Ergänzungen zum Vortrag Allgemeine Relativitätstheorie in der Schule auf der W.E. Heraeus-Fortbildung Astrophysik 2014 im Haus der Astronomie

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1 Ergänzungen zum Vortrag Allgemeine Relativitätstheorie in der Schule auf der W.E. Heraeus-Fortbildung Astrophysik 2014 im Haus der Astronomie 1 Grundlagen Gravitation 1.1 Äquivalenzprinzip Markus Pössel, Alternative Formulierung, die auch für die Schule interessant sein könnte: Verschiedene Rollen der Masse als Trägheitseigenschaft (träge Masse) m i und Gravitationsladung (schwere Masse) m g unterschieden. Newton sche Beschreibung ist dann F = m i x vs. F( r) = GMm g r r q r r q 3 (1) und offenbar gilt in unserem Universum in sehr guter Näherung m g = m i. Klassische Tests dieser Gleichheit wie die Torsionswaage von Eötvös lassen sich auch mit Schulmathematik gut berechnen. 1.2 Trödelprinzip Mein Lieblingsübergang zur geometrischen Beschreibung ist das Trödelprinzip : In der speziellen Relativitätstheorie sind die kräftefreien Bahnen (wie in der klassischen Mechanik!) die geraden Bahnen, die mit konstanter Geschwindigkeit durchlaufen werden, vierdimensional ausgedrückt: Raumzeitgeraden. Durch einfache Rechnungen (Zwillingsproblem!) kann man zeigen, dass Raumzeitgeraden gerade jene Verbindungen zwischen zwei Ereignissen A und B sind, auf denen für eine entlang der Raumzeitgerade reisende Uhr die längste (Eigen-)Zeit vergeht. Das lässt sich als Trödelprinzip formulieren: Teilchen, die kräftefrei von A nach B reisen, verhalten sie so, dass für sie die maximale Eigenzeit vergeht, vulgo: sie trödeln. Führt man zusätzlich zur relativistischen Zeitdilatation noch so etwas wie eine ortsabhängige Zeitgeschwindigkeit ein (vgl. gravitationsbedingte Rotverschiebung und Zeitdehnung unten), muss für Teilchen, die dem Trödelprinzip genügen sollen, ein Kompromiss gefunden werden, wenn B in einer Zone deutlich langsamerer Zeit liegt als A: Möglichst viel Eigenzeit vergeht, wenn das Teilchen so lange wie möglich auf Höhe von A bleibt, wo die Zeit schneller vergeht. Andererseits: Wenn das Teilchen dann zu stark an Geschwindigkeit gewinnen muss, um wie vorgeschrieben am Ende doch noch zu B zu gelangen, macht die speziell-relativistische Zeitdilatation einen Teil des Nutzens wieder zunichte. Wie sich herausstellt, ist dieser Kompromiss im einfachsten Fall (gravitative Zeitdilatation durch konstantes Potential) gerade die gewohnte Fallparabel. Newton sche Gravitation ist in Einsteins Theorie natürlicherweise durch variable Zeitgeschwindigkeit (Koordinatenzeit vs. Eigenzeit) realisiert. Details, aber keine Rechnungen: Pössel, Das Einstein-Fenster, Kap. 4 und 5 1

2 1.3 Das problematische Gummituch Das Gummituch ist ein oft verwendetes Bild: Man stelle sich ein waagerecht aufgespanntes Gummituch vor, auf dem eine Bowlingkugel ruht entsprechend ist das Gummituch eingedellt, die Kugel ruht in einer tiefen Senke. Lässt man jetzt Murmeln über das Gummituch laufen, werden diese durch die Delle abgelenkt und können evt. sogar auf kreisähnlichen Bahnen in der Delle umlaufen. Die Standard-Erklärung dazu: So kann die Verzerrung des Raumes durch Massen die Wirkung der Gravitation (Ablenkung durch Anziehung, Umlaufbahnen) erklären! Ich finde das Gummituch aus mehreren Gründen sehr problematisch: Die Gravitation spielt eine merkwürdige Doppelrolle: Die echte Gravitation lässt die Bowlingkugel nach unten sinken und hält die Murmeln in ihren Dellen- Bahnen. Aber ihr kommt in der Analogie gar keine Rolle zu, denn in der Analogie soll die Gravitation ja gerade eine Folge der Verzerrung des Gummituches sein das wäre sozusagen die Analogie-interne Entsprechung der Gravitation. Beim Gummituch geht beides durcheinander. Das ist höchst verwirrend. Aus der ART kann man ablesen, dass sich in typischen Situationen mit schwacher Gravitation (Erde und gesamtes Sonnensystem!) die Koordinaten so wählen lassen, dass Newton sche Gravitation (Planetenbahnen