Elektrizitätslehre und Magnetismus

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Erwin Franke
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1 Elektrizitätslehre und Magnetismus Othmar Marti Institut für Experimentelle Physik Physik, Wirtschaftsphysik und Lehramt Physik

2 Seite 2 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Ströme Strom in zwei parallelen Leitern. Die Leiter haben die Länge l und sind im Abstand r. Sie sind von den Strömen I 1 und I 2 durchflossen. F M = const l I 1 I 2 r Die Kraft ist anziehend, wenn die beiden Ströme in die gleiche Richtung fliessen. Die Kraft F M ist nicht eine elektrostatische Kraft, da eine geerdete Metallplatte die Kraft, anders als bei der Coulomb-Kraft, nicht abschirmt. Die Kraft F M wirkt auf bewegte Ladungen!

3 Seite 3 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Ladungsinvarianz Metallischer Gastank mit Ausströmöffnung. q Elektron = q Proton mit einer Genauigkeit von q Elektron /N = q Elektron. Die Grösse der Ladung ist unabhängig von der Geschwindigkeit!

4 Seite 4 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Relativistische Berechnung Berechnung der magnetischen Kraft. Links: im Bezugssystem S und rechts:im Bezugssystem S, in dem q in Ruhe ist. Beachte: wir wissen zwar nicht, wie gross der Strom I gemessen im Bezugssystem S im Bezugssystem S ist. Die Ladung ist jedoch invariant.

5 Seite 5 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Relativistische Berechnung λ 0 = Q L 0 Im Inertialsystem S ist wegen der Ladungsinvarianz λ = Q L Wegen der Längenkontraktion gilt L = L 0 γ 0 = L 0 Zusammengenommen erhalten wir 1 v 2 0 c 2 λ 0 = λ γ 0

6 Seite 6 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Relativistische Rechnung Im Ruhesystem S, in dem das Teilchen mit der Ladung q in Ruhe ist, sieht die Situation anders aus. Die Geschwindigkeit der positiven und der negativen Ladungsketten ist unterschiedlich. deshalb sind sie zusammen nicht mehr elektrisch neutral. Auf die Ladung q wirkt eine elektrostatische Kraft. Da die Relativgeschwindigkeit der positiven Ladungen zu q kleiner ist als die der negativen Ladungen, liegen in S die positiven Ladungen weniger dicht als die negativen. Die beiden Ladungsketten sind insgesamt negativ geladen. Deshalb wird q angezogen, wenn q > 0 ist. Das E -Feld in die z -Richtung erzeugt in S die Kraft F z = q E Das E-Feld hängt vom Bezugssystem ab, ist also nicht relativistisch invariant!

7 Seite 7 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Relativistische Betrachtung Das elektrische Feld einer Linienladung im Abstand r ist λ E(r) = 2πɛ 0 r Um das elektrische Feld E berechnen wir die Geschwindigkeiten v + und v in S. v + = v v 0 1 v v 0 c 2 v = v + v v v 0 c 2 Mit γ + γ(v + ) und γ γ(v ) und mit λ 0 = λ + /γ + erhalten wir ( ) λ λ + = γ + γ 0 ( ) λ λ = γ γ 0 β v c γ 1 1 β 2 Die Netto-Linienladung in S ist dann λ = λ + λ = λ γ 0 (γ + γ ) β + = β 0 β 1 β 0 β β = β 0 + β 1 + β 0 β

8 Seite 8 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Weiter erhalten wir Relativistische Rechnung γ + γ = 1 1 β+ 2 Also ist = = = 1 1 β ( ) β0 β 2 ( ) β0 +β β 0 β 1+β 0 β 1 β 0 β ( ) (1 1 β 0 2 β 2 ) 1 + β 0 β ( ) (1 1 β 0 2 β 2 ) 2β 0 β ( ) (1 1 β 0 2 β 2 ) = 2β 0 βγ 0 γ λ = 2λββ 0 γ = 2λvv 0 c 2 γ Betrachten wir am Ort der Ladung q das von der Linienladung λ hervorgerufene Feld E r. Für positives λ zeigt dieses in die z -Richtung. E r = λ 2πɛ 0 r = 2λv 0 vγ(v) 2πɛ 0 c 2 1 r Die Kraft im Ruhesystem S des Teilchens ist also F z = q E r = 2qλv 0vγ(v) 2πɛ 0 c 2 1 r Wir verwenden die Lorentztransformation der Impulse p i und der Energie E p x = p x p y = γ(v) (p y v Ec ) 2 p z = p z E = γ(v) ( ) E v p y

