Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 3

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1 Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 3 Dr. Andreas Wünsche TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik 20. April 2017 Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 3 Version: 18. April

2 1.5 Zufallsgrößen Zufallsgrößen und deren Verteilung Oft sind Ergebnisse von Zufallsversuchen in Form von Zahlen gegeben oder es ist für eine mathematische Behandlung günstig, den elementaren Versuchsausgängen Zahlen zuzuordnen. Diese vom Zufalls abhängigen Zahlenwerte werden durch eine Zufallsgröße X (oder mehrere Zufallsgrößen X 1, X 2,..., X n ) modelliert. Beispiele: Zufällige Anzahl X (von Schadensfällen, Konkursen,... ) mit möglichen Werten {0, 1, 2,...}. Zufällige Zeit X (Lebensdauer, Ausfallzeit,... ) mit möglichen Werten {x R : x 0}. Messergebnis X (Geldmenge, Temperatur,... ) mit entsprechenden Zahlenwerten (ohne Maßeinheit) als möglichen Werten. Augenzahl X beim Würfeln mit möglichen Werten {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 3 Version: 18. April

3 Mathematische Definition einer Zufallsgröße Mathematische Definition einer Zufallsgröße: Eine Abbildung (Funktion) X : Ω R heißt Zufallsgröße (reelle Zufallsvariable, kurz: ZG), falls für jedes Intervall (a, b) R, a < b die Menge {ω Ω : a < X (ω) < b} ein zufälliges Ereignis ist (dies ist die sogenannte Messbarkeitsbedingung, dabei wird ein System A von zufälligen Ereignissen mit den Eigenschaften aus den Axiomen als gegeben vorausgesetzt). Sind X, Y Zufallsgrößen zu einem Zufallsversuch, dann sind auch X + Y, X Y, X Y, X /Y falls Y 0, a X mit a R und ähnliche durch mathematische Operationen gebildete Größen Zufallsgrößen. Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 3 Version: 18. April

4 Grundtypen von Zufallsgrößen Für Zufallsgrößen interessieren vor allem Wahrscheinlichkeiten der Art P(X b), P(a < X < b) oder P(a X b) für reelle Zahlen a < b (diese bilden die Verteilung der Zufallsgröße) sowie abgeleitete Kenngrößen, wie Erwartungswerte, Varianzen usw. Es gibt zwei wichtige Grundtypen von Zufallsgrößen, die sich zum Teil mit unterschiedlichen mathematischen Hilfsmitteln untersuchen lassen: diskrete Zufallsgrößen (Zufallsgrößen mit diskreter Verteilung) und stetige Zufallsgrößen (Zufallsgrößen mit (absolut) stetiger Verteilung). Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 3 Version: 18. April

5 Diskrete Zufallsgrößen Definition: Eine Zufallsgröße X heißt diskret, wenn sie nur endlich oder abzählbar unendlich viele Werte x 1, x 2,... annehmen kann. Die Zuordnung p i := P(X = x i ), i = 1, 2,... heißt Wahrscheinlichkeitsfunktion der diskreten Zufallsgröße. Sie wird meistens durch eine Verteilungstabelle gegeben: Werte x i x 1 x 2 x 3... Wahrscheinlichkeiten p i p 1 p 2 p 3... Für die Wahrscheinlichkeiten p i gelten: 1. 0 p i 1 2. i p i = 1 Beispiel: Gerechtes Würfeln x i p i Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 3 Version: 18. April

6 Die Verteilung diskreter Zufallsgrößen Es gelten z.b. P(a X b) = i : a x i b für reelle Zahlen a b bzw. allgemein für eine Menge B R P(X B) = p i. i : x i B p i Die Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten p i efolgt durch Berechnung aus Grundannahmen (oft für typischen Situationen bzw. Verteilungen) oder experimentell mittels statistischer Methoden. Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 3 Version: 18. April

7 Zufallsgrößen mit stetiger Verteilung Definition: Eine Zufallsgröße X heißt stetig, wenn es eine integrierbare reelle Funktion f X (x) gibt, so dass P(a X b) = für beliebige reelle Zahlen a b gilt. b a f X (x) dx Die Funktion f X heißt Dichtefunktion (oder Verteilungsdichte) der Zufallsgröße X und besitzt die Eigenschaften: 1. f X (x) 0 für alle x R ; 2. f X (x) dx = 1. Sie gibt die Verteilung der Wahrscheinlichkeitsmasse auf der reellen Achse an. Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 3 Version: 18. April

8 Beispiel Zufallsgröße mit stetiger Verteilung Beispiel: Rein zufällige Auswahl eines Punktes (Wertes) X aus dem Intervall [0, 1] ( auf dem Intervall [0, 1] gleichverteilte oder gleichmäßig verteilte Zufallsgröße ). Für 0 a < b 1 gilt P(a X b) = b a. { 1, für 0 x 1, Die Dichtefunktion ist f X (x) = 0, sonst. Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 3 Version: 18. April

