Logik. Logik. Quick Start Informatik Theoretischer Teil WS2011/ Oktober QSI - Theorie - WS2011/12

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1 Logik Logik Quick Start Informatik Theoretischer Teil WS2/2 7. Oktober 2

2 Logik > Logik > logische Aussagen Logik

3 Logik > Logik > logische Aussagen Motivation Logik spielt in der Informatik eine wichtige Rolle. Anwendungen sind z.b. Modellierung von Wissen, etwa in der ku nstlichen Intelligenz Automatische Verifikation (automatisches Testen, ob ein System die Spezifikationen erfu llt) Kontrollfluss von Computerprogrammen Logikbauteile in der Hardware Datenbanken: Auswerten von Anfragen Mathematische Beweise Korrektes Argumentieren

4 Logik > Logik > logische Aussagen logische Aussagen Die Logik behandelt die allgemeinen Prinzipien des korrekten Argumentierens. Diese Prinzipien gelten allein aufgrund der Form der Aussagen und sind unabha ngig vom konkreten Inhalt. Eine logische Aussage (kurz Aussage) ist ein Satz oder Ausdruck, der entweder wahr oder falsch sein kann auch wenn wir diese gegebenenfalls nicht kennen. Beispiel : Folgende Sa tze und Ausdru cke sind Aussagen: 2 ist gerade. 2 <, 2 > Dieser Ball ist rot.

5 Logik > Logik > logische Aussagen Beispiel 2 Beispiel 2: Folgende Sa tze und Ausdru cke sind keine Aussagen: + 2, 2 usw., da sie keine vollsta ndige Ausdru cke sind, denen man die Werte wahr oder falsch zuordnen kann. 2 ist eine kleine Zahl ist keine Aussage, da klein fu r Zahlen nicht definiert ist.

6 Logik > Logik > logische Aussagen Beispiel 2 Fortsetzung Aufforderungen ( Komm her! ) und Fragen ( Was machen wir? ) Dieser Satz ist falsch!, da dieser Satz weder wahr noch falsch sein kann. Denn wenn der Satz wahr wa re, dann trifft der behauptete Sachverhalt zu und demnach ist der Satz falsch. Er kann aber auch nicht falsch sein; denn dann trifft der Sachverhalt nicht zu und so ist der Satz wahr.

7 Logik > Logik > Aussagenlogik Aussagenlogik

8 Logik > Logik > Aussagenlogik Syntax und Semantik Definition (Syntax) Mit der Syntax legen wir fest, welche Zeichenreihen gu ltige Formeln sind. So soll etwa (A B) eine gu ltige Zeichenreihe sein, wohingegen die Zeichenreihe ()AB nicht erlaubt sein soll. Definition (Semantik) Die Semantik legt fest, ob die Formeln wahr oder falsch sind - jeweils in Abha ngigkeit davon, ob die einzelne atomaren Aussagen von denen sie bestehen wahr oder falsch sind. Wir werden von konkreten Inhalten der atomaren Aussagen absehen und belegen die Atome einfach entweder mit wahr oder falsch, den sogenannten Wahrheitswerten. Wir verwenden fu r wahr und fu r falsch.

9 Logik > Logik > Syntax und Semantik der Aussagenlogik Syntax und Semantik der Aussagenlogik Wir nehmen an, dass wir eine unendliche Menge A, B, A, A2, A3,..., B,B2,B3,... von Atomen (auch aussagenlogische Variablen genannt) gegeben haben. Aussagenlogische Formeln sind Zeichenreihen, die aus den Atomen, den Junktoren,,, und und den beiden Klammern ( und ) nach den folgenden Regeln aufgebaut werden. Definition Atome sind Formeln. Beispiele: L Lucy spielt Gitarre A 9 geteilt durch 3 ist 2

