwei-Perioden-Modell, in dem die Abschreibungsrate beträgt GP K = + r Wird Bevölkerungswachstum unterstellt, gilt: GP K (δ + n) = r Bei Berücksichtigung des Bevölkerungswachstums müssen vom verfügbaren Produktionsergebnis zunächst jene Investitionen getätigt werden, die erforderlich sind, um die neuen Arbeitskräfte mit Kapital auszustatten. Periodengleichgewicht auf dem Kapitalmarkt Es gilt die Sparentscheidung der Haushalte und die Investitionsentscheidung der Unternehmen zusammenzuführen. Das Gleichgewicht liegt dort, wo sich die intertemporale Indifferenzkurve und intertemporale Transformationskurve tangieren. Die gemeinsame Tangente an Transformationskurve un intertemporale Indiffenrenzkurve zeigt für die Unternehmen die Erfüllung der Gewinnmaximierungsbedingung, GP K = + r für die Haushalte die Erfüllung der Optimalitätsbedingung in bezug auf die Konsumverteilung an. u c = + r ( u 2 +ρ ) Die Brücke zwischen Sparen und Investieren wid dabei durch den Zinssatz r geschlagen 7

8 Das Wachstumsgleichgewicht Im stead state ändert sich der Pro-Kopf-Konsum nicht. Der Gesamtkonsum wächst mit der Bevölkerungswachstumsrate n Das langfristige Wachstumsgleichgewicht ist erreicht, wenn jene Kapitalintensität realisiert wird, für die gilt: GP K = ρ + δ + n Das Wachstumsgleichgewicht - Vergleich mit Goldenen Regel GP K = n + δ Da ρ > 0, ist GPK Gold kleiner als GPK Ramse 4 Schlußbemerkung Bei der Endogenisierung der Sparquote wird die Zeitpräferenz berücksichtigt. Je höher die Zeitpräferenz, desto weiter entfernt liegt k Ramse von k Gold und je niedriger ist der Konsum c Ramse 8