etc.) Zeitverzerrung ist. Raumverzerrungseffekte spielen nur bei der Lichtausbreitung eine Rolle. Das Gummituch suggeriert wenn nicht explizit anders dazu gesagt dass die Raumverzerrung die Hauptrolle spielt. Besonders gute Analogien lassen sich weiterverfolgen bei dieser hier darf man auch quantitativ nicht zu genau hinsehen, vgl. Middleton & Langston, American Journal of Physics 82 (2014), Einstein-Gleichungen Die geometrische Beschreibung weiterzutreiben und die Metrik einzuführen, ist prinzipiell auch auf Schulniveau möglich, aber dürfte aus Zeitgründen auf Ausnahmesituationen (z.b. Projektwoche, AG) beschränkt bleiben. Wie man den Begriff der Metrik als Verallgemeinerung von dl 2 = dx 2 + dy 2 bzw. relativistisch dτ 2 = dt 2 c 2 dx 2 einführt, habe ich in Das Einstein-Fenster Kap. 5 näher beschrieben. Problematisch wird es aber spätestens bei Einführung der Krümmungsgrößen und dem Einfluss der Krümmung auf Ableitungen. Die lässt sich zwar auch noch einigermaßen auf der Kugel veranschaulichen, und der Bezug zu Gezeitenkräften lässt sich zeigen. Der Sprung zu den Einstein-Gleichungen, also zu (Ausdruck für Raumzeitkrümmung) = (Ausdruck für Energie-Impulsinhalt der Materie) ist aber sehr schwierig. Der beste mir bekannte Ansatz ist John C. Baez & Emory F. Bunn, Amer. Jour. Phys. 73 (2005), ; 2

3 2 Lichtablenkung R ϑ Newton sche Rechnungen (Anfangsgeschwindigkeit v = c) ergeben (im Bogenmaß): ϑ = 2GM c 2 R. (2) Bis auf den Faktor 2 erhält man diese Kombination natürlich auch aus Dimensionsbetrachtungen das ist die einfachste Weise, aus den Größen, die bei dem Problem eine Rolle spielen, eine dimensionslose Größe (Winkel in Radian) zu erhalten. Vereinfachte Rechnungen wie auf (einfacher freier Fall, Näherung Potenzial mit konstanter Gravitationsbeschleunigung, aber wirkt nur in der Nähe des Körpers auf begrenzter Strecke) sind eher so etwas wie verklausulierte Dimensionsbetrachtungen die Form ist durch die Dimensionsbetrachtungen festgelegt, der richtige Vorfaktor kommt nur durch geeignete Wahl der Vereinfachungsbedingungen heraus. Die richtige Newton sche Rechnung (Johann Georg von Soldner 1804) mit Hyperbelbahn ist im Prinzip schultauglich, aber länglich/umständlich benötigt einiges an einfacher, aber ungewohnter Geometrie. 3 Periheldrehung Auch hier lässt sich ein Wert im Prinzip auch mit erweiterten schulischen Mitteln berechnen, aber wiederum nur in bedingt praxistauglicher Weise. Systeme wie der Doppelpulsar PSR J sind überhaupt die besten Testfälle für die relativistische Mechanik auch Lichtablenkung, Shapiro-Effekt etc; vgl. den Artikel zu den Forschungen von Michael Kramer in Max Planck Forschung 3/2013, Gravitations-Rotverschiebung Die Formel für die einfache Gravitationsrotverschiebung (konstante Schwerebeschleunigung) lässt sich direkt aus dem Äquivalenzprinzip herleiten. Hier sind die Grundelemente der Situation skizziert: Ein Sender S, der ein Photon zu dem um die Höhendifferenz h tieferen Empfänger E sendet: 3

4 S Sys 1 t(senden) h Sys 2 t(empfang) E Ebenfalls eingezeichnet sind zwei frei fallende Bezugssysteme 1 und 2, die freilich nie gemeinsam so sichtbar sind wie in dieser Skizze: Das System 1 befindet sich nur zum Zeitpunkt der Aussendung des Photons in Ruhe relativ zum Sender und fällt ansonsten frei nach unten; das System 2 befindet sich nur zum Zeitpunkt der Ankunft des Photons beim Empfänger E relativ zu jenem in Ruhe und fällt ansonsten ebenfalls frei. Zum Sendezeitpunkt befinden sich System 1 und Sender relativ zueinander in Ruhe. Die Frequenz ν S bzw. die damit zusammenhängende Wellenlänge λ S, welche ein permanent am Ort des Senders ruhender Beobachter feststellt, sind daher auch die Frequenz bzw. Wellenlänge des Photons im System 1. Das System 1 fällt frei nach unten. In ihm gelten entsprechend dem Äquivalenzprinzip die Gesetze der speziellen Relativitätstheorie auch für die Lichtausbreitung: die Wellenlänge und Frequenz des Photons ändern sich bei dessen Reise