10 Logik > Logik > Syntax und Semantik der Aussagenlogik Negation Definition (Negation) Wenn A eine Formel ist, dann ist auch A (nicht A) eine Formel (Das Zeichen heißt Negation.) Die Aussage A ist nur dann wahr, wenn die Aussage A falsch ist. Beispiel: A Deutschland ist Fußballweltmeister A Deutschland ist nicht Fusßballweltmeister

11 Logik > Logik > Syntax und Semantik der Aussagenlogik Negation Definition (Negation) Wenn A eine Formel ist, dann ist auch A (nicht A) eine Formel (Das Zeichen heißt Negation.) Die Aussage A ist nur dann wahr, wenn die Aussage A falsch ist. Wahrheitstafel: A A

12 Logik > Logik > Syntax und Semantik der Aussagenlogik Konjunktion Definition (Konjunktion) Seien A und B zwei Formeln, dann ist (A B) (sprich: A und B) ebenfalls eine Formel. Die Aussage (A B) ist wahr, wenn sowohl die Aussage A als auch die Aussage B wahr sind. Beispiel: A Orlando di Lasso lebte im 6. Jahrhundert B Orlando di Lasso leitete die bayerische Hofkapelle (A B) Orlando di Lasso lebte im 6. Jahrhundert und leitete die bayerische Hofkapelle

13 Logik > Logik > Syntax und Semantik der Aussagenlogik Konjunktion Definition (Konjunktion) Seien A und B zwei Formeln, dann ist (A B) (sprich: A und B) ebenfalls eine Formel. Die Aussage (A B) ist wahr, wenn sowohl die Aussage A als auch die Aussage B wahr sind. Wahrheitstafel: A B (A B)

14 Logik > Logik > Syntax und Semantik der Aussagenlogik Disjunktion Definition (Disjunktion) Seien A und B zwei Formeln, dann ist (A B) (sprich: A oder B) ebenfalls eine Formel. Die Aussage (A B) ist wahr, wenn mindestens eine der beide Aussagen A oder B wahr ist. Beispiel: D Im WS wird die Vorlesung Logik und Datenbanken angeboten L Im WS wird die Vorlesung Logik in der Informatik angeboten (D L) Im Wintersemester wird die Vorlesung Logik und Datenbanken oder die Vorlesung Logik in der Informatik angeboten.

15 Logik > Logik > Syntax und Semantik der Aussagenlogik Disjunktion Definition (Disjunktion) Seien A und B zwei Formeln, dann ist (A B) (sprich: A oder B) ebenfalls eine Formel. Die Aussage (A B) ist wahr, wenn mindestens eine der beide Aussagen A oder B wahr ist. Wahrheitstafel: A B (A B)

16 Logik > Logik > Syntax und Semantik der Aussagenlogik Implikation Definition (Implikation) Seien A und B zwei Formeln, dann ist (A B) (sprich: Wenn A dann B) ebenfalls eine Formel. Die Aussage (A B) ist wahr, wenn A falsch ist oder wenn sowohl die Aussage A als auch die Aussage B wahr sind. Beispiel: A Wir nehmen die Express-Fa hre ab Hirtshals B Wir gelangen nach Bergen (A B) Wenn wir die Express-Fa hre ab Hirtshals nehmen, dann werden wir nach Bergen gelangen

17 Logik > Logik > Syntax und Semantik der Aussagenlogik Implikation Definition (Implikation) Seien A und B zwei Formeln, dann ist (A B) (sprich: Wenn A dann B) ebenfalls eine Formel. Die Aussage (A B) ist wahr, wenn A falsch ist oder wenn sowohl die Aussage A als auch die Aussage B wahr sind. Wahrheitstafel: A B (A B)

18 Logik > Logik > Syntax und Semantik der Aussagenlogik Biimplikation Definition (Biimplikation) Seien A und B zwei Formeln, dann ist (A B) (sprich: A genau dann wenn B) ebenfalls eine Formel. Die Aussage (A B) ist wahr, wenn A und B beide falsch oder beide wahr sind. Beispiel: A Deutschland schneidet bei der PISA-Studie besser ab B Der Staat investiert mehr Geld in die Bildung (A B) Deutschland schneidet bei der PISA-Studie besser ab genau dann wenn der Staat mehr Geld in die Bildung investiert.

