Numerische Methoden und Algorithmen in der Physik

Transkript

1 Numerische Methoden und Algorithmen in der Physik Hartmut Stadie, Christian Autermann Numerische Methoden und Algorithmen in der Physik Hartmut Stadie 1/ 28

2 Einführung Numerische Integration Funktionen Zeiger, Felder und Strukturen Numerische Methoden und Algorithmen in der Physik Hartmut Stadie 2/ 28

3 Übersicht Einführung Informationen Numerische Integration Funktionen Zeiger, Felder und Strukturen Numerische Methoden und Algorithmen in der Physik Hartmut Stadie 3/ 28

4 Informationen Ablauf: Vorlesung: donnerstags 8:30 Hörsaal, Geb. 61, DESY Übung: im Anschluss an die Vorlesung Material: Stroustrup: The C++ Programming Language, 3rd edition cpp/ Press et al: Numerical Recipes, 3rd edition Numerische Methoden und Algorithmen in der Physik Hartmut Stadie 4/ 28

5 Übersicht Einführung Numerische Integration Einführung Newton-Cotes-Formeln Romberg-Integration Monte-Carlo-Integration Funktionen Zeiger, Felder und Strukturen Numerische Methoden und Algorithmen in der Physik Hartmut Stadie 5/ 28

6 Numerische Integration numerische Quadratur: I(f ) = Mit b a f (x)dx = Q(f )+E(f ) (1) Q(f ): Quadraturformel E(f ): Fehler Numerische Methoden und Algorithmen in der Physik Hartmut Stadie 6/ 28

7 Newton-Cotes-Formeln Herleitung: unterteile das Intervall [a,b] in n gleich große Teilintervalle Für ein Interpolationspolynom von f: p f n+1 (x) = n f (x i )L in (x) (2) i=0 mit den Lagrange-Polynomen L in (x) = n j=0,j i ist dann b a n pn+1 f (x)dx = (b a) 1 f (x i ) (b a) i=0 b a x x j x i x j L in (t)dt (3) Numerische Methoden und Algorithmen in der Physik Hartmut Stadie 7/ 28

8 Newton-Cotes-Formeln Definition: b a f (x)dx b mit den Gewichten w i = 1 b (b a) a L in(t)dt. Beispiel: Trapezregel n = 1 mit und Z b a a f (x)dx = (b a) w 0 = w 1 = 1 (b a) 1 (b a) n pn+1 f (x)dx = (b a) w i f (x i ) (4) Z b a Z b a i=0 2X w i f (x i ) = (b a)[w 0 f (a) + w 1 f (b)] i=0 L 01 (t)dt = L 11 (t)dt = Z 1 b t b (b a) a a b dt Z 1 b t a (b a) a b a dt = Numerische Methoden und Algorithmen in der Physik Hartmut Stadie 8/ 28

9 Trapezregel n = 1 w 0 = Z 1 x1 t x 1 dt (x 1 x 0 ) x 0 x 0 x 1 w 1 = I(f ) = = x 1 2 x0 2 2x x 0 x 1 = 1 2(x 1 x 0 )(x 0 x 1 ) 2 1 (x 1 x 0 ) Z x1 t x 0 dt x 0 x 1 x 0 = (x 1 2 x x0 2 2x 0 x 1 ) = 1 2(x 1 x 0 ) 2 2 Z x1 x 0 f (x)dx = h[ 1 2 f (x 0) f (x 1)] + O( h3 12 f ) ( ) 1 I(f ) = h 2 f (a) + 1 n 1 2 f (b) + f (a + ih) i=1 mit h = b a n (5) Numerische Methoden und Algorithmen in der Physik Hartmut Stadie 9/ 28

10 Newton-Cotes-Formeln Grad n Name Gewichte w i Fehler 0 Rechteckregel 0 1 h 2 2 f (ξ) 1 Trapezregel h 3 12 f (ξ) 2 Simpson-Regel 1 Keplersche Fassregel ( 1 2 h)5 90 f (4) (ξ) 3 3/8 - Regel 1 Pulcherrima ( 1 3 h)5 80 f (4) (ξ) 4 Milne-Regel ( 1 4 h)7 945 f (6) (ξ) Weddle-Regel Numerische Methoden und Algorithmen in der Physik Hartmut Stadie 10/ 28