nach unten zum Empfänger nicht! Das System 2 befindet sich zum Zeitpunkt des Eintreffens des Photons am Empfänger E relativ zu E in Ruhe. Frequenz ν E und Wellenlänge λ E, die ein Beobachter im System 2 misst, sind daher dieselben, wie sie auch ein permanent relativ zum Empfänger ruhender Beobachter feststellt. Auch in System 2 gilt dank Äquivalenzprinzip die spezielle Relativitätstheorie; das heißt aber insbesondere, dass die Frequenzen, die Beobachter in System 1 und System 2 messen, über den speziell-relativistischen Dopplereffekt verknüpft sind bzw. bei kleinen Geschwindigkeit in guter Näherung über den klassischen Dopplereffekt z = v c (3) für z λ E λ S λ S, (4) wobei das Minuszeichen dem Umstand Rechnung trägt, dass das frei fallende System 1 hinter dem Photon her in dessen Ausbreitungsrichtung fliegt und wobei v die Rela- 4

5 tivgeschwindigkeit der beiden Systeme zu demjenigen Zeitpunkt ist, zu dem der Vergleich vorgenommen wird. In unserem Fall ist der Vergleich zum Zeitpunkt des Eintreffens des Photons bei E interessant. Zu diesem Zeitpunkt hat das System 1 aufgrund der konstanten Schwerebeschleunigung g rein klassisch gerechnet die Geschwindigkeit v = g h c (5) relativ zum Empfänger E und damit zu diesem Zeitpunkt auch relativ zum System 2. (Warum? Das Photon benötigt vom Sendezeitpunkt, zu dem System 1 relativ zu der Anordnung ruht, bis zum Eintreffen am Empfänger die Zeit h/c. Bei konstanter Beschleunigung g hat das System während dieser Zeit die genannte Geschwindigkeit relativ zu E erreicht.) Damit kommt man in der Tat auf z = gh c 2. (6) Die Verallgemeinerung zum Newton schen 1/r 2 -Potenzial kann man entweder nur postulieren oder durch genauere Beschreibung des Falles von System 1 ableiten. Von der Gravitations-Blauverschiebung bzw. in die Gegenrichtung (Photon steigt nach oben) Rotverschiebung zur Gravitations-Zeitdilatation gelangt man wie folgt. Wenn wir in dieser Situation den Gang von Uhren mithilfe von Lichtsignalen vergleichen, die wir z.b. von S nach E schicken, dann sollte egal wie wir messen, solange wir konsistent messen! jedes der Signale die gleiche Zeit benötigen, um von S zu E zu fliegen (schließlich verändert sich an der Situation mit der Zeit nichts!). Dann sollten aber auch Signale, die bei S in einem Zeitabstand t abgeschickt werden unten bei E im gleichen Zeitabstand t ankommen! Tatsächlich misst ein permanent relativ zum Empfänger E ruhender Beobachter aber für die entsprechenden Zeitsignale einen geringeren Zeitabstand t (ganz analog zur oben abgeleiteten Gravitations-Blauverschiebung für die Argumentation macht es keinen Unterschied, ob wir getrennte aufeinanderfolgende Lichtsignale oder Wellenberge ein und desselben Lichtsignals betrachten). Das lässt sich nur erklären, wenn wir annehmen, eine bei E ruhende Uhr ginge langsamer als eine bei S ruhende Uhr. Die genannte Beziehung zwischen den Frequenzen folgt direkt aus dem Vergleich durch Lichtsignale. Wenn man es ganz genau nehmen will, kann man durch Uhrentransport von S nach E, dann lange Laufphase in E [so dass Effekte aufgrund der Bewegung beliebig klein gemacht werden können], dann zurück nach S, dass eine Uhr, von der Lichtsignale zeigen, dass sie langsamer geht, auch tatsächlich langsamer geht nämlich weniger oft Tick macht als eine Referenzuhr, vgl. Rindler, Relativity: Special, General and Cosmological (2001), Abschnitt Der exakte Ausdruck in der Umgebung einer kugelsymmetrischen Masse M ist: ν 2 ν 1 = 1 R/r 1 1 R/r 2 mit R = 2GM c 2 5