9 Seite 9 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Relativistische Rechnung Der Vierervektor (p x, p y, p z, E c2 ) transformiert sich wie der Vierervektor (x, y, z, t). Die Kraft transformiert sich also wie Der Strom in S ist F z = dp z dp z dt = 1 β2 dt = γ(v)fz I = 2λv 0 F z (r) = q v I 2πɛ 0 c 1 2 r Multipliziert man Gleichung (9) mit der Dichte der Ladungsträger n (Einheit [n] = 1/m), so erhält man die zu I 2 proportionale Kraft pro Länge F(r). F(r) = n F z(r) = n q v I 2πɛ 0 c 2 1 r = I 2 I 2πɛ 0 c 2 1 r

10 Seite 10 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Magnetische Kraft Die magnetische Kraft F m im Laborsystem S ist die relativistisch transformierte elektrostatische Kraft auf die Ladung q in deren Ruhesystem S. Die magnetische Kraft kann als relativistische Korrektur zur elektrostatischen Kraft verstanden werden.

11 Seite 11 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Lorentz-Kraft F L = q v B Induktionskonstante B(r) = I 2πɛ 0 c 2 1 r µ 0 = 1 ɛ 0 c 2 B(r) = µ 0 2π I r

12 Seite 12 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Strom und Magnetische Induktion Lage der magnetischen Induktion zum Strom und zur Geschwindigkeit der Ladung.

13 Seite 13 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Magnetische Induktion µ 0 4π = 10 7 N A 2 Die Einheit der magnetischen Induktion ist [B] = Tesla = T = N s C m = N Am = V s m 2

14 Seite 14 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Magnetfeld Wir haben F(r) = lf(r) = µ 0 l I 2 I 2πr Magnetische Induktion Magnetfeld B(r) = µ 0 I 2π r H(r) = I 2π r F(r) = B(r) I 2 F(r) = µ 0 H(r) I 2 F L = q v B B hängt vom Material ab entspricht der dielektrischen Verschiebung D F L (r) = q v (µ 0 H(r)) H hängt nicht vom Material ab entspricht dem elektrischen Feld E

15 Seite 15 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Magnetfeld [H] = A m Das magnetische Feld H ist unabhängig von der Materie die den betrachteten Raum erfüllt. Die magnetische Induktion B hängt vom den Raum füllenden Material ab. elektrisches Feld E dielektrische Verschiebung D = ɛɛ 0 E magnetisches Feld H magnetische Induktion B = µµ 0 H

16 Seite 16 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Kraft auf ein Leiterelement Berechnung der Kraft auf ein Leiterelement.

17 Seite 17 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Beispiel 1 Die Kraft für eine beliebig geformte geschlossene Leiterschleife in einem homogenen Magnetfeld ist ( ) F = I dl B = I dl B Da das Linienintegral dl B über eine geschlossene Schleife null ist (die positiven und die negativen Anteile heben sich auf) ist F = 0.

18 Seite 18 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Drehmoment auf Leiterschleife (Motor) Drehmoment auf eine Leiterschleife im homogenen Magnetfeld

19 Eisenfeilspänen Seite 19 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Beispiel 2: Leiterschlaufe Bezüglich 0 ist die Situation symmetrisch. Die in der Zeichnung vertikalen Leiterelemente liefern kollineare sich aufhebende Kräfte. Die horizontalen Segmente ergeben das Drehmoment Das gesamte Drehmoment ist dm = (r 1 + r 3 ) df 1 + (r 1 + r 4 ) df 1 + (r 2 + r 3 ) df 2 + (r 2 + r 4 ) df 2 = 2 r 1 df r 2 df 2 M = r 1 F 1 + r 2 F 2 = 2 r 1 F 1 Das Drehmoment M liegt in der Ebene der Leiterschlaufe. Wenn φ der Winkel zwischen der Normalen auf die Ebene der Leiterschlaufe und B ist, gilt mit F 1 = a I B: M = 2 b 2 sin φ F 1 = a b I sin φ B Wir definieren das magnetische Moment m so, dass es senkrecht auf die Ebene der Leiterschlaufe steht und dass m = Fläche Strom = a b I ist. Damit ist M = m B Drehspulinstrumenten, Motoren, Sichtbarmachung von Magnetfeldern mit

20 Seite 20 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Potentielle Energie einer stromdurchflossenen Leiterschlaufe Die potentielle Energie einer um den Winkel φ gegenüber dem Magnetfeld verdrehten stromdurchflossenen Leiterschlaufe wird berechnet, indem man von φ = 0 ausgeht und die Schlaufe langsam zum Winkel φ dreht. Die Arbeit, um von φ nach φ + dφ zu drehen ist du = 2 F 1 sin φ b 2 dφ = a b I B sin φ dφ Damit erhalten wir U(φ) = a b I B φ 0 sin φ dφ = a b I B (cos φ 1) Wenn wir U(φ = π/2) = 0 wählen haben wir U = m B

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