11 Summierte Regeln Summierte Regeln: Trapezregel: 1 I(f ) = T n + E n = h 2 f (x 0) + f (x 1 ) + f (x 2 ) f (x n 1 ) + 1 «2 f (xn) + E n (6) mit h = b a und Fehler E n n = O(nh 3 f ) = O(n( b a n )3 f ) = O( (b a)2 )f n 2 Simpson-Regel: 1 I(f ) = h 3 f (x 0) f (x 1) f (x 2) f (x 3) f (x n 1) + 1 «3 f (xn) +O( 1 n ) 4 (7) Fehlerverhalten der T n Fehler zweier Iterationsschritte: E 2n = 1 4 En Betrachte: T = 4 T 3 2n 1 3 Tn Fehler der Ordnung 1 heben sich auf. T hat Fehler der Ordnung 1 : n 2 n 4 Simpson-Regel! Numerische Methoden und Algorithmen in der Physik Hartmut Stadie 11/ 28

12 Romberg-Integration Romberg-Integration Führe eine Richardson-Extrapolation über die Schrittweite h n = b a 2 einer summierten Quadraturformel, z.b. Trapezregel, n durch. Richardson-Extrapolation Für zwei Näherungen U u und U g aus einem Verfahren p-ter Ordnung mit verschiedenen Diskretisierungen mit den Schrittweiten h u und h g ist U R = U u U g ( hu h g ) p 1 ( hu h g ) p = U g + U g U u ( hu h g ) p 1 (8) eine bessere Näherung. Numerische Methoden und Algorithmen in der Physik Hartmut Stadie 12/ 28

13 Romberg-Integration Romberg-Integration Anleitung: I 1,1 = h 1 2 I n,1 = h n 2 (f (a) + f (b))(trapezregel) (9) h 1 hn 1 f (a) + f (b) + 2 f (a + i h n ) (10) i=1 I n,k = I n+1,k 1 + I n+1,k 1 I n,k 1 ( hn h n+1 ) 2(k 1) 1 (11) Fehler: E = I 1,n+1 I 1,n I 1,n Numerische Methoden und Algorithmen in der Physik Hartmut Stadie 13/ 28

14 Übersicht Einführung Numerische Integration Funktionen Deklaration Variablengeltungsbereich Argumente Rückgabewert Überladene Funktionen Default-Argument Hauptprogramm: main Zeiger, Felder und Strukturen Numerische Methoden und Algorithmen in der Physik Hartmut Stadie 14/ 28

15 Deklaration double sqrt(double); //Definition double sqrt(double x) {... return ergebnis; }; Numerische Methoden und Algorithmen in der Physik Hartmut Stadie 15/ 28

16 Variablengeltungsbereich #include <iostream> int i; int main(const int argc, const char **argv) { { int i; static int j; std::cout << i << ", " << j << \n ;// , 0 i = 3; std::cout << i << \n ;//3 { int i = i; std::cout << i << \n ;// std::cout << ::i << \n ;//0 } std::cout << i << \n ;3 } std::cout << i << \n ;0 } Numerische Methoden und Algorithmen in der Physik Hartmut Stadie 16/ 28

17 Funktionsargumente normal als Kopie: Argumentvariable wird nicht verändert! Anders bei Referenz void f(int a, int& b) { a++; b++; }... int c = 0,d = 0; f(c,d);//c=0, d=1 Numerische Methoden und Algorithmen in der Physik Hartmut Stadie 17/ 28

18 Rückgabewert Wenn Funktion mit Typ deklariert, muss return einen Wert zurückgeben! int f1() {};//falsch void f2() {};//ok int f3() { return;}//falsch int f4() {return 1;}//richtig void f5() { return;}//richtig void f6() { return 4;}//falsch int& fr() { int i = 9; return i;}//falsch Numerische Methoden und Algorithmen in der Physik Hartmut Stadie 18/ 28