6 dem Schwarzschild-Radius (Rechnung benutzt die Schwarzschild-Metrik: Eigenschaften der Raumzeit rund um eine kugelsymmetrische Masse). 5 GPS Mit vereinfachten Kreisbahnen, 3. Kepler schem Gesetz, dem eben abgeleiteten Gesetz für den Gravitationseinfluss auf den Uhrengang und der speziell-relativistischen Zeitdilatation kann man direkt berechnen, wie die Ganggeschwindigkeit an Bord der GPS-Satelliten relativ zu irdischen Atomuhren verändert ist. Für die GPS-Satelliten ist Bahnradius a = ( ) km; nutzt man das 3. Kepler sches Gesetz, erhält man Die Bahngeschwindigkeit ist T 2 = 4π2 GM a3 = (11,97 Stunden) 2. (7) v = GM a = Φ(a) 3,9 km/s mit Gravitationspotential Φ(r). (8) Speziell-relativistische Zeitdilatation alleine setzt Zeiten, gemessen auf dem Satelliten und auf der Erde, in Beziehung wie τ S at = τ Erde 1 (v/c) 2 = τ Erde 1 GM c 2 a τ Erde 0, (9) Gravitations-Rotverschiebung alleine dagegen würde bewirken, dass die Satellitenuhr schneller läuft als die irdische Uhr, [ τ S at = τ Erde 1 + GM ( 1 c 2 1 )] τ Erde 1, (10) r E a (mit r E dem Erdradius). Betrachtet man statt Zeitintervallen Frequenzen ν 1/T und berücksichtigt beide Effekte, bekommt man heraus: Eine Uhr mit Frequenz ν S at auf dem GPS-Satelliten hat von der Erde aus gemessen (Lichtsignale) die Frequenz [ ν Erde = ν S at 1 + GM ( 1 c 2 1 )] r E a 1 GM c 2 a ν S at (1 + 4, ). (11) Die Lösung der GPS-Konstrukteure: normale Grundfrequenz der verwendeten Atomuhren ist 10,23 MHz; Satellitenuhren sind aber eingestellt auf 10, MHz (für unsere Rechnung käme als vor-korrigierte Frequenz heraus: 10, MHz). Um wieviel würde GPS danebenliegen, wenn man die Korrektur nicht vornimmt? Dazu gibt es leider eine häufige falsche Überlegung/Rechnung, die wie folgt geht: Der Tag hat Sekunden, in dieser Zeit würden unkorrigierte Satellitenuhren um t = 3, Sekunden vorgehen. 6

7 Satelliten bestimmen Entfernungen über Lichtlaufzeiten; typischer Abstandsfehler bei diesem Zeitfehler ist beim Vergleich von Satellitenuhren mit GPS-Empfängeruhren auf der Erde c t 10 Kilometer (12) pro Tag! Diese Argumentation findet man nicht selten so auch in der populärwissenschaftlichen Literatur (leider auch bei mir in Texten Jahrgang 2005) und z.b. auch auf In Wirklichkeit haben GPS-Empfänger aber keine Atomuhr aufgebaut Zeit und Ort werden aus direktem Vergleich von mindestens vier Satellitensignalen bestimmt! Für reine Abstandsfehler durch Lichtsignallaufzeit ist die charakteristische Zeitskala a/c < 0,1 s und über diesen Zeitraum hinweg gehen Satellitenuhren höchstens um t = s falsch, entsprechend c t 1 cm (13) und damit weit unterhalb der Genauigkeit von GPS. Ein deutlich größerer Fehler ergibt sich wie folgt: Ist der Ort des Empfängers relativ zu den Satelliten bestimmt, benutzt das System auf die irdische Zeit bezogene Ephemeriden (sprich: Bahndaten für die Satelliten; wann ist ein bestimmter Satellit wo?), um den Ort relativ zum irdischen System (geographische Breite/Länge) zu berechnen. Wären die Atomuhren der Satelliten nicht korrigiert, würde das System in den Ephemeriden zu etwas falscher Zeit nachschauen und bei der Ortsbestimmung entsprechend leicht versetzte Satellitenpositionen verwenden. Je länger das System läuft, umso größer ist der Effekt; in der Praxis gibt es aber eine natürliche Grenze, da die Satellitenzeit einmal pro Woche mit der Zeit irdische Kontrolluhren abgeglichen und entsprechende Korrekturterme festgesetzt werden. Der maximale Fehler dieser Art tritt daher nach einer knappen Woche auf, direkt vor der nächsten Rücksetzung des Systems. Nach einer Woche, also Sekunden, gingen die unkorrigierten Satellitenuhren um t = 2, s (14) vor. Eine grobe Abschätzung verwendet als charakteristische Geschwindigkeit die Bahngeschwindigkeit der Satelliten. Das ist natürlich vereinfacht schließlich verschieben sich die Satelliten mit der Zeit ja auch relativ zueinander, was den Fehler komplizierter macht. Nehmen wir die einfache Näherung trotzdem vor, erhalten wir einen Satelliten-Positionsfehler von s S at (3, 9 km/s) (2, s) 1m. (15) Das wäre auch der Fehler, wenn die Satelliten insgesamt alle in die gleiche Richtung um den geschätzten Positionsfehler versetzt werden. Andererseits kann man argumentieren, dass Länge und Breite auf der Erde berechnet werden; sind die Satelliten insgesamt alle um den Erdmittelpunkt um einen Winkel versetzt, der bei ihrem Abstand gerade einer Positionsänderung von 1 Meter entspricht, bekommt man als irdischen Navigationsfehler s Erde = s S at re 25 cm. (16) a 7