19 Logik > Logik > Syntax und Semantik der Aussagenlogik Biimplikation Definition (Biimplikation) Seien A und B zwei Formeln, dann ist (A B) (sprich: A genau dann wenn B) ebenfalls eine Formel. Die Aussage (A B) ist wahr, wenn A und B beide falsch oder beide wahr sind. Wahrheitstafel: A B (A B)

20 Logik > Logik > Syntax und Semantik der Aussagenlogik ausschließende Disjunktion Definition (ausschließende Disjunktion) Seien A und B zwei Formeln, dann ist (A B) (sprich: Entweder A oder B) ebenfalls eine Formel. Die Aussage (A B) ist wahr, wenn genau eine der beide Aussagen A oder B wahr ist. Beispiel: D Im WS kann man Dienstags von : bis 2: die Vorlesung Einfu hrung in die Numerik besuchen. L Im WS kann man Dienstags von : bis 2: die Vorlesung Einfu hrung in Adaptive Systeme besuchen. (D L) Im Wintersemester kann man Dienstags von : bis 2: entweder die Vorlesung Einfu hrung in die Numerik oder die Vorlesung Einfu hrung in Adaptive Systeme besuchen.

21 Logik > Logik > Syntax und Semantik der Aussagenlogik ausschließende Disjunktion Definition (ausschließende Disjunktion) Seien A und B zwei Formeln, dann ist (A B) (sprich: Entweder A oder B) ebenfalls eine Formel. Die Aussage (A B) ist wahr, wenn genau eine der beide Aussagen A oder B wahr ist. A B (A B)

22 Logik > Logik > Noch mehr Definitionen Tautologie Definition (Tautologie) Eine aussagenlogische Formel, deren Wahrheitswert bei jeder Belegung der Variablen (wahr) ist, heißt Tautologie. Beispiel: A A (A A)

23 Logik > Logik > Noch mehr Definitionen Kontradiktion Definition (Kontradiktion) Eine aussagenlogische Formel, deren Wahrheitswert bei jeder Belegung der Variablen (falsch) ist, heißt Kontradiktion. Beispiel: A A (A A)

24 Logik > Logik > Noch mehr Definitionen Erfu llbare Formeln Definition (Erfu llbar) Eine aussagenlogische Formel, heißt erfu llbar, wenn es eine Belegung der Variablen gibt, bei der die Formel den Wahrheitswert hat. Beispiel: A B (A B)

25 Logik > Logik > Noch mehr Definitionen A quivalente Formeln Definition Seien α und β aussagenlogische Formeln. Sei M die Menge der Variablen, die in α vorkommen, und N die Menge der Variablen, die in β vorkommen. Die Formeln α und β heißen a quivalent, wenn fu r jede Belegung der Variablen in M N die Wahrheitswerte von α und β u bereinstimmen. Wir schreiben dann auch α β.

26 Logik > Logik > Rechenregeln Rechenregeln Seien A, B und C aussagenlogischen Formeln. Dann gilt: ) A A 2) Kommutativgesetze: (A B) (B A) (A B) (B A) 3) Assoziativgesetze: ((A B) C ) (A (B C )) ((A B) C ) (A (B C )) 4) Distributivgesetze: ((A B) C ) ((A C ) (B C )) ((A B) C ) ((A C ) (B C ))

27 Logik > Logik > Rechenregeln Rechenregeln 2 5) De Morgan sche Gesetze: (A B) ( A B) (A B) ( A B) 6) (A ) A (A ) (A ) (A ) A (A A) A (A A) A 7) Absorptionsgesetze: (A (A B)) A (A (A B)) A

28 Logik > Logik > Rechenregeln noch Fragen??? Quelle Bild: fragezeichen.png