Hauptprüfung 2006 Aufgabe 1
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- Meike Schmidt
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1 Hauptprüfung 6 Aufgabe. Geben Sie eine Funktion h an, deren Schaubild mit der folgenden Kurve übereinstimmt. (6 Punkte). Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = x + x, x Ihr Schaubild ist K. Berechnen Sie die exakten Koordinaten der Schnittpunkte mit der x-achse. In welchem Punkt ist die Steigung von K maximal? (5 Punkte). Eine Gerade geht durch den Ursprung und den Punkt (/-). K und die Gerade schließen im. und. Quadranten eine Fläche ein. Berechnen Sie den Inhalt dieser Fläche. (6 Punkte). Die Gerade mit der Gleichung x = u mit u schneidet K im Punkt P und die x-achse im Punkt Q. Der Ursprung und die Punkte P und Q bilden ein Dreieck. Berechnen Sie u so, dass der Flächeninhalt des Dreiecks möglichst groß wird. Geben Sie den größtmöglichen Flächeninhalt an. (5 Punkte)
2 .5 Die Kurve G ist das Schaubild einer ganzrationalen Funktion g. Bezogen auf den unten gezeichneten Ausschnitt sind von den folgenden Aussagen einige falsch. Geben Sie diese an und begründen Sie Ihre Antwort. a) g () = b) g () > c) g () = d) G hat genau drei Wendepunkte e) g (6) < f) G hat genau drei Kurvenpunkte mit waagrechter Tangente g) G hat genau drei Extrempunkte h) g (x)dx < (8 Punkte) Punkte
3 Lösung Hauptprüfung 6 Aufgabe. Aufgrund des Aussehens des Schaubildes ( Nullstellen, Extrempunkte) kann man eine ganzrationale Funktion.Grades unterstellen, also h(x) = ax + bx + cx + d. Da das Schaubild außerdem symmetrisch zum Ursprung ist, besitzt die Funktionsgleichung nur ungerade Hochzahlen. Ansatz: h(x) = ax + cx mit h (x) = ax + c Bedingungen: P(/-) liegt auf dem Schaubild: h() = 8a + c = Waagrechte Tangente bei x = : h () a + c = Lösung des Gleichungssystems mit dem GTR: also a =,5 und b = -,5. Es gilt h(x) = x 8 x. Schnittpunkt mit der x-achse: f (x) = x + x x x + x = oder x = x = oder = ± = ± x, Die Nullstellen lauten N ( / ), N ( ± / ), Eine maximale Steigung befindet sich in einem Wendepunkt von f: Hinreichende Bedingung für einen Wendepunkt: f (x) = und f (x) (damit in dem Wendepunkt eine maximale (und keine minimale!) Steigung vorliegt, muss f (x) < sein) Es gilt f (x) x = + und f (x) = x und f (x) =. f (x) x x = Da f () < gilt, liegt bei x = eine maximale Steigung vor. Im Wendepunkt W(/f()) = W(/) ist die Steigung von K maximal.
4 . Ansatz für Geradengleichung: y = mx + c Da von der Gerade zwei Punkte bekannt sind, wird die Steigung berechnet mit der Formel yp yq m = = = xp xq Da die Gerade durch den Ursprung verläuft gilt c = und es ergibt sich y = x. Schnittstellen der Schaubilder von f(x) und y = x mit dem GTR: also Schnittstelle bei x = und x =. ( x ( x + x)dx = x 6 Flächenberechnung:. A = + x ( x))dx = = + = 6 FE 6 + x Für die Dreiecksfläche gilt: A = g h = OQ PQ
5 Es gilt OQ = u = u und PQ = f(u) = f(u) = u + u Die Zielfunktion lautet daher A (u) = u u + u = u + u mit u 8 Hinreichende Bedingung für eine maximale Fläche: A (u) = und A (u) < Es gilt A (u) u = + u und A (u) = u + A (u) u + u u u + u = oder u = ± 6 A () > Minimum A ( 6) = 6 < relatives Maximum mit A ( 6) =, 5 FE. Für die Randwerte gilt A() = und A ( ) =. Damit liegt bei u = 6 ein absolutes Maximum vor..5 a) ist richtig, da bei x = ein Sattelpunkt vorliegt, der eine waagrechte Tangente besitzt. b) ist falsch, da die Steigung an der Stelle x = negativ ist c) ist richtig, da bei x = ein Wendepunkt (sogar ein Sattelpunkt) vorliegt d) ist richtig, und zwar bei x =, bei x = und bei x =,5. e) ist falsch, da bei x = 6 keine Rechtskurve, sondern eine Linkskurve vorliegt f) ist richtig, und zwar bei x =, bei x = und bei x = 6 g) ist falsch, da nur bei x = ein Hochpunkt und bei x = 6 ein Tiefpunkt existiert h) ist falsch, da der Flächenanteil unterhalb der x-achse (zwischen x = - und x = ) kleiner ist als der Flächenanteil oberhalb der x-achse (zwischen x = und x = ) 5
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