8 heraus. Während der Zeit t dreht sich natürlich auch die Erde unter der Satellitenkonfiguration weg, und zwar für einen Ort bei geographischer Breite φ um s rot = 2πr E cos φ t = cos φ 12 cm (17) 24 h wobei ich beim Übergang zum Ausdruck rechts den Erdradius r E = 6370 km eingesetzt habe. Eine genauere Rechnung ergibt, dass der Fehler insgesamt doch im Mittel bei 1 Meter liegt das ist in derselben Größenordnung wie andere GPS-Fehler; dass man diesen Fehler vermeiden kann, ist also durchaus eine sinnvolle Verbesserung der praktischen Genauigkeit. Als Fazit bleibt: Relativistische Effekte (SRT + Äquivalenzprinzip) sind im GPS- System eindeutig nachzuweisen (relative Genauigkeit der Atomuhren 10 13, so dass sich die Betreiber am Ende jeder Woche über denselben deutlich messbaren Fehler wundern würden). Berücksichtigung der relativistischen Effekte bringt merkliche Verbesserung der GPS-Fehlerbilanz. Aber es ist keineswegs so, dass GPS völlig funktionsuntauglich würde, wenn man die Relativitätstheorie weglässt. 6 Kosmologische Rechnungen 6.1 Homogene Universumsmodelle Ausgangspunkt der hier vorgestellten homogenen Modelle des Kosmos möge ein gedanklicher instantaner Schnappschuss des Universums sein, welcher das Universum so dokumentiert, wie es jetzt, in diesem Moment, ist. Der Schnappschuss zeige die räumliche Verteilung von Abermilliarden von Galaxien. Deren innere Struktur interessiert uns in diesem Modell nicht, und wir stellen uns die Galaxien als Punktteilchen vor ( Galaxienstaub ). Das unser Universum auf großen Skalen homogen ist, bedeutet: Messen wir an verschiedenen Stellen im Raum für ein hinreichend großes Volumen (z.b. Würfel der Kantenlänge einige hundert Millionen Lichtjahre) die mittlere Dichte, dann erhalten wir immer in etwa den gleichen Dichtewert - unabhängig davon, wo im All wir unser Volumen positionieren. Wir werden die Homogenität ausnutzen und den Materieinhalt unseres Universum in unseren Rechnungen oft idealisiert als homogenes Medium betrachten. (In einem komplett homogenen Medium ist die Dichte überall, auch auf kleinsten Größenskalen, konstant.) In solch einem Medium gilt: Die Masse M in einer gegebenen Raumregion ist gleich dem Produkt der (überall konstanten) Dichte ρ und dem Volumen V der betreffenden Region, M = ρv. Gedanklich verwenden wir also zwei Bilder parallel zueinander: Das Bild von frei im Raume schwebenden Galaxien und das eines perfekt homogen erfüllten Raums. Auf einige Grenzen dieser Modellvorstellung werde ich unten noch eingehen. 6.2 Skalenfaktor-Expansion Die Anordnung von Galaxien in unserem gedanklichen instantanen Schnappschuss lässt sich vollständig beschreiben, wenn man alle paarweisen Abstände der Galaxien 8

9 zueinander angibt. (Tatsächlich benötigt man sogar nur eine Untermenge all der vielen paarweisen Abstände.) Das gängige Modell für kosmischenexpansion ist die Situation, dass sich all jene wechselseitigen Abstände proportional zu demselben globalen zeitabhängigen Skalenfaktor a(t) ändern. In anderen Worten: Betrachte ich zwei beliebige Galaxien A und B, die auf einem zur Zeit t 1 angefertigten instantanen Schnappschuss den Abstand d AB (t 1 ) und zu einer anderen Zeit t 2 den Abstand d AB (t 2 ) haben, dann hängen diese beiden Abstände über d AB (t 2 ) = a(t 2) a(t 1 ) d AB(t 2 ), (18) wobei die Funktion a(t) unabhängig davon ist, welche beiden Galaxien wir betrachten. Solche Abstandsänderungen proportional zum Skalenfaktor werden auch als Hubble- Fluss oder Hubble-Flow bezeichnet ( die Galaxien folgen dem Hubble-Flow ). Kosmische Expansion liegt vor, wenn a(t) mit fortschreitender Zeit t wächst. Der umgekehrte Fall, kosmischer Kollaps, lässt sich mit solchen Modellen ebenfalls beschreiben, trifft aber heutigem Wissen nach weder auf die Vergangenheit unseres Weltalls zu noch auf seinen gegenwärtigen Zustand oder seine Zukunft. 