Tutorial: χ 2 -Test auf vorgegebene Verteilung

Transkript

1 Tutorial: χ 2 -Test auf vorgegebene Verteilung Das Management eines Kaufhauses will durch eine Werbekampagne eine Verjüngung der Kundschaft erreichen. Bisher war die Verteilung (in %) auf Altersschichten wie folgt: Altersverteilung < >=

2 Einen Monat nach Beendigung der Werbekampagne ergab eine Untersuchung an 200 Kunden folgende Altersverteilung (in %): Alter < >=

3 Ist durch die Werbekampagne eine Veränderung in der Alterstruktur der Kundschaft eingetreten? Dazu wurde folgender Test gerechnet: Chi-squared test for given probabilities data: table(alter) X-squared = 11.31, df = 5, p-value =

4 Welche der folgenden Aussagen über diesen Test sind richtig, welche falsch? 1. Die Nullhypothese lautet: die Verteilung auf die Altersklassen hat sich durch die Werbekampagne verändert. Der errechnete p-wert ist größer als das Signifikanzniveau von 1%, daher wird diese Hypothese beibehalten. 2. Die Tabelle mit den Anteilen in der Stichprobe zeigt eine Verschiebung hin zu jüngerer Kundschaft. Man kann also schließen, dass die Werbekampagne erfolgreich war. 3. Die Nullhypothese lautet: die Verteilung auf die sechs Altersklassen ist gleich wie vor der Werbekampagne. Bei einem Signifikanzniveau von 5% wird diese Hypothese verworfen.

5 1. Die Nullhypothese lautet: die Verteilung auf die Altersklassen hat sich durch die Werbekampagne verändert. Der errechnete p-wert ist größer als das Signifikanzniveau von 1%, daher wird diese Hypothese beibehalten. Falsch. Die Nullhypothese ist falsch formuliert. In der richtigen Nullhypothese wird dieselbe Altersverteilung wie vor der Werbekampagne angenommen. 2. Die Tabelle mit den Anteilen in der Stichprobe zeigt eine Verschiebung hin zu jüngerer Kundschaft. Man kann also schließen, dass die Werbekampagne erfolgreich war. Falsch. Allein aus einer grafischen oder numerischen Beschreibung von Daten können keine Schlüsse auf die Grundgesamtheit gezogen werden. Man kann zwar Vermutungen äußern, läuft aber auch Gefahr, sich von Besonderheiten der Stichprobe in die Irre leiten zu lassen.

6 3. Die Nullhypothese lautet: die Verteilung auf die sechs Altersklassen ist gleich wie vor der Werbekampagne. Bei einem Signifikanzniveau von 5% wird diese Hypothese verworfen. Richtig. Die Nullhypothese ist richtig formuliert. Der Vergleich des p-wertes mit dem Signifikanzniveau führt zum Schluß, dass die Nullhypothese verworfen wird.

7 Das Alter der Kunden (Beobachtungseinheiten) wurde in Altersklassen eingeteilt. Daher liegen ordinale und somit kategoriale Daten vor. Eine einfache Auszählung dieser Daten kann in Tabellenform oder als Balkendiagramm präsentiert werden. Zur Überprüfung, ob sich eine Veränderung in der Altersstruktur der Kundenschaft gegenüber der Zeit vor der Werbekampagne ergeben hat, wurde ein χ 2 -Test eingesetzt. Wie bei statistischen Tests üblich, wird einer Nullhypothese eine Alternativhypothese gegenüber gestellt. Hier lautet die Nullhypothese, dass alle Kategorien gleich oft wie vor der Werbekampagne vorkommen. Die Alternativhypothese ist die Verneinung der Nullhypothese, in mindestens einer Altersklasse hat sich eine Verschiebung ergeben. Beim χ 2 -Test misst die Teststatistik die Abweichung der beobachteten Häufigkeiten (hier sind es die Zahlen 24, 29, 37, 38, 37, 35) von den (falls die Nullhypothese gilt) erwarteten Häufigkeiten. Vor der Werbekampagne waren 10% der Kunden jünger als 20. Bei insgesamt 200 befragten Kunden würde man, so sich durch die Werbekampagne nichts verändert hat, erwarten, dass 10% davon (also 20) in diese Altersklasse fallen. Analog für die anderen Altersklassen errechnet man leicht die erwarteten Häufigkeiten (20, 20, 30, 40, 40, 50) Die Teststatistik für dieses Beispiel berechnet sich nach X 2 = (24 20) (29 20) (35 50)2 50 = 11.31

8 Kleine Werte (nahe 0) sprechen eher für, große Werte gegen die Nullhypothese. Der Wert der Teststatistik (X-squared) findet sich im Output wieder. Die Verteilung der Teststatistik ist zumindest asymptotisch bekannt, es ist eine χ 2 -Verteilung mit 5 (Anzahl Altersklassen - 1) Freiheitsgraden (im Output df=5). Man kann daher (zumindest asymptotisch) berechnen, wie wahrscheinlich Werte im Intervall [11.31, ) sind; das ist gerade der p-wert (p-value) für diesen Test, er ist im ebenfalls im Output zu finden und beträgt Ist der p-wert kleiner als das gewählte Signifikanzniveau, wird die Nullhypothese verworfen, ansonsten beibehalten.