19 Überladene Funktionen überladen: gleicher Name, unterschiedliche Argumenttypen void print(long); void print(double); int main() { const long l =9; print(l); print(0.346); print(4l); print(0.3f);//float->double print(3);//int -> long oder int ->double??? } Numerische Methoden und Algorithmen in der Physik Hartmut Stadie 19/ 28

20 Umwandlungsregeln Regeln: exakt oder trival z.b. T to const T Promotionen (ganzzahlige Promotionen oder float double) z.b. bool int, char int, short int,(+ unsigned) float double Standardkonversionen z.b. int double, double int, double long double, int unsigned int... Numerische Methoden und Algorithmen in der Physik Hartmut Stadie 20/ 28

21 Default-Argument void f(int a = 9); { f(7); f();//f(9) } Numerische Methoden und Algorithmen in der Physik Hartmut Stadie 21/ 28

22 Hauptprogramm: main int main(int argc, char* argv[]) {...} Numerische Methoden und Algorithmen in der Physik Hartmut Stadie 22/ 28

23 Übersicht Einführung Numerische Integration Funktionen Zeiger, Felder und Strukturen Felder Zeiger Zeiger in Felder Zugriff auf Felder Speicherverwaltung Numerische Methoden und Algorithmen in der Physik Hartmut Stadie 23/ 28

24 Felder Felder: engl. arrays float v[3];//feld mit drei floats, 0-2 v[0] = 1.2;//beginnt mit 0 v[1] = 3; v[2] = v[0] + v[1]; int v1[4] = {1,2,3}; int c = v1[3]; //4 int c2 = v1[4]; //nicht definiert!!!! char text[] = { h, a, l, l, o,0} char text2[] = "Hallo";//6 Buchstaben! Numerische Methoden und Algorithmen in der Physik Hartmut Stadie 24/ 28

25 Zeiger Für Typ T: T* ist Zeiger auf Objekt von Typ T. char c = a ; char* p = &c;//adresse von c *p = b ;//Wert, auf den der Zeiger zeigt int *pi; //Zeiger auf int char** ppc; //Zeiger auf Zeiger auf char int* ap[15];//feld mit 15 Zeigern auf ints int (*fp)(char*);//zeiger auf Funktion mit char* als Argument // und int als Rueckgabetyp int* f(char*);//funktion mit char* als Argument und int* als Typ Numerische Methoden und Algorithmen in der Physik Hartmut Stadie 25/ 28

26 Zeiger in Felder Zeiger und Felder eng verwandt int v[] = {1,3,5,6}; int *pv = v;//zeiger auf erstes Element int *p2 = &v[0];//gleich! int *p3 = &v[1];//zeiger auf zweites Element ++pv; //pv zeigt nun auf zweites Element p+1 erhöht Adresse um sizeof(t) Numerische Methoden und Algorithmen in der Physik Hartmut Stadie 26/ 28

27 Zugriff auf Felder void fi(char v[]) { for(int i = 0 ; v[i]!= 0 ; ++i) use(v[i]); for(int i = 0 ; v[i] ; ++i) use(v[i]);//gleich for(char *p = v, *p, ++p) use(*p); } Kein Rangecheck Code kompiliert und crasht nicht immer Numerische Methoden und Algorithmen in der Physik Hartmut Stadie 27/ 28

28 Dynamische Felder Operator: new, new[], delete, delete[] double *d = new double; unsigned int size1= 5, size2 = 11; int *ar = new int[10]; int **ar2 = new int*[size1]; for(int i = 0 ; i < size1; ++i) ar2[i] = new int[size2]; delete[] ar; delete d3; for(int i = 0 ; i < size1; ++i) delete[] ar2[i]; delete[] ar2; Numerische Methoden und Algorithmen in der Physik Hartmut Stadie 28/ 28