6.3 Caveats: Eigenbewegung und wo wir es uns zu einfach gemacht haben Einige Caveats zu unserem Modell sind angebracht. Das erste betrifft eine Grenze unseres Modells. Wirkliche Galaxien weichen in ihren Bewegungen üblicherweise etwas vom Hubble-Flow ab - mit sogenannten Eigenbewegungen von bis zu rund 1000 Kilometer pro Sekunde. Wie sehr die Eigenbewegungen relativ zum Hubble-Flow ins Gewicht fallen, hängt von den Abständen ab, die man betrachtet. Beobachten wir Galaxien, die uns vergleichsweise nahe sind, wird die Eigenbewegung dominieren. Ab Abständen von 50 Millionen Lichtjahren und mehr beginnt der Hubble-Flow wichtiger zu werden als die Eigenbewegung; bei noch größeren Abständen beginnt er die Abstandsänderung ferner Galaxien relativ zu uns komplett zu dominieren. Das zweite Caveat betrifft unseren Umgang mit der Zeitkoordinate. Die oben eingeführte Vorstellung gedanklicher Schnappschüsse des Galaxienstaubs, auf denen das Universum jeweils auf großen Skalen homogen erscheint, setzt implizit bereits eine ganz bestimmte Zeitkoordinate voraus der Schnappschuss soll die Eigenschaften des Universums jetzt, in diesem Moment, festhalten; das setzt voraus, dass wir bereits einen bestimmten Gleichzeitigkeitsbegriff definiert haben, anhand dessen wir bestimmen können, was jetzt im Zusammenhang mit dem betrachteten Modell überhaupt bedeuten soll. Dass sich ein solcher Gleichzeitigkeitsbegriff einfach definieren lässt, hängt direkt mit der Homogenitätseigenschaft zusammen; verkürzt gesagt: Nur mit dieser Wahl des Gleichzeitigkeitsbegriffs hat das Universum auf instantanen gedanklichen Schnappschüssen tatsächlich überall die gleiche Dichte. Zuletzt sei noch angemerkt, dass unsere gedanklichen Schnappschüsse wirklich instantan sind. Ein wirklicher Schnappschuss dokumentiert, welches Licht zum Aufnahmezeitpunkt bei der Kamera ankommt und zeigt entfernte Regionen des Universums dementsprechend so, wie sie in der Vergangenheit (nämlich zur Zeit der Lichtaussendung) waren. Unsere gedanklichen Schnappschüsse sollen dagegen tatsächlich den Zustand des Universums in dem gewählten Augenblick festhalten. 9

10 6.4 Entwicklung des Skalenfaktors mit der Zeit Ein zentraler Teil der modernen kosmologischen Modelle ist die Beschreibung dafür, wie sich der kosmische Skalenfaktor a(t) mit der Zeit ändert, und wie seine Zeitabhängigkeit durch den Materieinhalt des Universums bestimmt wird. Würden wir im Rahmen der Allgemeinen Relativitätstheorie agieren was weit jenseits des hier gewählten Niveaus liegt! dann würden wir die Raumzeiteigenschaften eines homogenen und isotropen Universums in geeigneten Koordinaten hinschreiben (Robertson-Walker-Metrik), ebenso einen sinnvollen Ansatz für Energie und Impuls einfacher Materie in solch einem Universum (Energie-Impuls-Tensor eines idealen Fluids), und dann würden wir die beiden Objekte über die Einstein-Gleichungen zueinander in Beziehung setzen. Das Ergebnis solchen Vorgehens sind die Friedmann- Gleichungen, welche die zeitliche Änderungsraten des kosmischen Skalenfaktors mit Dichte und Druck der Materie verknüpfen. Tatsächlich lassen sich wesentlichen Eigenschaften der Friedmann-Gleichungen auch mithilfe der Newton schen Beschreibung der Gravitation herleiten - mit einer Zusatzannahme, die wir unten noch treffen werden. Dazu betrachten wir zwei Galaxien im Hubble-Flow; eine davon setzen wir der Bequemlichkeit halber in den Nullpunkt des Raumkoordinatensystems, in dem wir die Geschehnisse beschreiben. Der (zeitabhängige) Abstand der zweiten Galaxie von der ersten sei r(t). Wir teilen das Weltall jetzt in zwei komplementäre Regionen: Die Vollkugel mit Radius r(t) um den Nullpunkt herum und den ganzen Rest. Auf ein Objekt in (oder gerade auf der Grenze) der Vollkugel wird die Masse der außenliegenden Region insgesamt keine Anziehung ausüben. Das kann man direkt aus dem Newton schen Resultat für die Anziehungskraft von Massen-Kugelschalen ableiten: Auf Testteilchen innerhalb der Kugelschale übt eine