9 Verteilungsfunktion einer Zufallsgröße Die Verteilungen von diskreten oder stetigen Zufallsgrößen (oder anderen Typen) können vollständig durch die Verteilungsfunktion der jeweiligen Zufallsgröße beschrieben werden. Definition: Die Funktion F X einer reellen Variablen mit reellen Funktionswerten, die durch F X (x) = P(X < x) = P( < X < x), x R, definiert wird, heißt Verteilungsfunktion der Zufallsgröße X. Der Funktionswert ist für jede reelle Zahl x die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zufallsgröße X einen Wert annimmt, der kleiner als x ist. Bemerkung: Mitunter wird die Verteilungsfunktion einer Zufallsgröße X auch durch F X (x) = P(X x), x R, definiert, insbesondere in der Zuverlässigkeitstheorie. Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 3 Version: 18. April

10 Verteilungsfunktion einer diskreten Zufallsgröße Für diskrete Zufallsgrößen mit endlich vielen möglichen Werten ist die Verteilungsfunktion eine Treppenfunktion mit Sprüngen der Höhe p i an den Werten x i. Beispiel: X Augenzahl beim Würfeln mit einem gerechten Würfel: Verteilungsfunktion F X. Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 3 Version: 18. April

11 Verteilungsfunktion einer stetigen Zufallsgröße Für stetige Zufallsgrößen ist die Verteilungsfunktion eine in allen Punkten stetige Funktion. F X (x) = x f X (t) dt, x R und f X (x) = F X (x) in den Werten x, in denen die Ableitung existiert. Beispiel: Zufallsgröße X auf [0, 1] gleichverteilt: Verteilungsfunktion F X. Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 3 Version: 18. April

12 Allgemeine Eigenschaften von Verteilungsfunktionen Eine Verteilungsfunktion F X ist monoton nicht fallend. Es gilt lim X (x) = 0. x Es gilt lim X (x) = 1. x + Es gilt für beliebige reelle Zahlen a < b : P(a X < b) = F X (b) F X (a). Spezialfälle: a = : P(X < b) = F X (b), b = : P(a X ) = 1 F X (a). Für eine stetige Zufallsgröße X gelten P(a X < b) = P(a < X < b) = P(a < X b) = P(a X b). Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 3 Version: 18. April

13 1.5.2 Charakteristische Größen von Verteilungen Die Gesamtinformation, die mit einer Wahrscheinlichkeitsverteilung gegeben wird (oder gegeben werden muss) ist häufig zu umfangreich, dehalb nutzt man abgeleitete Kenngrößen, die in praktischen Situationen gut zu nutzen sind. Dabei kann man bei den Kenngrößen im Allgemeinen Lageparameter und Streuungsparameter unterscheiden. Die am häufigsten genutzte Kenngröße ist der Erwartungswert EX einer Zufallsgröße X (auch Mittelwert der Zufallsgröße genannt). Er ist ein Lageparameter, eine (nichtzufällige) reelle Zahl und beschreibt den Schwerpunkt der Wahrscheinlichkeitsmasse. Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 3 Version: 18. April

14 Erwartungswert einer Zufallsgröße I Definition: Für eine diskrete Zufallsgröße X mit möglichen Werten x 1, x 2,... und zugehörigen Wahrscheinlichkeiten p 1 = P(X = x 1 ), p 2 = P(X = x 2 ),... wird der Erwartungswert definiert durch EX = x i p i. i Für eine stetige Zufallsgröße X mit Dichtefunktion f X wird der Erwartungswert definiert durch EX = x f X (x) dx. Beispiele: X Augenzahl beim Würfeln mit einem gerechten Würfel. X gleichmäßig verteilt auf dem Intervall [0, 1]. Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 3 Version: 18. April

15 Erwartungswert einer Zufallsgröße II Beispiele: X Augenzahl beim Würfeln X gleichverteilt auf [0, 1] Einzelwahrscheinlichkeiten Dichtefunktion und Erwartungswert und Erwartungswert Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 3 Version: 18. April

16 Erwartungswert einer Zufallsgröße III Es gelten folgende Rechenregeln für Erwartungswerte: sind X und Y Zufallsgrößen und a und b reelle Zahlen, dann gelten E(a + b X ) = a + b EX ; E(X + Y ) = EX + EY. Dies sind die Linearitätseigenschaften der Erwartungswertbildung. Nicht jede Zufallsgröße besitzt einen Erwartungswert. Ist g : R R eine (z.b. stetige) Funktion und X eine Zufallsgröße, dann kann man den Erwartungswert der Zufallsgröße Y = g(x ) wie folgt berechnen: EY = Eg(X ) = i g(x i )p i für eine diskrete ZG X ; EY = Eg(X ) = g(x)f X (x) dx für eine stetige ZG X. Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 3 Version: 18. April