kugelschalenförmige Massenanordnung keinerlei Anziehungskraft aus; auf Testteilchen außerhalb wirkt eine Kugelschale so, als sei ihre gesamte Masse als Punktmasse im Mittelpunkt der Kugel konzentriert. Letzere Aussage sagt uns auch, wie die Masse der Vollkugel auf die am Rande befindliche Galaxie 2 wirkt, nämlich so, als sei ihre gesamte Masse eine Punktmasse im Raumnullpunkt. Die Newton sche Gravitationsbeschleunigung sagt uns, dass die Galaxie 2 in dieser Situation entsprechend r(t) = GM r(t) 2 (19) auf den Raumnullpunkt zu beschleunigt wird. Wir haben dabei die Konvention benutzt, dass ein Punkt über einer Größe deren erste Ableitung nach der Zeit anheigt, zwei Punkte bedeuten die zweite Ableitung nach der Zeit, und so weiter. Die Masse M der Vollkugel lässt sich dabei durch die (zeitabhängige) Dichte ρ(t) unseres Kosmos ausdrücken, und zwar ergibt sich aus der üblichen Formel für das Kugelvolumen Eingesetzt ergibt das für die Beschleunigung M = 4 3 πr(t)3. (20) r(t) = 4Gπ r(t) ρ(t). (21) 3 10

11 An dieser Stelle folgt die schon angekündigte Zusatzannahme. Sie betrifft Materie, die einen inneren Druck p(t) besitzt; für unseren Staub nebeneinander herschwebender Galaxien, mit p = 0, bringt sie keine neuen Erkenntnisse, aber für die Behandlung des frühen Universums, in dem Plasma, Gas und Strahlung dominieren, erweist sie sich als essentiell. Die Zusatzannahme, direkt übernommen aus der Allgemeinen Relativitätstheorie, besagt, dass nicht nur Masse und Energie, sondern auch Druck eine Quelle von Gravitation ist. In der hier geschilderten Situation ist dieser Umstand korrekt berücksichtigt, wenn man die Ersetzung ρ ρ + 3p c 2 vornimmt. Ausserdem bekommt ρ eine etwas andere Bedeutung: Der Masse-Energie- Äquivalenz nach (E = mc 2!) trägt der gesamte Energieinhalt der Materie zur Dichte bei (kinetische Energie, thermische Energie etc.); im herkömmlich Newton schen Falle dagegen wäre ρ lediglich die Dichte derjenigen Größe gewesen, die in Einsteins spezieller Relativitätstheorie der Ruhemasse entspricht. Die Beschleunigungsgleichung wird dann r(t) = 4Gπ 3 r(t) [ ρ + 3p ] c 2. (22) Jetzt müssen wir noch berücksichtigen, dass die zeitliche Entwicklung von r(t) komplett durch den kosmischen Skalenfaktor bestimmt wird, und zwar ist r(t) = r(t 0) a(t 0 ) a(t) für eine beliebig gewählte Bezugszeit t 0. Eingesetzt in Gleichung (22) kann man die nicht zeitabhängigen Faktoren r(t 0 ) und 1/a(t 0 ) auf beiden Seiten herauskürzen. Übrig bleibt eine Gleichung, die nicht mehr von den spezifischen Eigenschaften der Galaxie 2 abhängt, sondern nur noch Skalenfaktor, Dichte und Druck in Beziehung setzt; hätten wir für unsere Betrachtungen ein anderes Galaxienpaar gewählt, wären wir am Ende auf genau diese selbe Gleichung gestoßen. Die Gleichung lautet jetzt ä(t) a(t) = 4Gπ 3 [ ρ + 3p c 2 ]. (23) Sie wird Friedmann-Gleichung zweiter Ordnung (letzteres wegen der zweiten Ableitung auf der linken Seite) oder kurz zweite Friedmann-Gleichung genannt. 6.5 Materieeigenschaften und Expansion Die oben abgeleitete Friedmann-Gleichung verknüpft drei zeitabhängige Funktionen: Skalenfaktor, Dichte und Druck. Um sie zu lösen, benötigen wir noch zwei weitere Gleichungen. Die eine ist materiespezifisch und besagt, wie Druck und Dichte zusammenhängen, p = p(ρ). Sie wird Zustandsgleichung genannt; einige einfache Beispiele werden wir unten einführen. Die zweite noch fehlende Gleichung beschreibt, wie sich die Dichte der Materie im Verlauf der Expansion verändert. Sie drückt aus, dass so etwas wie Energieerhaltung gilt: Die mit der Materie assoziierte Energie kann sich zwar verdünnen, aber z.b. nicht ins Nichts verschwinden. 11

12 Beginnen wir mit der Energieerhaltung. Wir wählen als Ausgangspunkt eine übliche Form der Energieerhaltung in der Thermodynamik: den ersten Hauptsatz. Dieser besagt, dass sich die innere Energie U eines Systems wie folgt ändert, wenn man das Volumen des Systems um dv ändert (und das bei Verkleinerungen gegen, bei Vergrößerungen unterstützt durch den Druck p des Systems), und dem System dabei die Wärmeenergiemenge δq zuführt: du = p dv + δq. (24) In unserem Falle gibt es keine Wärme, die dem Universum von außerhalb zuflösse (denn es gibt per Definition kein außerhalb), und es fließt auch keine Wärme von einer Region des Universums in eine andere (ein Netto-Wärmefluss würde der Homogenität widersprechen, ein großräumiger Durchfluss der Isotropie), so dass δq = 0. Die innere Energie setzen wir in Beziehung zur Dichte die, wie bereits erwähnt, sämtliche mit der Materie assoziierten Energieformen (thermische Energie, kinetische Energie... ) einschließt. Die gesamte Energie unserer im Volumen V befindlichen Materie ist damit U = ρc 2 V (25) und die Änderung dieser Größe, du, lässt sich mittels der Leibniz schen Regel auf die Änderungen der Faktoren zurückführen, du = V dρ + ρ dv. (26) Damit wird der erste Hauptsatz (24) in diesem Spezialfall zu dρ + (ρ + p/c 2 ) dv V = 0. (27) Jetzt betrachten wir einen Ausschnitt aus dem Hubble-Flow eine Region, deren Materie sich allein aufgrund der kosmischen Expansion mit der Zeit gleichmäßig auf ein immer größeres Volumen verteilt. Wir sind an der Änderungsrate von ρ mit der Zeit interessiert und schreiben die Gleichung daher um als ρ + (ρ + p/c 2 ) V V = 0, (28) wobei ein Punkt wiederum für die erste Ableitung nach der Zeit steht. Der einfachste Fall für die betrachtete Region ist ein würfelförmiges Volumen mit Kantenlänge l(t) = a(t) a(t 0 ) l(t 0), (29) wiederum mit einer willkürlichen, aber fest gewählten Referenzzeit t 0. Das Volumen des Würfels ist V = l(t) 3. Setzen wir den Ausdruck (29) für l(t) ein, dann ist V V = 3ȧ(t) a(t), 12

13 und die Gleichung für ρ wird zu ρ = 3ȧ(t) a(t) (ρ + p/c2 ). (30) An dieser Stelle kommen die unterschiedlichen Zustandsgleichungen ins Spiel. Die Zustandsgleichung für Staub (etwa unseren Galaxienstaub) lautet p = 0. Aus der obigen Gleichung folgt daraus Das lässt sich direkt integrieren zu ρ ρ = 3ȧ(t) a(t). ρ(t) 1 a(t) 3. Das Ergebnis ist einfach zu verstehen: Unsere Galaxien im Hubble-Flow beispielsweise gehen schließlich nicht verloren, sondern verteilen sich im Laufe der kosmischen Expansion lediglich auf ein immer größeres Volumen, und dieses Volumen wächst eben mit a(t) 3. Für Strahlung ergibt sich aus der Elektrodynamik p = 1 3 ρc2, also bzw. ρ ρ = 4ȧ(t) a(t) ρ(t) 1 a(t) 4. Auch das lässt sich direkt erklären, wenn wir uns die Strahlung zusammengesetzt denken aus Photonen: Im Laufe der Expansion verteilen sich diese Photonen auf ein immer größeres Volumen (das erklärt 1/a(t) 3 ); zusätzlich wird jedes einzelne davon durch die Expansion rotverschoben; der Energieverlust (E = hν) ergibt einen weiteren Faktor 1/a(t). Besonders interessant ist eine Zustandsgleichung p = /rhoc 2. Eingesetzt in die Gleichung (30) ergibt sich für solch eine Art von Materie ρ = 0. Mit anderen Worten: Materie mit solcher Zustandsgleichung verändert ihre Dichte im Laufe der kosmischen Expansion überhaupt nicht! Materie mit dieser Zustandsgleichung wird als Dunkle Energie bezeichnet. Messungen zeigen, dass Dunkle Energie in unserem heutigen Universum die dominante Rolle spielt. 6.6 Friedmann-Gleichung erster Ordnung Wir können die Gleichung (30) verwenden, um die Friedmann-Gleichung zweiter Ordnung (23) zu integrieren. Dazu eliminieren wir den Druck p aus der Friedmann- Gleichung und erhalten ȧ ä = 4πG [ 2aȧρ + a2 ρ ]. (31) 3 13

14 Beide seiten lassen sich integrieren, und wir erhalten 1 2 (ȧ)2 = 4πG 3 ρ a2 + const. (32) Mit geeigneter Redefinition der Integrationskonstanten wird diese Gleichung üblicherweise geschrieben als ȧ 2 + Kc 2 a 2 = 8πG 3 ρ (33) Das ist die Friedmann-Gleichung erster Ordnung. Zusammen mit Ansätzen dazu, welchen Anteil der Gesamtdichte die drei vorgestellten Materiesorten Staub, Strahlung, Dunkle Energie ausmachen, sind die beiden Friedmann-Gleichungen die Grundlage zur Berechnung der Evolution des kosmischen Skalenfaktors. 14